Разработки уроков Свойства функций 10 класс алгебра

Название предмета Алгебра и начала математического анализа

Класс 10

УМК Алгебра и начала математического анализа, 10-11 классы. В 2 . Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений(базовый уровень) /[А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-еизд., стер.- М.: Мнемозина,2012.

Уровень обучения. Базовый

Тема урока Свойства функций (3 часа)

Урок №1

Цель: актуализировать и сформулировать определения монотонности и ограниченности функции на множестве

Задачи: формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Знать/ понимать: - числовые функции, способы задания функций; - свойства числовых функций; - периодическая функция.

Уметь: - определять значения функции по значению аргумента при различных способах задания функции; - строить графики изученных функций, выполнять преобразования графиков; - описывать по графику поведение и свойства функций; - решать уравнения используя их графические представления.

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Ход урока

Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания вызвавшие затруднения у учащихся

II. Устная работа.

1. Сопоставьте графики функций и задающих их формул.

[pic]

2. Найдите область определения функции, заданной формулой.

[pic]

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводим согласно пункту учебника. Напоминаем известные из курса алгебры основной школы такие свойства функции, как монотонность (возрастание либо убывание на множестве), ограниченность (снизу или сверху на множестве).

2. При рассмотрении понятия монотонности функции особое внимание следует уделить словесной формулировке, так как она является «рабочей». Прежде чем вводить сами определения, можно предложить учащимся выполнить следующие задания:

1) Укажите промежутки возрастания и убывания функций.

[pic]

2) Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (–; –2) и (5; +) и убывающей на промежутке (–2; 5).

3. Разбираем на примере 1 со с. 11 учебника исследование функции на монотонность с использованием неравенств.

4. Напоминая определение ограниченной функции, просим учащихся схематично изобразить графики элементарных функций и выбрать среди них ограниченные.

5. Разбираем пример 2 со с. 12 учебника исследования функции на ограниченность с помощью неравенств.

IV. Формирование умений и навыков.

Работа в группах

Задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить на 2 группы.

1-я группа. Исследование функции на монотонность с использованием свойств числовых неравенств.

2-я группа. Исследование функции на ограниченность с использованием свойств числовых неравенств.

1-я группа.

№ 2.1 (а; б), № 2.2 (а; б), № 2.3 (а; б), № 2.4 (а; б), № 2.5 (а; б).

Решение:

№ 2.2 (б).

Обозначим [pic] Если [pic] то, по свойствам числовых неравенств, [pic] и, далее, [pic] [pic] то есть [pic] значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

№ 2.3 (б).

Обозначим [pic]

Если х1 > х2, то х1 + 2 > х2 + 2, но [pic] так как при х < –2 х + 2 < 0, значит, данная функция убывает при х < –2.

Ответ: убывает.

№ 2.4 (б).

[pic]

Обозначим [pic]

Если х1 > х2, то [pic]

[pic] значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

Ответ: убывает.

№ 2.5 (б).

[pic]

Обозначим [pic]

Если х1 > х2, то [pic] и, далее, [pic]

[pic]

[pic] значит, данная функция убывает на D(f).

Ответ: убывает.

2-я группа.

№ 2.6 (а; б), № 2.7 (а; б).

Решение:

№ 2.6 (б).

[pic]

Если х > 0, то график функции [pic] представляет собой ветвь гиперболы и ограничен снизу, а функция [pic] – ограничена сверху прямой у = 0.

График данной функции [pic] получен сдвигом графика функции [pic] на две единицы вверх, значит, функция ограничена сверху прямой у = 2.

Ответ: ограничена сверху.

№ 2.7 (б).

[pic]

С одной стороны, очевидно, что [pic] значит, функция ограничена снизу.

Рассмотрим функцию [pic] Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина в точке с координатами (х0; у0), где [pic] Значит, функция сверху не ограничена.

Ответ: ограничена снизу.

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Дайте определение функции убывающей (возрастающей) на множестве.

– Какая функция называется монотонной?

– Какая функция называется ограниченной снизу (сверху) на множестве?

– Какие способы исследования функции на монотонность и ограниченность?

Домашнее задание: §2 стр11.№ 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

Урок №2

Цель: актуализировать и сформулировать определения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве; четной и нечетной функции; формировать умения исследовать наличие данных свойств

Задачи: формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению.

Планируемые результаты:

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

Ход урока

Организационный момент.

Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания № 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

II. Математический диктант.

Вариант 1

1. Функция у = f(х) возрастающая. Сравните f(3) и f(5).

2. Начертите график какой-нибудь функции, убывающей на [–3; 1] и [3; 5] и возрастающей на [1; 3].

3. Какие из функций [pic] у = –3х², у = 2х – 9 являются возрастающими на (–; 0)? Ограниченными сверху?

Вариант 2

1. Функция у = f(х) убывающая. Сравните f(2) и f(–3).

2. Начертите график какой-нибудь функции, возрастающей на [–1; 2] и [5; 7] и убывающей на [2; 5].

3. Какие из функций [pic] у = –х²,
у = 11 – 3х являются убывающими на (0; +)? Ограниченными снизу?

III. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводить согласно пункту учебника. Авторы отмечают, что метод отыскания наибольшего и наименьшего значения функции с помощью элементарных приемов или с помощью графика функции внедрен в учебники 7–9 классов. Кроме того, используются на наглядно-интуитивном уровне понятия выпуклости и непрерывности. Само понятие выпуклости на формальном уровне в дальнейшем рассматриваться не будет, а точное определение непрерывности будет получено в § 26.

2. Давая определение четности и нечетности функции, авторы учебника, вопреки сложившейся традиции, не включают в него требование симметричности области определения. Это необходимое условие четности или нечетности функции, оно оформлено в виде отдельного утверждения.

В связи с исследованием функций на четность обратите внимание на неявное приобщение учащихся к законам формальной логики, согласно которым отрицание утверждения, содержащего квантор общности, приводит к утверждению, содержащему квантор существования, и обратно. Определяя четность либо нечетность функции у = f(х), нужно проверить, что равенство [pic] [pic] выполняется для всех значений х из D(f). Для установления отсутствия четности или нечетности функции достаточно показать, что существует хотя бы одно значение х, для которого равенство не выполняется.

3. Геометрический смысл четности и нечетности функции следует установить с широким применением наглядности.

Работа на готовых чертежах.

Задание. Какая из функций, заданных графиком, является четной? Нечетной? Ни четной, ни нечетной?

[pic]

После выполнения задания и рассмотрения примеров из учебника учащиеся сами формулируют алгоритм исследования функции у = f(х), х Х на четность.

4. Вводится понятие «прочитать график функции» как перечисление свойств функции в определенном порядке:

1) D(f);

2) монотонность;

3) ограниченность;

4) наибольшее и наименьшее значение функции;

5) непрерывность;

6) четность / нечетность;

7) Е(f).

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, направлены на отработку следующих умений:

а) нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на множестве;

б) исследование функции на четность;

в) построение и чтение графика функции.

№ 2.8 (а; б), № 2.9 (а; б), № 2.10 (а; б), № 2.11 (а; б), № 2.12, № 2.14.

Решение:

№ 2.8 (б).

[pic]

Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз и вершина находится в точке с координатами (х0; у0), где

[pic]

Значит, унаиб. = 0,5.

На [–3; 0,5] функция монотонно возрастает, а на [0,5; 2] – убывает, значит, наименьшее значение она примет на одном из концов отрезка [–3; 2].

[pic]

Значит, унаим. = –24.

Ответ: унаиб. = 0,5; унаим. = –24.

№ 2.9 (б).

[pic]

Функция убывает на всей области определения, значит, наибольшее и наименьшее значения она принимает на концах отрезка [1; 9]. 1 < 9, значит, [pic] . Следовательно,

[pic]

Ответ: унаиб. = –1; унаим. = –3.

№ 2.10 (б).

[pic]

Построим график данной функции:

[pic]

унаиб. = 3; наименьшего значения на данном отрезке не существует.

Ответ: унаиб. = 3.

№ 2.11 (б).

[pic] – симметричное множество.

Обозначим [pic]

[pic] значит, функция нечетная.

Ответ: нечетная.

№ 2.12.

[pic]

1) [pic]

2) Функция убывает на (–; 0) и возрастает на [0; +].

3) Функция не ограничена.

4) Наибольшего и наименьшего значений не существует.

5) Разрыв функции в точке х = 0.

6) Функция ни четная, ни нечетная.

7) [pic]

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве?

– Какая функция называется выпуклой на промежутке? Непрерывной на промежутке?

– Дайте определение четной / нечетной функции. В каком случае можно утверждать, что функция ни четная, ни нечетная?

– В чем геометрический смысл четности / нечетности функции?

– Что значит «прочитать график»?

Домашнее задание: §2 стр.11. № 2.8 (в; г) – 2.11 (в; г), № 2.13, № 2.15.

Урок № 3

Цель: закрепление понятия «функция» и её свойств: возрастания, убывания, промежутков знакопостоянства, экстремумов, определения наибольшего и наименьшего значения функции на множестве; четной и нечетной функции.

Задачи: способствовать формированию умений анализировать графики функций, строить эскизы графиков по заданным параметрам функции, анализировать количество корней уравнения у(х) = а.

Развивать вычислительные навыки, правильную математическую речь, логическое мышление учащихся.

Прививать самостоятельность, внимание и аккуратность. Воспитывать ответственное отношение к обучению, воспитание умений работать в группе, чувства ответственности, взаимопомощи.

Планируемые результаты:

Уметь применять изученный теоретический материал при выполнении письменной работы.

Техническое обеспечение урока Компьютер, экран, проектор, учебник, задачник.

1) карточки – задания на 6 вариантов разной степени сложности для работы в группах;

2) эскиз графика функции (слайд), цветные мелки или фломастеры.

Ход урока.

Организационный момент

Психологический настрой учащихся.

2. Проверка домашнего задания № 2.1 (в; г) – № 2.7 (в; г).

Повторение.

Фронтальный опрос.

Дайте определение функции, аргумента, области определения, множества значений.
Перечислите способы задания функции.
Дайте определение чётной функции. Каким свойством обладает её график?
Дайте определение нечётной функции . Каким свойством обладает её график ?
Дайте определение возрастающей функции, убывающей функции.
Какие точки называются точками экстремума ? Экстремумами функции?

Учащимся задаются вопросы по схеме исследования функции : назвать область определения, множество значений функции, выяснить, является она чётной или нечётной; назвать нули функции, промежутки монотонности, знакопостоянства. Все они выделяются цветным мелом или фломастерами. Учащиеся называют точки максимума и минимума и экстремумы функции.

Построить эскиз графика по заданным условиям (слайд).

Д (у) = ( - ∞ ; +∞ )
Е ( у) = ( - ∞; + ∞)
График пересекает ось Ох в точках : (-5; 0), (1; 0), (4; 0), (6; 0), (8; 0).

График пересекает ось Оу в точке (0; -2).

Функция возрастает на (-4; -3) ( -1; 4) (5; 7).

Функция убывает на ( - ∞ ; -4) ( -3; -1) (4 ; 5) (7 ; +∞ ).

У(х) 0 на ( - ∞ ; -5) (1 ; 4) ( 6; 8).

У(х) 0 на (- 5; 1) (4; 6) (8; + ∞).

= -4 ; -1; 7.

= -3; 4.

Min y(x) = y(-4) = -5

Min y(x) = y(7) = -3.

Max y(x) = y(-3) = -1

Max y(x) = y(4) = 5.

Объяснение нового материала.

Чтобы графически решить уравнение вида у(х) = а, необходимо построить два графика : 1) у(х) и 2) у = а – прямая, проходящая через точку (0; а) параллельно оси Ох. Абсциссы точек пересечения этих графиков будут решениями уравнения.

Учащимся задаются вопросы:

Сколько решений имеет уравнение у(х) = 4 ? у(х) = -5 ? у(х) = 0?
В каком промежутке находится корень уравнения у(х) = 7 ?

Формирование умений и навыков.

Самостоятельная работа на исследование функций по графику и построения эскиза графика функции по заданным параметрам.

[pic]

V. Итоги урока.

Вопросы учащимся:

– Какое число называют наибольшим (наименьшим) значением функции на множестве?

– Какая функция называется выпуклой на промежутке? Непрерывной на промежутке?

– В чем геометрический смысл четности / нечетности функции?

– Что значит «прочитать график»?

Домашнее задание: §2 стр.11. № 2.8 (в; г) – 2.11 (в; г), № 2.13, № 2.15.