Сборник задач с практическим содержанием
Геометрия в нашей жизни
(объемы и поверхности многогранников и
тел вращения)
В данном сборнике представлены задачи из разных сфер жизни и деятельности человека, приводящие к необходимости применения формул и понятий геометрии.
Пособие может быть использовано как на уроке так и во внеурочной деятельности, а также для самостоятельной работы школьников.
Составитель: Шумилова М.В., учитель математики
Содержание
Задачи…………………………………………………4
Ответы и решения……………………………………9
Использованные источники………………………..16
Задачи
№ [pic] 1.
Запроектирована водонапорная башня с металлическим баком цилиндрической формы на 100 м³ и диаметром 5,5 м. Какой высоты должен быть бак?
№2.
Н [pic] айдём количество дней, на которые хватит полного колодца для семьи из 4 человек, при условии того, что суточная норма потребления воды каждого члена-10 литров, если известны радиусы дна и верхней кромки и высота колодца.
№3.
Максимальная глубина бассейна равна 4 м, длина промежутка на котором глубина достигает 4 м, равна 7м, а остальной промежуток достигает 2-х метров. Найдите объем полного бассейна, если длина бассейна равна 15 м, а ширина 8 м.
№4.
Требуется найти длину водопроводной траншеи, если известно, что основания траншеи
[pic]
соответственно равны a и b, высота h, а объём находящейся в ней воды равен V.
№ [pic] 5.
При взрыве заряда взрывчатого вещества воронка действия имеет вид конуса, где [pic] - линия наименьшего сопротивления, а r-радиус воронки. Определить объем взорванной породы в пределах конуса разрыхления, если [pic] = [pic] =1,5м.
№6.
С [pic] колько железнодорожных платформ грузоподъемностью 25 т каждая нужно для перевозки кучи угля, имеющего форму конуса с высотой Н=7,5 м, если плотность угля [pic] =1300 кг/см3, а уголь естественного откоса [pic] =500?
№7.
Требуется установить резервуар для воды емкостью 10 м3 на площади размером 2,5х1,75 м, служащей для него. Найдите высоту резервуара.
№8.
Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя (сторона) ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса одного погонного метра трубы (плотность чугуна [pic] )?
№9.
[pic]
Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом. Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилиндрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность сена 0,03 г/см3. Определить массу стога сена.
№10.
К [pic] лассное помещение должно быть таким, чтобы на одного учащегося приходилось не менее 6м [pic] воздуха. Можно ли в кабинете с параметрами а=8,5м, b = 6м, с = 3,6м заниматься 30 учащимся, не нарушая санитарной нормы?
№11.
Будет ли защищен во время грозы дом высотой 6м, шириной 8м и длиной 10м,если высота громоотвода 7м, а угол между громоотводом и образующей конуса безопасности равен 60◦?
№12.
С [pic] таканчик для мороженого конической формы имеет глубину 12 см и диаметр верхней части 5 см. На него сверху положили две ложки мороженого в виде полушарий диаметром 5 см. Переполнит ли мороженое стаканчик, если оно растает?
№13. [pic] Мальчику купили аквариум в форме куба, вмещающий 64 л воды. Он наполнил аквариум водой, не долив 5 см до верхнего края. Какое наибольшее количество рыбок он может запустить, если на 4 рыбки нужно 10 л?
№14.
Дмитрию дали новый плот. Часть инструкции, в которой указана грузоподъемность плота, была оторвана. Удалось прочесть, только, что плотность дерева, из которого сделан плот [pic] . Дмитрий выяснил, что плот состоит из 16 бревен прямоугольного сечения, каждое имеет 3,6 м длины, 20 см ширины и 25 см толщины. Какой наибольший груз он может поднять, не затонув?
№15.
Для искусственного водоема был вырыт котлован. Дно имеет размеры 28х28 м, а водная гладь–40х40 м. Дно составляет с боковой стенкой водоема угол 1350. Найти объем вынутого грунта.
№16.
Н [pic] а содержание одной лошади требуется 15 кг в день. Сколько брикетов сена размерами 60х50х40см нужно заготовить на зиму для содержания двух лошадей? (плотность сена 0,05г/см [pic] ).
№ [pic] 17.
Пожарное ведро имеет габаритные размеры: высота - 350 мм, диаметр 300 мм.
Определить вместимость этого ведра (в литрах).
№18.
[pic]
Краскопульт имеет емкость для краски диаметром 20 см и высотой 50 см. Сколько литров побелки помещается в краскопульт?
Ответы и решения
№1.
В данном баке нам дан диаметр 2r,а также его объём v = πr²h. Наша задача нахождение высоты бака. Найдём её по формуле: h=v/πr². Подставив в формулу известные величины, найдем: h=100/ ((5, 5/2)²·3.14)= =100/23,74625~4,2 м.
Ответ: высота бака 4,2 м
№2.
Путем некоторых преобразований найдем объём колодца: разделим колодец на 2 фигуры: усечённый конус и цилиндр, объемы, которых соответственно равны: [pic] = ( [pic] ) · [pic] · [pic] , и [pic] = π · [pic] · [pic] ; V = [pic] =d²-( [pic] )², где d-длина скоса; [pic] Суточное потребление воды семьёй равняется 40 литров (10·4). Тогда количество дней будет вычисляться по формуле: [pic] , то есть (( [pic] ) · [pic] · ( [pic] + [pic] + [pic] · [pic] ) + π · [pic] · [pic] )/40= n, где n - количество дней.
Ответ: (( [pic] ) · [pic] · ( [pic] + [pic] + [pic] · [pic] ) + π · [pic] · [pic] )/40=n
№3.
Разобьем нашу фигуру на два прямоугольных параллелепипеда, первый со сторонами 8м и (15-7)м и высотой равной 2м, второй - со сторонами 8м и 7м и высотой 4м. Тогда: V=V [pic] +V [pic] =8·8·2+7·8·4=352(м [pic] )
Ответ: 352 м [pic]
№4.
Поперечное сечение траншеи есть равнобедренная трапеция. Дно и боковые стороны- прямоугольники. В данном случае траншея свежая, поэтому дно и стенки ещё не размыты. Будем считать, что траншея есть призма, высота которой L, а основание – поперечное сечение траншеи. Объём траншеи определяется по формуле V=F·L, где F-площадь поперечного сечения; L- длина траншеи. Тогда формула примет вид V= ((a+b) ·h/2) · L. отсюда L= V/ ((a+b) · [pic] )=2V/ (a+b) ·h.
Ответ: L = 2V/ (a+b) ·h
№5.
[pic]
Объем конуса разрыхления найдем по формуле V= [pic] , то V= [pic] . Зная, что [pic] =1,5м, имеем V= [pic] (м3).
Ответ: объем взорванной породы 3, 54 м3.
№6.
[pic]
Объем кучи угля [pic] . Так как [pic] , то [pic] [pic] , а масса кучи угля составляет: [pic] . Число железнодорожных платформ определяем по формуле [pic] ; [pic] (пл.).
Ответ: для перевозки угля нужно 16 платформ.
№7.
Резервуар имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем равен: [pic] . Отсюда [pic] (м)
Ответ: высота резервуара равна 2, 29 м.
№8.
1. Найдем внутреннюю ширину трубы [pic]
[pic]
2. [pic] , где [pic] - объем металла, из которого сделана труба. Следовательно, [pic] .
Найдем [pic] . Он равен разности объемов [pic] 1 и [pic] 2 погонного метра трубы:
[pic] или [pic] 1=25 [pic] = [pic] .
Найдем [pic] [pic] .
Ответ: масса одного погонного метра чугунной трубы равна 193 кг.
№9.
[pic] ρ=0,03г/см3=30кг/м3. OA=R, OO1=h1 OS=h2.
Тогда
[pic]
Так что
[pic]
Далее
[pic]
[pic]
Ответ: ≈1648,5 кг
№10.
V = аbс или V = Sосн.• h
V = 8,5 • 6 • 3,6 = 183,6(м3)
183,6 : 30 = 6,12(м3) воздуха приходится на одного учащегося.
Ответ: да, в кабинете можно заниматься 30 учащимся.
№11.
Используя определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника найдем радиус конуса R=7√3≈12м
VK=π49×3×7=1029π≈3231m3
Обьем дома 480м3
Ответ: дом будет защищен от угрозы.
№ [pic] 12.
OA = 12 см
BC = d = 5 см
Переполнит ли мороженое стаканчик?
V ш = 4/3 [pic] R3 (5/2)3 = 125 [pic] /6 [pic] [pic] 20 [pic] [pic]
Vк = 1/3 [pic] R2H = 1/3 [pic] (5/2)2·12 = [pic] = 25 [pic]
Ответ: нет.
№13.
64 л = 64 дмᶾ
4 дм = 40 см.
Высота воды=40 – 5 = 35 см
V = 40 ∙ 40 ∙ 35 = 56000 смᶾ = 56 дмᶾ = 56 л
56 : 10 ∙ 4 = 22 рыбки
Ответ: 22 рыбки
№14.
V.п = 16 ∙ 360 ∙ 20 ∙ 25 = 2880000 смᶾ
m.п = [pic] = 2880000 ∙ 0,84 = 2419200г = 2419,2 кг = 2,4192т = 2,419 т
FA = FT – условие плавание тел
FA = [pic] FT = [pic]
[pic] = [pic] =2,88 т
m.г = 2,88 – 2,419 = 461 кг
Ответ: 461 кг
№15.
[pic]
Объем усеченного конуса:
Чтобы найти H рассмотрим ∆KAD: KA = KO – AO = 20 – 14 = 6 м
Т [pic] . к. угол ADK равен 45 градусам, то ∆KAD - равнобедренный и KA = AD = 6 м.
S [pic] 1 = 1600 (кв.м)
[pic]
Ответ: V = 7128 м [pic]
№16.
Объем одного брикета V = 60 · 50 · 40 = 120000 (см3)
m = Vρ = 120000 · 0,05 = 6000 (г) = 6 кг
В день: 15 : 6 = 2,5 (брикета)
На зиму на одну лошадь: 2,5 · 90 = 225 (брикетов)
На двух лошадей: 225 · 2 = 450 (брик.)
Ответ: 450 брикетов.
№17.
[pic]
R = 300 : 2 = 150 мм = 1,5 дм
Н = 350 мм = 3,5 дм
[pic]
Ответ: 8 л
№18.
[pic]
Т.к. 1 л = 1 дм [pic] , тогда в краскопульт поместится 15,7 л краски
Ответ: 15,7 л.
Использованные источники
1. А.В. Погорелов. Геометрия 10-11, М: Просвещение, 2013г.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев СБ.,Лозняк Э.Г., Киселева Л.С. Геометрия. 10-11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение,2013г.
3. [link]
