Сборник задач краевой физмат школы 8-11 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа

Нижнетамбовского сельского поселения

Комсомольского муниципального района Хабаровского края

Задачи с решениями, предлагаемые краевой заочной физико-математической школой

Составил: Жмеренецкая Е.А.,

руководитель в школе обучением в Краевой заочной физико-математической школе, учитель 1 категории.

От составителя

Настоящий сборник составлен в соответствии с материалами Краевой физико-математической школы. В нём содержатся задачи по следующим разделам: прогрессии, алгебраические уравнения и неравенства, тригонометрические уравнения.

Пособие включает рекомендации по решению задач повышенного уровня, что будет способствовать активизации самостоятельной работы учащихся, улучшению их подготовки к ЕГЭ по математике, закреплению их теоретических знаний и выработке практических навыков, более качественной подготовке для поступления в ВУЗы.

Содержание

Решение уравнений и неравенств 8 класс.
Тригонометрия 10 класс.
Тригонометрические уравнения 11 класс.
Прогрессии 10 класс.

1.Решение уравнений и неравенств

1.Решить уравнение (х+1)(х+4)=(х-2)(х-3)

Решение:

(х+1)(х+4)=(х-2)(х-3)

х²+4х+х+4=х²-3х-2х+6

10х=2

х= [pic]

Ответ: х= [pic]

2.Решить уравнение: (х-1)(х-2)(х+3)=(х-2)(х-3)(х+5)

Решение:

(х-1)(х-2)(х+3)=(х-2)(х-3)(х+5)

х3+3х²-2х²-6х-х²-3х+2х+6=х³+5х²-3х²-15х-2х²-10х+6х+30

-7х+6=-19х+30

12х=24

х=2

Ответ:х=2

3. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

[pic] [pic]

4. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]
х-3=0 или х-2=0 или х+2=0

х=3 х=2 х=-2

Ответ: х1=3;х2=2;х3=-2

5. Решить уравнение: 3х+4=ах-8, а-параметр

Решение:

3х+4=ах-8

-ах+3х=-12

х(3-а)=-12

1).3-а=0, т.е. а=3

[pic] 0=-12 уравнение решений не имеет

2).3-а [pic] 0, т.е. а [pic] 3

х= [pic]

[pic]

Ответ: при а=3 решений нет;

при а [pic] 3 [pic]

6. Решить уравнение: [pic] , а- параметр

Решение:

[pic] [pic]

(х+а)(2+а)=(х-а)(1+а)

2х+ах+2а+а²=х+ах-а-а²

2х-х=-а-а²-2а-а²

х=-3а-2а²

х=-а(3+2а)

1) а=-1 и а=-2 уравнение не имеет корней

2) а=0,то х=0

3) [pic] ,то х=-а(3+2а)

Ответ: при а=-1,а=-2 нет решения;

при а=0,х=0

при [pic] ,х=-а(3+2а)

7. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

Ответ: х=-10,5

9. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

10. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

х=0 или [pic]

Ответ: [pic]

11. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

12. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

Ответ: нет решений.

13. Решить неравенство: [pic]

Решение:

[pic]

14. Решить неравенство: [pic] [pic]

Решение:

[pic]

15. Решить неравенство: [pic]

Решение:

[pic]

16. Решить уравнение: [pic]

Установить, когда уравнение имеет два различных действительных корня.

Решение:

[pic]

[pic] Ответ: уравнение имеет два различных действительных корня при [pic]

17. Решить систему неравенств: [pic]

Решение:

[pic] [pic] [pic]

Ответ: х>4

18. Решить систему неравенств:

[pic] [pic]

Решение: [pic]

[pic] [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

19. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

20. Решить уравнение: [pic]

Решение:

[pic]

При подстановки [pic] в знаменатель выражения, получим число, равное 0;

При подстановке [pic] в знаменатель выражения, получим число, не равное 0;

Следовательно, корнем уравнения является число [pic] .

Ответ: [pic] .

2. Тригонометрия

1.Доказать справедливость тождества:

sin⁶^[pic]-cos^{6 [pic] = [pic]}

I Способ

[pic] [pic] II Способ

Используя формулы понижения степени [pic] и [pic] получим:

[pic] что и требовалось доказать.

2. Вычислить [pic] , если [pic]

Решение:

Возведём обе части уравнения во вторую степень:

[pic]

Ответ: [pic]

3. Решить уравнение, сводя его к алгебраическому относительно одной тригонометрической функции:

[pic]

[pic] Решение:

[pic] [pic]

Ответ: [pic]

4.Решите уравнение, сведением к однородному

[pic]

Решение:

[pic]

5. Решить уравнение методом универсальной тригонометрической подстановки: [pic]

а) [pic]

Решение:

[pic]

Поделим данный многочлен на [pic]

[pic]

б) [pic]

Решение:

[pic]

нет решений

[pic]

6. Сведение к уравнению относительно неизвестного

[pic]

Решение:

[pic]

7.Метод понижения степени по формулам половинного аргумента

[pic]

Решение:

[pic] [pic] [pic]

Ответ: [pic]

3. Тригонометрические уравнения. 11 класс

1. Решить уравнение: [pic]

Решение:

О.О.У. cos2x≠0

2x≠ [pic]

x≠ [pic]

sinx + cosx = 0 /: cosx

Проверка cosx = 0

x= [pic]

[pic] 1 + 0 ≠ 0

cosx ≠ 0

tgx + 1 = 0

tgx = -1

x = -arctg1 +πκ, κ [pic] Z

x = - [pic] +πκ, κ [pic] Z – не является решением

Проверка x= [pic]

[pic] [pic]

Ответ: нет решений.

2. Решить уравнение: tg³x + tg²x – 3tgx = 3

Решение:

О.О.У. [pic] x ≠ [pic] + πκ, κ [pic] Z

tg³x + tg²x – 3tgx – 3=0

tg²x·( tgx + 1 ) - 3·( tgx + 1) =0

( tgx + 1 ) ·( tg²x – 3) = 0

tgx + 1 =0 tg²x – 3 =0

tgx = -1 tg²x = 3

[pic] x = - [pic] + πκ, κ [pic] Z tgx = [pic] , tgx = - [pic]

x = [pic] + πn, n [pic] Z x = - [pic] + πn, n [pic] Z

Ответ: x = - [pic] + πκ, κ [pic] Z; x = ± [pic] + πn, n [pic] Z

3. Решить уравнение: sin3x = cos2x

Решение:

sin3x = cos2x

т.к. cos2x = sin( [pic] - 2x)

sin3x = sin( [pic] - 2x)

sin3x - sin( [pic] - 2x) = 0

2sin [pic] ·cos [pic] = 0

sin [pic] = 0 cos [pic] = 0

[pic] =πκ, κ [pic] [pic] = [pic] + πn, n [pic]

[pic] =2πκ, κ [pic] [pic] + 2πn, n [pic]

[pic] + 2πκ, κ [pic] [pic] + 2πn, n [pic]

[pic] + [pic] πκ, κ [pic] [pic] + 2πn, n [pic]

Ответ: [pic] + [pic] πκ, κ [pic] ; [pic] + 2πn, n [pic]

4. Решить уравнение: sin5x·cos3x = sin9x·cos7x

Решение:

sin5x·cos3x = sin9x·cos7x

sin5x·cos3x - sin9x·cos7x = 0

[pic]

sin8x – sin16x = 0

sin8x –2sin8xcos8x = 0

sin8x (1 - 2cos8x) = 0

sin8x = 0 1 - 2cos8x = 0

8x = πκ, κ [pic] Z cos8x = [pic]

x = [pic] κ, κ [pic] Z 8x = [pic] + 2 πn, n [pic]

x = [pic] + [pic] πn, n [pic]

Ответ: x = [pic] κ, κ [pic] Z; x = [pic] + [pic] πn, n [pic] .

5. Решить уравнение: 2cos²x + sinx = 2

Решение:

2cos²x + sinx = 2

2(1 – sin²x) + sinx – 2 = 0

2 - 2sin²x + sinx – 2 = 0

- 2sin²x + sinx = 0

sinx(- 2sinx +1) = 0

sinx = 0 - 2sinx + 1 = 0

x = πκ, κ [pic] Z - 2sinx = -1

sinx = [pic]

x = (-1)ⁿ [pic] + πn, n [pic] .

Ответ: x = πκ, κ [pic] Z; x = (-1)ⁿ [pic] + πn, n [pic] .

6. Решить уравнение: 2sinx - 3cosx = 3

Решение:

2sinx - 3cosx = 3

sinx = [pic] ; cosx = [pic]

[pic]

[pic] /· [pic] т.к. [pic]

4n – 3 + 3n² = 3 + 3n²

4n + 3n² – 3n² = 3 + 3

4n = 6

n = [pic]

tg [pic] = [pic]

[pic] = arctg [pic] + πκ, κ [pic] Z

x = 2 arctg [pic] + 2πκ, κ [pic] Z

Проверка x =π + 2πn, n [pic]

2·0 - 3· (-1) = 3

0 + 3 = 3

3 = 3

Ответ: x =π + 2πn, n [pic] ; x = 2 arctg [pic] + 2πκ, κ [pic] Z.

7. Решить уравнение: sin(5π – x) = cos(2x + 7π)

Решение:

sin(5π – x) = cos(2x + 7π)

sin(4π + π – x) = cos(6π + π + 2x)

sin(π – x) = cos(π + 2x)

sin x = -cos2x

sin x = -cos²x + sin²x

sin x + cos²x - sin²x = 0

sin x + 1 - sin²x - sin²x = 0

- 2sin²x +sin x + 1 = 0

sin x = t

-2t² + t + 1 = 0

Д = b² – 4ac = 12 + 4·2·1 = 1 + 8 = 9

t1,2 = [pic]

t1 = 1; t2 = -0,5

sin x = 1 sin x = -0,5

x = [pic] + 2π κ, κ [pic] Z x = (-1)^{n + 1} [pic] + πn, n [pic]

Ответ: x = [pic] + 2π κ, κ [pic] Z; x = (-1)^{n + 1} [pic] + πn, n [pic] .

8. Решить уравнение: 2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x = 3

Решение:

2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x = 3

2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x = 3· (cos²x + sin²x)

2cos²x - 3sinx·cosx + 5sin²x - 3cos²x + 3sin²x = 0

-cos²x - 3sinx·cosx + 2sin²x = 0 /: cos²x

Проверка: cos²x = 0

cosx = 0

0 - 3sinx·0 + 2·(±1) = 0

2 ≠ 0

-1 – 3tgx + 2tg²x = 0

2tg²x – 3tgx – 1 = 0

tgx = t;

2t² – 3t – 1 = 0

Д = 9 - 4·2·(-1) = 17

t1,2 = [pic]

tgx = [pic] tgx = [pic]

x = arctg [pic] + π κ, κ [pic] Z x = arctg [pic] + πn, n [pic]

Ответ: x = arctg [pic] + π κ, κ [pic] Z; x = arctg [pic] + πn, n [pic] .

9. Найти корни уравнения: cos⁴x – sin⁴x + sin2x = 1 из интервала (0°; 90°)

Решение:

cos⁴x – sin⁴x + sin2x = 1

(cos²x – sin²x)(cos²x – sin²x) + sin2x = 1

cos²x + 2sinx·cosx - sin²x - sin²x - cos²x = 0

2sinx·cosx - 2sin²x = 0

2sinx·(cosx – sinx) = 0

sinx = 0 cosx – sinx = 0 /: cosx

x= π κ, κ [pic] Z Проверка cosx = 0

0 < π κ < [pic] /: π 0 - (±1) = 0

0 < κ < [pic] ±1 ≠ 0

нет решений, т.к.

к – целое число 1 – tgx = 0

tgx = 1

x = [pic] + π κ, κ [pic] Z

0 < [pic] + π κ < [pic]

- [pic] < π κ < [pic]

- [pic] < κ < [pic]

κ = 0

x = [pic] + π·0 = [pic] [pic] (0; 90°)

Ответ: x= π κ; x = [pic] + π κ, κ [pic] Z; x = [pic] [pic] (0; 90°).

10. Найти в градусной мере наименьший положительный корень уравнения cos3x + cosx = cos2x

Решение:

cos3x + cosx = cos2x

2cos2x cosx = cos2x / :cos2x

Проверка cos2x = 0

2·0· cosx = 0

0 = 0

2x = [pic] + π κ, κ [pic] Z

x = [pic] + [pic] κ, κ [pic] Z

2cosx = 1

cosx = [pic]

x = ± [pic] + 2π κ, κ [pic] Z

Ответ: x = [pic] + [pic] κ, κ [pic] Z; x = ± [pic] + 2π κ, κ [pic] Z , наименьший положительный корень равен 45°.

11. Решить уравнение: 4sin⁴x + cos4x = 1 + 12cos⁴x

Решение:

4sin⁴x + cos4x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos²2x – sin²2x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos2x·cos2x – sin2x·sin2x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + (cos²x – sin²x) · (cos²x – sin²x) - 2sinx·cosx·2sinx·cosx = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos⁴x - cos²x·sin²x - cos²x·sin²x + sin⁴x - 4sin²x·cos²x = 1 + 12cos⁴x

4sin⁴x + cos⁴x - 6cos²x·sin²x + sin⁴x - 1 - 12cos⁴x = 0

5sin⁴x - 6cos²x·sin²x - 11cos⁴x - 1= 0

5sin⁴x - 6sin²x·(1- sin²x) - 11cos⁴x - 1= 0

5sin⁴x - 6sin²x + 6sin⁴x - 11cos⁴x – 1 = 0

11sin⁴x - 11cos⁴x - 6sin²x - sin²x - cos²x = 0

11·(sin²x – cos²x) ·(sin²x + cos²x) – 7sin²x – cos²x = 0

11sin²x – 11cos²x – 7sin²x – cos²x = 0

4sin²x - 12cos²x = 0

4sin²x - 12· (1 - sin²x) = 0

4sin²x - 12 + 12sin²x = 0

16sin²x = 12

sin²x = [pic]

sinx = [pic]

sinx = [pic] sinx = [pic]

x = (-1)^κ [pic] + π κ, κ [pic] x = (-1)^{n + 1} [pic] + π n, n [pic]

Ответ: x = (-1)^κ [pic] + π κ, κ [pic] ;x = (-1)^{n + 1} [pic] + π n, n [pic] .

12. Решить уравнение:

2sinx·cos ( [pic] + x) – 3sin (π - x) ·cosx + sin ( [pic] + x) ·cosx = 0

Решение:

2sinx·sinx – 3sinx·cosx + cosx·cosx = 0

2sin²x – 3sinx·cosx + cos²x = 0 /: cos²x

Проверка cos²x = 0

2·1 - 3sinx·0 + 0 ≠ 0

2tg²x – 3 tgx + 1 = 0

tgx = t

2t² – 3t + 1 = 0

Д = (-3)2 - 4·2·1 = 9 – 8 = 1

t1,2 = [pic]

t1 = 1; t2 = 0,5

tgx = 1 tgx = 0,5

x = [pic] + πκ, κ [pic] Z x = arctg0,5 + πn, n [pic]

Ответ: x = [pic] + πκ, κ [pic] Z; x = arctg0,5 + πn, n [pic] .

4.Арифметическая и геометрическая прогрессия.

1. Найти а13, если а5 = 2, а40 = 142

an =a1 + d (n – 1) формула n-го члена(n ≥ 2)

a5 = а1 + d (5 – 1) a40 = a1 + d (40 – 1)

a5 = a1 + 4d a40 = a1 + 39d

_ [pic] a1 + 4d = 2

a1 + 39d = 142

35d = -140

d = -140 :(-35)

d = 4

a1 + 4·4 = 2 a13 = a1 + d (13 – 1)

a1 + 16 = 2 a13 = -14 + 12d

a1 = 2 – 16 a13 = -14 + 12·4

a1 = -14 a13 = 34

Ответ: a13 = 34

2. Найти а1 + а20, если а3 + а18 = 50

ak = [pic] , (p < k), в частности

a3 + a18 = 50

[pic] p = 2

[pic] [pic]

a1 + a20 = 50

Ответ: a1 + a20 = 50

3. Найти n, если а1 = 3, а2 = 5, Sn = 360

a2 – a1 = d an = a1 + d (n – 1)

5 – 3 = 2 Sn = [pic] n

d = 2 Sn = [pic] n

[pic] = 360

6n +2n² – 2n = 720

2n² + 4n – 720 = 0

Д = 16 – 4·2·(-720) = 16 + 5760 = 5776 = 76²

n1 = [pic] = 18

n2 = [pic] = -20

Ответ: n = 18.

4. Найти а1 и d, если Sn = 2n² – 3n

S1 = 2·1² - 3·1 S2 = 2·2² - 3·2

S1 = -1 S2 = 2

S1 –a1 S2 = a1 + a2

a1 = -1 a1 + a2 = 2

-1 + a2 = 2

a2 = 3

d = a2 – a1

d = 3 + 1

d = 4

Ответ: a1 = -1; d = 4.

5. Найти сумму всех натуральных трехзначных чисел, не делящихся на 3 100, 101, 102…..999.

а1 = 100 n -?

an = 99

an = a1 + d (n – 1)

999 = a1 + d (n -1) 999 = 100 + (n – 1)

100 = n – 1 = 999 99 + n = 999

n = 999 – 99 n = 900

S900 = [pic] 900 S900 = [pic] 900

S900 = 1099·450 S900 = 494550

999 = 102 +3 (n – 1) 999 = 102 + 3n – 3

3n + 99 = 999 3n = 999 – 99

3n = 900 n = 300

S300 = [pic] S300 = 1101·150 = 165150

Находим исходную сумму

S = S900 - S300 S = 494550 - 165150 = 329400

Ответ: S = 329400.

6. Найти b6, если b5 = 36, b7 = 114

b²k = bk – 1·bk + 1 (k ≥ 2)

b²6 = b5·b7 b²6 = 36·144 b6 = [pic] b6 = [pic]

Ответ: b6 = [pic] .

7. Найти q, если b1 = 10, b2 + b3 = 60

b2 = b1·q b3 = b1·q²

b1·q + b1·q² = 60

10q + 10q² = 60 /: 10

q² + q – 6 = 0

q1 + q2 = -1

q1·q2 = -6

q1 = -3 q2 = 2

q = -3

b2 = 10· (-3) = -30 b3 = 10·(-3)² = 90

b2 + b3 = 60 -30 + 90 = 60

q = 2

b2 = 10·2 = 20 b3 = 10·2² = 10·4 = 40

20 + 40 = 60

Ответ: q = -3; q = 2.

8. Найти b13, если b11 = 25, b15 = 400

b²13 = b12·b14

b²k = bk-p·bk + p, p = 2

b²13 = b11·b15 b13 = 25·400 b13 = 5·20 b13 = 100

Ответ: b13 = 100.

9. Найти S6, если b1 = -2, b6 = -486

Sn = [pic]

Находим q

b6 = b1·q⁵

-2·q⁵ = -486

q⁵ = -486: (-2)

q⁵ = 243

q = 3

S6 = [pic] 1 – 729 = -728

Ответ: S6 = -728.

10.Найти n, если b1 = 9, bn = [pic] , Sn = [pic]

bn = b1·qn – 1

[pic] = 9·qn – 1

qn – 1 = [pic]

q = [pic]

n – 1 = 6

n = 7

Ответ: n = 7.