Неполные квадратные уравнения и их решение
Определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида
ах² + bx + c =0, где х – переменная, а a,b и с – некоторые числа, причем а≠0.
Числа а,b и с называются коэффициентами квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число с – свободным членом.
Наиболее простыми для решения являются квадратные уравнения, в которых коэффициенты b или с равны нулю. Такие уравнения называют неполными квадратными уравнениями. К их числу относятся, например, уравнения: 5х² + 3х = 0; -4х² + 12 = 0; 2х² = 0. В первом из них с = 0 и b≠ 0,
во втором b = 0и с ≠ 0, в третьем с = 0 и b = 0. Эти уравнения представляют различные виды неполных квадратных уравнений, отличающихся способом решения. Рассмотрим по порядку решения всех этих видов уравнений.
Количество корней
Если b = 0
Уравнение примет вид:
а х² + с = 0
Решение.
А) если коэффициенты а и с – числа одного знака, то выражение – отрицательное и уравнение не имеет решений;
Б) если коэффициенты а и с – числа разных знаков, то выражение – положительное и уравнение имеет два решения
1.Если, то уравнение имеет два корня, равных по модулю, но разных по знаку.
2. Если, то уравнение не имеет корней .
Если c = 0
Уравнение примет вид:
ax² + bx = 0
Решение: разложим левую часть уравнения на множители
x(ax + b) = 0
получим х=0 или ах +b = 0
ах = - b
x = -
Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0, а другой x = -
Если b=0 и с =0
Уравнение примет вид:
ах² = 0, откуда х² =0, х=0
Уравнение имеет только один корень, равный 0
Задание 1. Расположите данные уравнения и таблицу, в зависимости от количества корней уравнения:
1)5х² + 6х = 0; 2) - х² = 0; 3) -0,3х² + 9 = 0; 4) -0,1х² + 5х = 0;
5) 0,6х² + 12 =0; 6) -4х² = 0; 7) -0,3х² - 6 =0; 8); х² - = 0;
9) х² + 6х = 0 ; 10) 7х² - 49 = 0; 11) 2х² = 0; 12)
Уравнение имеет два корня, один из которых равен 0.
Пример 1 . Решить уравнение
Решение.
Ответ: -3;3
Пример 2. Решить уравнение
Решение.
Ответ: 0;9
Пример 3. Решить уравнение
Решение.
Ответ: 0
Пример 4. Решить уравнение
Задание2.
А) Решите уравнение 5х² - 10 = 0. Если корней несколько, найдите их произведение.
Б) Укажите уравнение, которое не имеет корней.
2,7х²-1,5х=0
2,7х²+1,5х=0
2,7х²-1,5=0
2,7х²+1,5=0
В) найдите корни уравнения (х+1)² - 1+2х=0
Г) Какие из уравнений имеют иррациональные корни:
9х² - 4 = 0
3х² + 4 = 0
х² + 2 х = 0
х² - 8 = 0
Пример 5. При каком значении параметра m уравнение является неполным квадратным: а) б)
Решение.
а) Запишем уравнение в виде . Выпишем коэффициенты данного квадратного уравнения : а = -1, b = 5m² - 20, c =1. Коэффициент с не может быть равными нулю, следовательно, уравнение будет неполным квадратным при условии b=0,т.е. если 5m² - 20=0. Откуда m = ±4.
Ответ: m = -4, m = 4.
б) Выпишем коэффициенты данного квадратного уравнения: а =, b = -3,
c = m²+m. Если коэффициент а=0, то квадратное уравнение обращается в линейное, следовательно коэффициент а ≠0, т. е. m+1≠0, следовательно
m ≠ -1. Данное уравнение будет неполным квадратным при условии с=0, т.е.
m²+m=0
m(m+1)=0,
откуда m=0 или m= -1. Но выше мы выяснили, что m ≠ -1. Значит нашему условию удовлетворяет только m=0/
Ответ: m = 0.
Рассмотрим примеры, в которых нужно определить, при каких значениях параметра квадратные уравнения имеют корни :
равные по модулю, но различные по знаку,
только один из корней, равный нулю,
только один корень, равный нулю.
Случай 1) выполняется при условии, что в квадратном уравнении коэффициент b=0
Следует различать задания 2) и 3). В задании 2) уравнение имеет два корня, при этом только один из них равен 0, а в задании 3) уравнение имеет только один корень; при этом он равен 0. Или еще говорят , что уравнение имеет два равных корня, каждый из которых равен нулю.
Пример 6. При каких значениях m ровно один из корней уравнения
2х² - mx + 2m² - 3m = 0 равен нулю ?
Решение. Следует различать условия, при которых уравнение имеет только один корень, равный нулю ( если b=0 и с = 0) и условия, при которых уравнение имеет один из корней равен нулю ( с=0). В данном уравнении мы будем рассматривать второй случай, т.е. когда с = 0. В данном уравнении
а =2, b = -m, c = 2m²-3m. Итак, запишем условие 2m² - 3m = 0, m(2m-3) = 0, m = 0 или m =1,5.
Если m = 0, то получим уравнение 2х²=0. А это уравнение имеет только один корень, равный нулю, что не соответствует нашему условию.
Если m =1,5, то получим уравнение 2х² -1,5х+ 21,5² - 31,5 = 0, т.е
2х² - 1,5х=0. Корни этого уравнения х=0, х=0,75. С ледовательно нашему условию удовлетворяет только m =1,5.
Ответ: при m =1,5.
Пример 7. При каких m уравнение 4x²+(5|m|-1)x + 3m² + m =0 имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?
Решение. Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 4, b = 3|m|-1,
c = 6m² + m. Уравнение имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку при условии, что коэффициент b = 0, т.е. 3|m|-1=0; 5|m| = 1; |m| = ; m = или m = - .
1) Если m = - , то получим уравнение 4x² - = 0. Это уравнение имеет два корня х= х=.
2) Если m = , то получим уравнение 4x² + = 0, которое не имеет корней, т.к. коэффициенты а и с – числа одного знака.
Ответ: при m = - .
Пример 8. При каких значениях m уравнение 8x²-(3m²+4m)x+9m² - 16 = 0 имеет только один корень, равный нулю?
Решение. Выпишем коэффициенты данного уравнения: а = 8, b = 3m²+4m,
c = 9m² -16. Уравнение имеет только один корень, равный нулю при условии, что коэффициенты с = 0 и b = 0 одновременно. С=0, если
9m² -16 = 0 ,т.е. если m = ± .
Если m = , то коэффициент b = 3m²+4m ≠ 0, а значит получим уравнение , не удовлетворяющее нашему условию.
Если m = - , то коэффициент b = 3m²+4m = 0, и данное уравнение примет вид 8х² = 0, которое имеет только один корень, равный нулю.
Ответ: при m = -
Тренировочные задания
Задание. 1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения
х² +(m+3)x + |m| - 3 = 0 равен нулю ?
Решение . Уравнение имеет один из корней равен нулю, если ____________________, т.е. если m = 3, m =_____.
1)Если m = 3, то уравнение примет вид_______________. А это уравнение имеет ______________________________ , что не соответствует нашему условию.
2)Если m = ____ , то получим уравнение____________________,
Корни этого уравнения_______________________. Следовательно нашему условию удовлетворяет только m = _______.
2. При каких m уравнение 3x²+(m²-4m)x + m -1 = 0 имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?
Выпишем коэффициенты данного уравнения: ___________________________________________.
Уравнение имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку при условии, ______________, т.е.____________________________________________;
1) Если m = _______, то получим уравнение_________________. Это уравнение имеет _______________________________________________
2) Если m = , то получим уравнение 3x² +1 = 0, которое ___________________, т.к. коэффициенты а и с – числа_________________.
Следовательно нашему условию удовлетворяет только m = _______.
3. При каких значениях m уравнение 3x²- (m-1)x+1- m² = 0 имеет только один корень, равный нулю?
Выпишем коэффициенты данного уравнения: ___________________________. Уравнение имеет только один корень, равный нулю при условии, что коэффициенты _________________________________________________. С=0, если __________________________________________________________
1)Если m = 1 , то коэффициент b =________, и данное уравнение примет вид_____________, которое имеет только один корень, равный нулю
2)Если m = _____ , то коэффициент b _____________, а значит получим уравнение _______________________, которое имеет _________________.
Ответ: при m = _______.
Задание.
При каких значениях m ровно один из корней уравнения
равен нулю ?
При каких m уравнение +имеет корни, равные по модулю, но разные по знаку?
При каких значениях m уравнение 5x²- (m-6)x+36- m² = 0 имеет только один корень, равный нулю?
