Урок алгебры и начала анализа в 11 классе
Тема: Первообразная
Цель: Ввести понятие первообразной для функции у=f(x), уяснить ее физический и геометрический смысл. Учить «догадываться», проводить доказательства гипотез, учить составлять конспект.
Тип урока: школьная лекция
І Изучение нового материала
Вспомним понятие обратной задачи
Решить уравнение х2 – 5х + 6 = 0
Обратная задача: составить квадратное уравнение, зная его корни х1 = 2, х2=3
Построить график функции: у = 2х + 3
Обратная задача: составить уравнение функции, заданной графиком.
Вспомним парность действий в математике
+ → −
х → : Противоположности в диалектике
у' = f(x) → ?
Применим аналогию для выдвижения гипотезы. Так как все известные нам действия имеют обратные, естественно, предположить обратное и для дифференцирования.
Постановка проблемы. Есть ли обратное действие дифференцированию, и какие задачи к нему приводят.
Вспомним все о прямом действии – дифференцировании.
А) определение f' (хо)=
Б) физический смысл производной
В физике мгновенная скорость
В) Геометрический смысл производной
В геометрии – тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси
у = кх + в
к = tg y = f '(xo)
Пример Закон движения S(t) = [pic]
V(t) = S'(t) = ( [pic] gt2)2= [pic] g ·2t = gt
a(t)= v'(t) = (gt)'=g
Зная закон движения точки, можно предположить v(t), a(t)
Сформулируйте обратную задачу.
a(t) → v(t)→s(t)
Зная закон ускорения, найти скорость v(t) и закон движения точки s(t)
В физике чаще всего решают именно эту задачу. Задать закон движения труднее.
Итог: сформулирована практическая задача, обратная дифференцированию.
Теперь наша задача разобрать, изучить математический аппарат для ее решения. Математика всегда на службе других наук, а практика – одна из движущих сил развития науки, воспитание диалектического мировоззрения. Один из источников развития науки: жизнь ставит задачи – наука должна их решать.
Введем понятие первообразной.
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке J, если для каждого значения х из этого промежутка F'(x) = f(x).
Значит S(t) – первообразная для v(t), а v(t) – первообразная для a(t).
Действие нахождения первообразной называется интегрированием
Решение упражнений на применение понятия первообразной.
Докажите, что функция F(x) = x4 – первообразная для функции f(x) = 4 x3
Докажите, что функция F(x) является первообразной для f(x),если
а) F(x) = [pic] x3 + 5+ [pic] , f(x) = [pic] x2 − [pic] , x є (0;∞)
б) F(x) = 2sin 3x, f(x) = 6 cos 3x, x є R
в) F(x) = 4 + tg 3x, f(x) = [pic] , x є - [pic] ; [pic]
Геометрическое истолкование нахождения первообразной.
Учащиеся сами ищут ответ
(вспомнить геометрическую суть производной, определение первообразной…)
Применение теории на практике
Отыскивание первообразных ( угадывание, доказательство)
Пример: У=Х, найти первообразную для данной функции.
Решение
F(x) = [pic] ,т.к. F' (x) = ( [pic] x2)' = ( [pic] ·2x) = x = f(x)
Анализ своей мыслительной деятельности при отыскании первообразных
Вспомнить, какая функция имеет данную производную.
Восстановить первообразную по ее производной.
Обратить внимание на тех учащихся, у кого затруднен ход мысли.
Перенос по аналогии на простом материале.
У=Х2 → F(x) = [pic]
У = Х3 → F(x) = [pic]
Обобщение по индукции ( сравнить, найти общее, существенные связи)
У = Хn → F(x) = [pic] ( гипотеза)
Подчеркнуть идею доказательства
Доказательство
F(x) = ( [pic] )' = ( [pic] · xn+1)' = [pic] · (n+1) ·xn+1-1 = xn, что и требовалось доказать.
Устно. Верна ли запись ?
У = sin x → F(x) = − cos x
У = cos x → F(x) = sin x
Как понимать эти записи?
Задачи на доказательство того, что функция F(x) есть первообразная для f(x) на задуманном промежутке.
Пример: F(x) =3 [pic] , f(x) = [pic] , x є (0;∞)
Решение
F(x) = 3x [pic] , F'(x) = ( 3·x [pic] )' = 3· [pic] x [pic] [pic] = x [pic] = [pic] = [pic] для всех х є (0;∞)
Отработать общий поход: приступая к решению новой задачи, вспомнить, не было ли раньше похожей ситуации, применить анологию, накапливать свой опыт решения задач.
Подведение итога урока
Выделить главное в материале
Что нужно прочно знать ?
Домашнее задание: § 24 стр. 221, конспект № 912, 913, 917, 920
