7. Решите систему уравнений [pic] В ответе запишите сумму решений системы.
8. Упростите выражение [pic] , найдите его значение при [pic] . В ответ запишите полученное число.
Модуль Геометрия
9. [pic] Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
10. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.
[pic]
11. [pic] Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 30° и 45° соответственно.
12. [pic] Биссектрисы углов N и M треугольника MNP пересекаются в точке A. Найдите [pic] , если [pic] , а [pic]
13. Укажите номера верных утверждений.
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Вертикальные углы равны.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Модуль Реальная математикаРешение.
Угол ACB — вписанный, равен половине центрального угла, опирающийся на ту же дугу, то есть AОВ = 52°. Угол ВОD — развернутый, поэтому угол ОАD равен 180° − 52° = 128°.
Ответ: 128.
Ответ: 128
14. Чашка, которая стоила 90 рублей, продаётся с 10%-й скидкой. При покупке 10 таких чашек покупатель отдал кассиру 1000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
15. Зная длину своего шага, человек может приближённо подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s = nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошёл человек, если l = 80 см, n = 1600? Ответ выразите в километрах.
16. На диаграмме показано распределения земель Уральского, Приволжского, Южного и Дальневосточного Федеральных округов по категориям. Определите по диаграмме, в каком округе доля земель лесного фонда превышает 70%.
[pic]
*прочее — это земли поселений; земли промышленности и иного специального назначения; и земли особо охраняемых территорий и объектов.
1) Уральский ФО; 2) Приволжский ФО; 3) Южный ФО; 4) Дальневосточный ФО
17. На экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.
18. Длину окружности можно вычислить по формуле [pic] , где [pic] — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите радиус окружности, если её длина равна 78 м. (Считать [pic] ).
19. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 540 миллиметров ртутного столба? [pic]
20. Перед представлением в цирк для продажи было заготовлено некоторое количество шариков. Перед началом представления было продано [pic] всех воздушных шариков, а в антракте – еще 12 штук. После этого осталась половина всех шариков. Сколько шариков было первоначально?
Модуль алгебра. Часть II
21. Сократите дробь [pic] .
22. Решите систему уравнений [pic]
Решение.
Стоимость одной чашки равна 90 − 0,1 · 90 = 81 руб. Стоимость 10 чашек равна 810 руб. Значит, сдача с 1000 рублей составит 190 рублей.
Ответ: 190.
Ответ: 190
23. Постройте график функции
[pic]
и определите, при каких значениях прямая [pic] имеет с графиком ровно две общие точки.Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.
2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.
3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.
Ответ: 1; 2.
Ответ: 1; 2
Геометрия
24 . Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB =16, DC = 24 , AC = 25.
25. [pic] На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Решение.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
[pic]
Ответ: 0,4.
Ответ: 0,4
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
[pic]
Ответ: 168.
Ответ: 168
Вариант №2
Модуль Алгебра
1. Вычислите: [pic]
2. На координатной прямой изображены числа [pic] и [pic] . Какое из следующих неравенств неверно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
[pic]
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic]
3. Какое из следующих выражений равно [pic] ?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [pic] ;2) [pic] ;3) [pic] ;4) [pic] Решение.
4. Решите уравнение [pic] .
Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
5. Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функции
Графики [pic]
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:
6. Найдите значение выражения [pic] при [pic]
7 . Решите систему уравнений [pic]
В ответе запишите сумму решений системы.
8 . Упростите выражение [pic] и найдите его значение при [pic] . В ответ запишите полученное число.
Модуль Геометрия
9 . Разность углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 40°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
10. В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 146°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах. [pic]
11. [pic] Найдите угол АDС равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием ВС и боковой стороной АВ углы, равные 30° и 50° соответственно.
12 . [pic] Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.
13. Укажите номера верных утверждений.
1) Существует квадрат, который не является прямоугольником.
2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны.
3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания
Модуль Реальная математика
14. За 20 минут велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за 35 минут, если будет ехать с той же скоростью?
15. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?
16. В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле [pic] , где [pic] — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость колодца из 11 колец.
17. В математические кружки города ходят школьники 5–8 классов. Распределение участников математических кружков представлено в круговой диаграмме.
[pic]
Какое утверждение относительно участников кружков верно, если всего их посещают 354 школьника?
1) в кружки не ходят пятиклассники
2) восьмиклассников ходит больше, чем семиклассников
3) больше половины участников кружков учатся не в седьмом классе
4) шестиклассников меньше 88 человек
18. На многопредметной олимпиаде [pic] всех участников получили дипломы, [pic] остальных участников были награждены похвальными грамотами, а остальные 144 человека получили сертификаты об участии. Сколько человек участвовало в олимпиаде?
19. На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.
[pic]
20 . На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Модуль алгебра. Часть II
21. Упростите выражение: [pic] .
22. Решите систему уравнений [pic]
23. Постройте график функции f(x)=
и определите, при каких значениях прямая [pic] имеет с графиком ровно две общие точки.Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.
2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.
3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.
Ответ: 1; 2.
Ответ: 1; 2
Геометрия. Часть II
24 . На сторонах угла [pic] и на его биссектрисе отложены равные отрезки [pic] и [pic] . Величина угла [pic] равна 160°. Определите величину угла [pic] . [pic]
25. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Вариант №3
Модуль АлгебраРешение.Подставим количество колец в формулу для расчета стоимости. Имеем: [pic] Ответ: 50 500.Ответ: 50500
Решение.
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.
Ответ: 30.
Ответ: 30Решение.Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
[pic]
Ответ: 28.
Ответ: 28
1. Вычислите: [pic]
2. На координатной прямой отмечено число [pic] . Какое из утверждений относительно этого числа является верным?
В ответе укажите номер правильного варианта.
[pic]
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic]
3. Представьте выражение [pic] в виде степени с основанием c.
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic]
Решение.
Используя формулы [pic] и [pic] , получаем:
[pic]
Правильный ответ указан под номером 2.
Ответ: 2
137278
2
В ответе укажите номер правильного варианта.
4. Решите уравнение [pic] Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
5. На рисунке изображены графики функций вида y = kx + b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
[pic]
Коэффициенты
Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 6. Упростите выражение [pic] , найдите его значение при [pic] . В ответ запишите полученное число. 7.Упростите выражение [pic] и найдите его значение при [pic] . В ответ запишите полученное число.
8. Решите систему уравнений [pic]
В ответе запишите сумму решений системы.
Модуль геометрия
9. Один угол параллелограмма в два раза больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
[pic]
Введем обозначения как показано на рисунке и проведём высоту трапеции СH. В прямоугольном треугольнике BCH длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна [pic] Следовательно, искомый синус острого угла B, равный отношению противолежащего углу катета CH к гипотенузе BC, равен [pic]
Ответ: 0,8.
Ответ: 0,8
\10. [pic] Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 45°. Найдите больший угол параллелограмма.
11. [pic] Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠CAB = 80° и ∠ACB=59∘. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
12. Найдите меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием BC и боковой стороной CD углы, равные 30° и 105° соответственно.
[pic] 9
13. Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Модуль Реальная математика
14. Кисть, которая стоила 240 рублей, продаётся с 25%-й скидкой. При покупке двух таких кистей покупатель отдал кассиру 500 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
15. Площадь параллелограмма [pic] можно вычислить по формуле [pic] , где [pic] — стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма, если его стороны 10 м и 12 м и [pic] .
16. таблице приведены нормативы по бегу на 30 метров для учащихся 9-х классов.
Какую отметку получит девочка, пробежавшая эту дистанцию за 5,36 секунды?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) Отметка «5» ;2) Отметка «4»; 3) Отметка «3»; 4) Норматив не выполнен.
17. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался до температуры 50 °C с момента запуска двигателя. [pic]
18. [pic] На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей.
Какое из следующих утверждений неверно?
1) Пользователей из Украины больше, чем пользователей из Казахстана.
2) Пользователей из России вдвое больше, чем пользователей из Украины.
3) Примерно треть пользователей — не из России.
4) Пользователей из Украины и Беларуси более 3 млн человек.
19. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
20. Акции предприятия распределены между государством и частными лицами в отношении 3:5. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 32 млн. р. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Ответ укажите в рублях.
Модуль алгебра. Часть II.
21. Сократите дробь [pic]
22. Решить систему уравнений: [pic]
23. Постройте график функции f(x)=
и определите, при каких значениях прямая [pic] имеет с графиком ровно две общие точки.Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.
2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.
3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.
Ответ: 1; 2.
Ответ: 1; 2
24. [pic] В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
25. [pic] На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный
Вариант №4
Модуль АлгебраРешение.Подставим количество колец в формулу для расчета стоимости. Имеем: [pic] Ответ: 50 500.Ответ: 50500
Решение.
Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны. Тем самым, угол OAB = 30°.
Ответ: 30.
Ответ: 5.
Ответ: 5
Решение.
Стоимость одной кисти равна 240 − 0,25 · 240 = 180 руб. Стоимость двух кистей равна 360 руб. Значит, сдача с 500 рублей составит 140 рублей.
Ответ: 140.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
[pic]
Ответ: 0,75.
Ответ: 0,75
1.Найдите значение выражения [pic]
2. На координатной прямой изображены числа [pic] и [pic] . Какое из следующих неравенств неверно?
В ответе укажите номер правильного варианта.
[pic]
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic]
3. Вычислите: [pic]
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) [pic] ; 2) [pic] ; 3) [pic] ; 4) [pic]
4. Найдите корни уравнения [pic] .Если корней несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
5. На рисунке изображены графики вида Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Графики
[pic]
Коэффициенты
Ответ: 6. Упростите выражение [pic] , найдите его значение при [pic] . В ответ запишите полученное число. 7.Упростите выражение [pic] и найдите его значение при [pic] . В ответе запишите найденное значение.
8. Решите систему уравнений [pic]
В ответе запишите сумму решений системы.
Модуль геометрия
9. [pic] Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах.Решение.
[pic]
Введем обозначения как показано на рисунке и проведём медиану треугольника AH. В прямоугольном треугольнике ABC длины катетов равны 3 и 4, поэтому гипотенуза равна [pic] В прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы, т. е. 5 : 2 = 2,5.
Ответ: 2,5.
Ответ: 2,5
10. [pic] В равностороннем треугольнике ABC медианы BK и AM пересекаются в точке O. Найдите [pic] .
11. [pic] Найдите угол ABC равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной CD углы, равные 30° и 80° соответственно.
12. [pic] На плоскости даны четыре прямые. Известно, что [pic] , [pic] , [pic] . Найдите [pic] . Ответ дайте в градусах.
13. Укажите номера верных утверждений.
1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
2) Сумма смежных углов равна 180°.
3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Модуль Реальная математика
14. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 4 взрослых и 12 школьников?
15. В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Какой вывод о суточном потреблении жиров 8-летним мальчиком можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 90 г жиров?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) Потребление в норме.
2) Потребление выше рекомендуемой нормы.
3) Потребление ниже рекомендуемой нормы.
4) В таблице недостаточно данных.
16. В фирме «Эх, прокачу!» стоимость поездки на такси (в рублях) рассчитывается по формуле [pic] , где [pic] — длительность поездки, выраженная в минутах [pic] . Пользуясь этой формулой, рассчитайте стоимость 8-минутной поездки.
17. На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). [pic] На сколько миллиметров ртутного столбы отличается давление на высоте 2 км от давления на высоте 8 км?
18. На диаграмме показано содержание питательных веществ в какао, молочном шоколаде, фасоли и сливочных сухарях. Определите по диаграмме, в каком продукте содержание углеводов наибольшее.
*-к прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
[pic]
1) какао; 2) шоколад; 3) фасоль; 4) сухари
19. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.
20. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 120 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:5. Сколько голосов получил победитель?
Модуль алгебра. Часть II
21. Найдите значение выражения: [pic] при [pic]
22. Решить систему уравнений: [pic]
23. Постройте график функции f(x)=
и определите, при каких значениях прямая [pic] имеет с графиком ровно две общие точки.Решение.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны» — верно по признаку подобия треугольников.
2) «Вертикальные углы равны» — верно, это теорема планиметрии.
3) «Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой» — неверно, это утверждение справедливо только для равностороннего треугольника.
Ответ: 1; 2.
Ответ: 1; 2
Модуль геометрия. Часть II
24. Найдите величину угла [pic] , если [pic] — биссектриса угла [pic] , [pic] — биссектриса угла [pic] . [pic] 25 [pic] На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный [pic]
Ответ: 183.
Решение.
Рассмотрим все варианты ответа:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
Поскольку [pic] неверно неравенство под номером 3.
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
