9 класс (ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ)
Урок № 2. Перестановки. Факториал
Цели урока:
познакомить учащихся с понятием перестановки, числа перестановок;
ввести понятие факториала.
Ход урока
Устно
1. Сформулируйте комбинаторное правило умножения.
2. В коридоре висит 3 лампочки, каждая из которых может гореть или не гореть независимо друг от друга. Сколько имеется способов освещения коридора? (Следует обратить внимание учащихся на случай, когда ни одна из лампочек не горит, это тоже способ освещения коридора.) [8]
3. Одновременно бросают 3 монеты. Сколько равновозможных исходов у этого эксперимента? [8]
[pic]
Объяснение нового материала
Займемся теперь подсчетом числа способов, которыми можно расположить в ряд несколько различных элементов. Такие расположения называются перестановками и играют важную роль в комбинаторике.
Сколькими способами можно выложить в ряд красный, синий и зеленый шарики?
[pic]
Сначала можно выбрать любой из трех шариков, затем — любой из двух оставшихся, а в конце — последний, оставшийся шарик. По правилу произведения получаем, что шарики можно выложить в ряд 3· 2· 1 = 6 способами.
Если бы было восемь разноцветных шариков, то выложить их в ряд можно
8· 7· 6· 5· 4· 3· 2· 1 = 40 320 способами.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn
В данных примерах P3 = 6, P8 = 40 320.
Рассуждая тем же способом, легко понять, что n различных элементов можно выложить в ряд n· (n – 1) · (n – 2) · …· 2· 1 способами.
-
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом натурального числа n.
Обозначение: n! = 1· 2· …· (n – 2) · (n – 1) · n.
Таким образом, перестановкой из n элементов называется способ расположения их в ряд (способ их нумерации).
Число перестановок n элементов равно n! Pn = n!
Договорились считать 0! = 1, 1! = 1
Приведем таблицу факториалов от 0 до 10:
Пример 1. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
P8 = 8! = 40320
Пример 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
P4 – P3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18. (P4 – всего перестановок из 4 цифр, P3 – число перестановок начинающихся с 0).
Закрепление изученного материала
№ № 732, 734, 735, 736, 742, 743, 748
Итог урока
Дать определение перестановки.
Чему равно число различных перестановок из n элементов?
Что такое факториал натурального числа?
Чему равен факториал нуля?
Задание на дом
1. п. 30, 31.
2. №№ 733, 737, 749, 752(б)
3*. Придумать задачи на данную тему
