10
Урок 1: Исторические сведения. Старинные логические задачи.
Цели: познакомить учащихся: с историей происхождения цифр, цифрами разных народов, некоторыми системами счисления, историей нуля, решение старинных логических задач.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация к уроку.
Ход урока:
Орг. момент. Объявление целей урока.
Лекционный материал. [pic]
Сегодня считается, что позиционная система записи чисел была изобретена в Индии "очень давно", затем была заимствована арабами, которые и занесли ее в средневековую Европу. При этом Индия не была завоевана арабами. Заимствование индийских цифр у индийцев должно было бы произойти сначала их иранскими и китайскими соседями задолго до арабского покорения Ирана. У иранцев могли быть и другие источники математической учености. В двадцатом веке стали известны знаменитые глиняные таблички, найденные на территории Месопотамии. На этих табличках имеются примеры использования позиционной системы счисления, позволявшей производить сложные математические. Эти математические достижения древних шумеров и древних индийцев были забыты их потомками. Сегодня материальные свидетельства развития математики в Индии, и в Китае либо исчезли, либо еще не найдены.
Современная математика стала стремительно развиваться именно в Европе, во второй половине XVI – начале XVII веков, на основе единых для всей Европы "арабских цифр" и позиционной системы счисления.
Иногда кажется, что математические символы являются вненациональным научным инструментом, общим и единым для всех стран и народов. Однако, наши "арабские" цифры отличаются от "арабских" цифр в Иране и в Египте. Европейская позиционная система записи цифр от старших разрядов к младшим, слева направо, также не единственная. На Востоке используется также система записи цифр справа – налево. До сих пор, во многих случаях, в основном в быту, используются и непозиционные системы записи чисел.
В традиционной истории считается, что римская, греческая, египетская системы счисления, в которых цифры записывались словами или образовывались из нескольких значков, предшествовали арабской системе счисления. В ней цифры, состоявшие ранее из нескольких значков, стали обозначаться одним знаком. Индийский метод давал преимущество в использовании гораздо меньших групп знаков для обозначения числа и значительно упростил письменные вычисления. Если происхождение новой системы было индийским, то, видимо, и изначальная форма арабских числительных также была индийской. Но впоследствии арабские ученые стали использовать собственные обозначения восточно-арабских цифр, которые были образованы, по-видимому, от букв арабского алфавита.
Рассмотрение цифр в датах на картинах, гравюрах, рисунках художников XIV – XVII веков показывает, что до середины XVI века единой для Европы системы написания арабских цифр не существовало. В последней четверти XV века цифры у итальянских мастеров соответствуют современному написанию цифр. Цифры у немецких и голландских мастеров в первой четверти XVI века еще значительно отличаются от современных, разные художники применяют разную форму цифр. Даже при обозначении дат римскими цифрами встречаются разные формы записи чисел, некоторые из них не соответствуют классическим.
"Странные" цифры на картинах художников "Портрет супружеской пары". 1479 год. Знак тысячи обозначен римский буквой "М". Четверка и семерка далеки от обычных арабских цифр.
[pic] [pic]
"Мадонна с архангелом Михаилом и святым". Алтарная завеса. Германия. 1477. Эрмитаж. Странная дата
[pic] [pic]
Тысяча обозначена "единичкой", четверка и семерка совсем не такие, как сейчас…
Становление арабских цифр в Европе [pic]
Шонгауэр. "Крестьяне, едущие на рынок". [pic]
Вверху странная цифра. Если первая цифра - шестерка, тогда - это дата - 6979 год от сотворения мира или 1471 год НЭ. Шестерка явно "не настоящая" [pic] [pic]
Венеция. Башня часов. 1485-95 Древнегреческая аттическая (вверху) и алфавитная (внизу) нумерация
[pic] [pic]
Так как многие народы в древности не общались друг другом, то у разных народов возникли разные системы счисления и представления чисел и цифр.
Число - это обобщение, так как разными числами можно подсчитать разные предметы.
Цифры – это значки, с помощью которых записывают числа.
Система счисления или нумерация – это способ записи чисел с помощью цифр.
Десятеричная и пятеричная система возникла от того факта, что на одной руке человека пять пальцев, на обоих руках 10 пальцев. Некоторые племена на филиппинских островах используют ее и в наши дни, а в цивилизованных странах ее реликт сохранился в виде школьной пятибалльной шкалы оценок.
Дата – время. Традиционный способ представления моментов времени и промежутков времени сочетает использование нескольких разных единиц измерения. При переходе от тысячелетий к векам, от них к десятилетиям, а затем к годам, вес разряда в записи даты изменяется в 10 раз. Год состоит из 12 месяцев, месяц – из 4 недель, неделя – из 7 суток. Сутки состоят из 24 часов, час – из 60 минут, а минута – из 60 секунд. Более мелкие интервалы времени, чаще всего, измеряют десятыми, сотыми, тысячными долями секунды. Таким образом, здесь сочетаются системы счисления с шестью различными основаниями: 4, 7, 10, 12, 24 и 60.
Двенадцатеричная система счисления. На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов Английский фунт состоит из 12 шиллингов.
Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной и аддитивной.
1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
[pic]
Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем ряду должно быть столько же палочек, сколько и в верхнем, или на одну больше.
[pic]
10. Такими путами египтяне связывали коров
[pic] [pic] [pic]
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
[pic]
100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.
[pic]
1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка.
[pic]
10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец.
100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик.
[pic]
1 000 000. Увидев такое число, обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф
[pic]
10 000 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца
[pic] [pic] [pic] [pic] - 1205, [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic] - 1 023 029
В сказке "Конёк-Горбунок", написанной П. П. Ершовым, есть примечательный эпизод. Царь, увидев златогривых коней и пожелав их заполучить, вступает с Иваном в торг.
Ну. я пару покупаю.
Продаешь, ты? — Нет, меняю.
Что в промен берешь добра? —
Два — пять шапок серебра. —
То есть это будет десять.
Царь тотчас велел отвесить...
Автор сказки хорошо знает тонкости русского языка, поэтому все слова им точно взвешены и употребляются к месту. Это, безусловно, относится и к непривычной для современного читателя форме обозначения десятка — "два — пять". Иван, не будучи большим грамотеем, торгуясь с царем, оперирует пятками, а более продвинутый в арифметике монарх переводит его примитивный счет в десятеричную систему. Но, если записать "два — пять" на бумаге, человек, не знакомый с пятеричной системой счисления, вполне мог бы прочесть это число как двадцать пять.
Римская пятеричная [pic]
Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.
Предполагаемое происхождение римских цифр [pic]
Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.
Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная
Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии). В ней числа 1 - 9 обозначаются первыми буквами древнегреческого алфавита:
[pic]
числа 10, 20, … 90 изображались следующими девятью буквами:
[pic]
числа 100, 200, … 900 последними девятью буквами:
[pic]
Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.
Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.
[pic]
Древние евреи, арабы и многие другие народы Ближнего Востока имели такие же системы счисления.
При ее помощи можно было просто записать числа до ста миллионов (100 000 000). Эта система по быстроте счета мало отличается от «арабской».
Славянская кириллическая десятеричная алфавитная
Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию. [pic]
Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком: [pic]
Читаем дословно "четырнадцать" - "четыре и десять". Как слышим, так и пишем: не 10+4, а 4+10, - четыре и десять. Числа от 21 и выше записывались наоборот, сначала писали знак полных десятков.
Запись числа, использованная славянами аддитивная, то есть в ней используется только сложение: [pic] = 800+60+3
Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке.
Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве. Так образовывались числа:
Тысяча
1000
[pic]
Тьма
10 000
[pic]
Легион
100 000
[pic]
Леодр
1 000 000
[pic]
Ворон
10 000 000
[pic]
Колода
100 000 000
Славянская нумерация просуществовала до конца XVII столетия, пока с реформами Петра I в Россию из Европы не пришла позиционная десятичная система счисления.
Древнекитайская десятеричная
Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.
Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.
[pic]
[pic]
[pic]
10
100
1 000
10 000
История нуля.
Нуль бывает разный. Во-первых, нуль – это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль – это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?
Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах, но такие числа как 1 и 60 у них записывали одинаково, так как нуль в конце числа у них не ставился. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.
Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
На стенной надписи в Индии в IX веке н.э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, в XII веке индийский математик Бхаскара делает попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью". [pic]
Нуль - это уникальный знак. Нуль – это чисто абстрактное понятие, одно из величайших достижений человека. Его нет в природе окружающей нас. Без нуля можно спокойно обойтись в устном счете, но невозможно обойтись для точной записи чисел. Кроме этого, нуль находится в противовесе всем остальным числам, и символизирует собой бесконечный мир. И если “все есть число”, то ничто есть все!
Старинные логические задачи
Приключения Нуля и Значащих Цифр в Королевстве Нуль-Девять (фрагмент)
…Очень огорчило Нулей, что не побывали у них в Нулевом посёлке Математические Знаки. Пришлось Нулям самим отправиться на поиски Знаков и пригласить их к себе.
Нули уже узнали обо всех полезных поступках, которые совершили Математические Знаки для Единиц, Двоек и других значащих цифр, и были уверены, что и им Знаки послужат верой-правдой. Но всё оказалось не так.
Впрочем, обо всём по порядку. Сначала решили Нули применить Знак Минус:
0.
0 = 0.
0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.
0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 – 0 = 0.
Удивились Нули: из одного Нуля хоть один Нуль вычитай, хоть девять – ничего не получается.
Тут один Нулик расхохотался:
– И не получится, если мы и дальше отнимать будем. Не вычитать надо, а прибавлять!
Повеселели остальные Нули и стали складывать:
0.
0 = 0.
0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0.
Удивительное дело: сколько Нулей к одному Нулю ни прибавляют, результат не меняется!
– Уж хоть бы Единицу получить, – горестно вздохнули Нули. – Чтобы приумножить наше Нулевое хозяйство, видимо, не складывать, а умножать надо!
И стали они умножать. Умножали, умножали, в конце концов, целых десять Нулей перемножили, да ничего у них не вышло:
0.
0 = 0.
0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 · 0 = 0.
– Что же это за дела, – удивился один из Нулей. – Отнимали – и ничего не вычли. Складывали – и ничего не добавили. Умножали – и не приумножили. Как теперь поступить? Делить, что ли?
– Делить-то нечего, – фыркнули остальные Нули, посмотрев из стороны в сторону. – Давайте-ка лучше помирим остальные Цифры между собой и сами со всеми помиримся.
Это предложение всем Нулям понравилось. Нули не были такими гордыми, как остальные Цифры. Недолго раздумывая, они отправились в соседние города и уговорили все Цифры помириться.
Единицы, Двойки, Тройки и другие Цифры сами уже соскучились без товарищей и с радостью согласились со всеми встретиться.
Встреча произошла в Нулевом Посёлке, и можете себе представить, какой весёлой она выдалась.
Единицы выстроили высокую пирамиду, которая вскоре под смех остальных Цифр развалилась. Упали Единицы прямо на Семёрок, которые стояли рядом.
После падения Цифры Один стали похожи на Семёрки, а Цифры Семь превратились в Единиц.
Двойки лебедями плескались в поселковом пруду и осыпали брызгами друзей.
Тройки таким образом прислонились к зеркалам, что стали похожи на Восьмёрок.
Четвёрки перевернулись, превратившись в стулья, и предложили всем желающим на них посидеть. Но когда несколько Нулей забрались на такие стульчики, то Четвёрки перекувырнулись, и Нули под хохот друзей кубарем покатились прочь.
Пятёркам понравились проделки Троек и Четвёрок: они тоже перевернулись, посмотрели на себя в зеркало и обнаружили, что почти не отличаются от Двоек.
Тут уж почти все цифры стали переворачиваться. Шестёрки превратились в Девяток, Девятки в Шестёрок.
Восьмёрка перевернулась несколько раз, но с удивлением обнаружила, что, в отличие от некоторых других Цифр, не изменилась.
Тогда она рассудила, что, вероятно, переворачивалась не в ту сторону и только поэтому не стала другой Цифрой.
Тут один шалунишка-Нуль так резко толкнул Восьмёрку, что она развалилась на две части.
Два Нуля взгромоздились один на другой, закричали:
– Мы теперь – Восьмёрка! – и задорно пропели. -
А Восьмёрка – тра-ля-ля! -
А Восьмёрка – два Нуля!
Но обе части Восьмёрки снова заняли свои места, и Восьмёрка решила держаться подальше от проказников Нулей.
Больше всего Цифрам понравилось то, что теперь с помощью математических знаков гораздо легче стало представлять одни числа через другие. Если прежде, чтобы изобразить число 3 нужны были три Единицы (1 + 1 + 1) или три Двойки (2 : 2 + 2), то теперь хватило одной Единицы и одной Двойки:
1 + 2 = 3.
А если взять по одной Цифре Один, Два и Три и, расположив их по порядку, вставить между ними Математические Знаки, то легко можно получить такие числа первой сотни:
(1 + 2) : 3 = 1;
12 : 3 = 4;
1 · 2 + 3 = 5;
1 · (2 + 3) = 5;
1 + 2 + 3 = 6;
1 · 2 · 3 = 6;
1 + 2 · 3 = 7;
12 – 3 = 9;
(1 + 2) · 3 = 9;
12 + 3 = 15;
1 · 23 = 23;
1 + 23 = 24;
12 · 3 = 36.
А Нуля особенно обрадовало то, что таким образом и его можно было изобразить: 1 + 2 – 3 = 0.
Если же рядом встанут Единица, Двойка, Тройка и Четвёрка, то можно ещё больше чисел из первой сотни выразить!
Например, так:
12 – 3 · 4 = 0;
12 : 3 : 4 = 1;
1 + 2 + 3 – 4 = 2;
1 + 2 · 3 – 4 = 3;
1 + 2 – 3 + 4 = 4;
12 – 3 – 4 = 5;
(1 + 23) : 4 = 6;
12 : 3 + 4 = 8;
1 · 2 + 3 + 4 = 9;
1 + 2 + 3 + 4 = 10;
12 + 3 – 4 = 11;
12 – 3 + 4 = 13;
1 · 2 + 3 · 4 = 14;
1 + 2 + 3 · 4 = 15;
12 : 3 · 4 = 16;
12 + 3 + 4 = 19;
1 + 23 – 4 = 20;
1 + (2 + 3) · 4 = 21;
1 · 2 · 3 · 4 = 24;
1 + 2 · 3 · 4 = 25;
1 · 23 + 4 = 27;
1 + 23 + 4 = 28;
12 · 3 – 4 = 32;
1 · 2 + 34 = 36;
1 + 2 + 34 = 37;
12 · 3 + 4 = 40;
12 + 34 = 46;
(12 + 3) · 4 = 60;
1 · 2 · 34 = 68;
1 + 2 · 34 = 69;
12 · (3 + 4) = 84;
1 · 23 · 4 = 92;
1 + 23 · 4 = 93;
(1 + 23) · 4 = 96.
Во многих случаях есть и другие способы (о них мы поговорим позднее).
Хорошо теперь зажили Цифры, но больше всех был счастлив Нуль.
Правда, сначала он никак не мог понять, с какой стороны подойти к значащим Цифрам, чтобы результат получился наибольшим. Нуль знал, что число 9 самое большое из однозначных чисел и решил сдружиться с Девяткой. Но с каким Математическим Знаком ему отправиться к ней в гости? Понятно, что не со Знаками Вычитания и Деления. Решил Нуль заняться умножением:
0 · 9 = 0.
Ничего хорошего не получилось. Расплакалась Девятка. Вся надежда оставалась на Знак Плюс:
0 + 9 = 9.
Повеселел Нуль, наконец что-то стоящее в результате получилось, хоть это и не его заслуга, а Цифры 9.
Снова призадумался Нуль: "А нужны ли нам сейчас Математические Знаки? Как наше Королевство называется? Нуль-Девять. Встану-ка я рядом с Девяткой без всяких Знаков! Я – слева, Девятка – справа": 09.
Нет, не то. А если перебежать на другую сторону?
Как задумано, так и сделано. Получилось 90!
Ай да Нуль! Без умножения увеличил значение Девятки в десять раз.
Так и стал Нуль с Девяткой под ручку ходить: Девятка – слева, Нуль – справа.
С тех пор Нуля стали уважать в Королевстве Нуль-Девять наравне с остальными Цифрами, да и само Королевство порой называли Королевством Девяносто.
А Нуль потом сообразил, что если справа поставить своего брата, то можно получить ещё большее число – 900! А так как братьев у Нуля видимо-невидимо, то получившееся число можно увеличивать бесконечно:
9000, 90000, 900000, 9000000, 90000000, 900000000, 9000000000...
Подведение итогов урока.
Что вы узнали нового?
Домашнее задание: Сообщение «Как появились цифры? Как выглядели цифры разных народов?» «Различные систем счисления»
