Грищенко Т.М.,
МАОУ СОШ № 37
с углубленным изучением
искусств и английского языка
г. Таганрог
МЕТОД ДЕКОМПОЗИЦИИ ПРИ РЕШЕНИИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Показательные и логарифмические неравенства часто встречаются в заданиях единого государственного экзамена (ЕГЭ). Эффективным методом решения неравенств подобного типа является метод декомпозиции. Суть метода состоит в следующем:
1) если Ф – композиция элементарных функций, которая монотонно возрастает на ОДЗ или на некотором ее подмножестве М, то
[pic]
2) если Ф – монотонно убывает, то
[pic]
Метод декомпозиции очень эффективен для решения показательно-степенных неравенств и логарифмических неравенств с переменной в основании.
Теорема 1. При всех допустимых [pic] , [pic] , [pic] справедливы следующие утверждения:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
Доказательство.
Рассмотрим первое утверждение (остальные доказываются аналогично).
Покажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства [pic] следует неравенство [pic] .
Если [pic] , то из неравенства [pic] следует, что [pic] , то есть [pic] , а значит, [pic] .
Если [pic] , то из неравенства [pic] следует, что [pic] , т.е. [pic] , значит, [pic] .
Теперь докажем, что на ОДЗ неравенства из неравенства [pic] следует неравенство [pic] .
Поскольку [pic] то либо [pic] либо [pic]
Если [pic] то [pic] и из неравенства [pic] следует, что [pic] и [pic] и ввиду того, что показательная функция с основанием, большим 1, возрастающая, то [pic] .
Если [pic] то [pic] и из неравенства [pic] следует, что [pic] , [pic] , и ввиду того, что показательная функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то [pic] .
Равносильность неравенств доказана.
Пример 1. Решите неравенство
[pic] .
Решение.
[pic]
[pic] [pic]
[pic]
Ответ. [pic]
Теорема 2. При всех [pic] , [pic] и всех допустимых значениях [pic] и [pic] верны следующие утверждения:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
Доказательство.
Докажем первое утверждение, остальные доказываются аналогично.
Докажем, что из неравенства [pic] следует неравенство [pic] .
Если [pic] , то из неравенства [pic] следует [pic] , значит, [pic] , следовательно, [pic] .
Если [pic] , то [pic] и из неравенства [pic] следует [pic] , [pic] и, следовательно, [pic] .
Докажем теперь, что из неравенства [pic] следует неравенство [pic] .
Так как [pic] то [pic] или [pic]
Если [pic] то [pic] и, значит, из неравенства [pic] следует, что [pic] и [pic] , и так как логарифмическая функция с основанием, меньшим 1, убывающая, то [pic] .
Если [pic] , то [pic] , тогда произведение [pic] , если [pic] , то есть [pic] и, учитывая, возрастание логарифмической функции с основанием, большим единицы, получим неравенство [pic] .
Следовательно, данные неравенства равносильны.
Пример 2. Решите неравенство
[pic]
Решение.
[pic] [pic]
[pic]
Ответ: (1; [pic] ).
Декомпозиция простейших показательных и логарифмических неравенств приведена в таблице.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
