Методическая разработка
Теорема Виета для квадратного уравнения
Теоретические сведения.
Теорема Виета (прямая):
Если квадратное уравнение (a≠0) имеет корни и, то
и .
Доказательство: По формуле корней квадратного уравнения
Таким образом, первая формула теоремы доказана.
Для доказательства второй формулы воспользуемся тем, что D = b² - 4ac, поэтому
что и требовалось доказать.
Замечание. Корни приведенного квадратного уравнения удовлетворяют соотношениям: и .
Действительно, не приведенное квадратное уравнение (a≠0) можно связать с приведенным уравнением следующим образом: или т.к. а≠0, то.Это и есть приведенное квадратное уравнение, которое можно записать в виде, где , , поэтому , если в теореме заменить на р,
а на q, то получим, что, .
Теорема Виета(обратная):
Если числа α и β таковы, что α+β=р, а αβ=q, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения .
Доказательство: Докажем, действительно ли числа удовлетворяют этому уравнению. Подставим в левую часть уравнения р = α + β и q = αβ :
.
Таким образом, квадратное уравнение принимает вид, а корнями этого уравнения, очевидно, являются числа α и β, что и требовалось доказать.
Замечание1. Обратная теорема Виета используется для составления квадратного уравнения по его известным корням.
Замечание 2. Если один из корней квадратного уравнения с рациональными коэффициентами – иррациональный и имеет вид , то второй корень этого уравнения ( это следует из формулы корней квадратного уравнения и ).
Решение типовых задач.
Пример 1. Не находя корней квадратного уравнения , найти, чему равны выражения :
а) ; б); в) ; г) ; д)
Решение: Из уравнения по теореме Виета находим
,
а) .
б) .
в) .
г)
д )
Пример 2. Составить приведенное квадратное уравнение, корни которых обратны корням уравнения .
Решение. Пусть корни искомого уравнения и. Тогда по условию задачи и. Чтобы составить приведенное квадратное уравнение, нужно знать и
.
Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид.
Пример 3. Составить приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен .
Решение. Учитывая замечание 2, получим второй корень данного уравнения . Тогда
Тогда по обратной теореме Виета искомое уравнение имеет вид
Пример 4. Пусть и - корни квадратного уравнения . Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
а) и ; б) и; в) и .
Решение. а) По условию , а . Составим
второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0.
Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.
Получим: р = -(Х1 + Х2) и q = Х1 · Х2, где , а
Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:
или
Ответ:
Б) а) По условию , а . Составим
второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0.
Для этого используем утверждение, обратное теоремеВиета.
Получим: р = -(Х1 + Х2) и q = Х1 · Х2, где , а
Составим квадратное уравнение с полученными коэффициентами:
Ответ:
Пример 5. Уравнение 2х2 – 7х – 3 = 0 имеет корни х1 и х2.Найти утроенную сумму коэффициентов приведенного квадратного уравнения, корнями которого являются числа Х1 = 1/х1 и Х2 = 1/х2.
Решение. х1 + х2 = 7/2 и х1 · х2 = -3/2. Составим
второе уравнение по его корням в виде х2 + рх + q = 0.
Для этого используем утверждение, обратное теореме
Виета.
Получим: р = -(Х1 + Х2) и q = Х1 · Х2.
р = -(х1 + х2)/(х1 · х2) = 7/3 и q = 1/(х1 · х2) = -2/3.
Искомое уравнение примет вид: х2 + 7/3 · х – 2/3 = 0.
Теперь легко посчитаем утроенную сумму его
коэффициентов: 3(1 + 7/3 – 2/3) = 8.
Ответ: 8
Теорему Виета удобно применять при решении систем уравнений
Пример 5. Решить систему уравнений:
Решение: Преобразуем выражение
Получим систему:
Пусть х + у = u, a xy=v , получим:
Сложив уравнения получим уравнение
u² + u -20 = 0, корни которого u=-5 и u=4
тогда v₁ = 12 , v₂ = 3. Возвращаясь к исходной
переменной получим две системы уравнений:
и
По теореме, обратной теореме Виета , составим
квадратные уравнения
и
Пары чисел, составленные из корней второго квадратного уравнения, являются решениями данной системы.
Ответ: (1; 3), (3; 1)
Рассмотрим применение теоремы Виета для решения задач с параметром.
Пример1 .При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения
равна ?
Решение. По теореме Виета
По условию
При а=-11 получим 2х² - 11х + 22 + 1 = 0. Это уравнение не имеет корней, т.к. D<0/
При а=3 получим уравнение 2х² +3х – 6 + 1 = 0 или 2х² + 3х – 5 = 0, корни которого х₁=1, х₂=-2,5
удовлетворяют условию .
Действительно, 1+6,25=7,25=
Ответ: при а = 3
Пример 2. При каком значении параметра k произведение корней квадратного уравнения равно нулю?
Решение. Произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену, т.е. .Требуется выполнение условия. Решив данное уравнение, получим корни ,
Ответ: при k=3, k=4.
Пример 2. Найдите разность корней уравнения и значение параметра k, при котором корни уравненияотносятся как 2:3.
Решение. По условию х₁ : х₂ = 2:3, откуда х₂ = 1,5х₁. Тогда
х₁ + х₂ = 5/2 (1) , а
х₁х₂ = -а/2 (2)
Из соотношения (1) получим х₁ +1,5 х₁ = 5/2
х₁ = 1
х₂ = 1,5
Откуда х₂ - х₁ = 0,5
Подставив полученные значения в (2), получим k =-3
Пример 3. При каких значениях параметра а разность наибольшего и наименьшего корней уравнения 2х2 – (а + 1)х + (а – 1) = 0 равна их произведению?
Это квадратное уравнение. Оно будет иметь 2 разных корня, если D > 0. Иными словами
(а + 1)2 – 8(а – 1) > 0 или (а – 3)2 > 0. Следовательно, мы имеем 2 корня при всех а, за исключением а = 3.
Для определенности будем считать, что х1>х2 и получим х1 + х2 = (а + 1)/2 и
х1 · х2 = (а – 1)/2. Исходя из условия задачи х1 – х2 = (а – 1)/2. Все три условия должны выполняться одновременно
Рассмотрим первое и последнее уравнения как систему. Она легко решается методом алгебраического сложения.
Получаем х1 = а/2, х2 = 1/2. Проверим при каких а выполнится второе равенство: х1 · х2 = (а – 1)/2. Подставим полученные значения и будем иметь: а/4 = (а – 1)/2. Тогда, а = 2. Очевидно, что если а = 2, то все условия выполнены.
Ответ: при а = 2.
Пример 4. Чему равно наименьшее значение а, при котором сумма корней
уравнения х2 – 2а(х – 1) – 1 = 0 равна сумме квадратов его корней.
Решение. Прежде всего, приведем уравнение
к каноническому виду: х2 – 2ах + 2а – 1 = 0.Оно будет иметь корни, если
D/4 ≥ 0.
Следовательно: а2 – (2а – 1) ≥ 0. Или (а – 1)2 ≥ 0.
А это условие справедливо при любом а.
Применим теорему Виета: х1 + х2 = 2а,
х1 · х2 = 2а – 1
х12 + х22 = (х1 + х2)2 – 2х1 · х2
х12 + х22 = (2а)2 – 2 · (2а – 1) = 4а2 – 4а + 2.
По условию задачи: х1 + х2 = х12 + х22.
Получим: 2а = 4а2 – 4а + 2. Это квадратное
уравнение имеет 2 корня: а1 = 1 и а2 = 1/2.
Наименьший из них –1/2.
Ответ: 1/2.
Пример5.Найти все значения параметра а,при которых квадратное уравнение(а+2)х2 –ах-а=0 имеет два корня, расположенных на числовой прямой симметрично относительно точки х=1.
Решение.
При а+2=0, а=-2, тогда 2х+2=0, х=-1 –
единственное решение, следовательно данное значение а не удовлетворяет условию задачи.
Пусть а≠-2. Тогда , если х₁ и х₂ - корни уравнения, то х₁ =1-у, х₂= 1+у, где у –некоторое действительное число.
По теореме Виета имеем:
или
Решим первое уравнение системы:
2(а+2)=а, а=-4.
Найдем дискриминант данного квадратного уравнения:
Данное значение а = -4 удовлетворяет
полученным значениям.
Ответ: а = -4.
