Методическое пособие для подготовки к ОГЭ по теме: «Функции и графики функций».
Данное задание требует умения строить и читать графики изученных функций, определять значение функции (аргумента) по значению аргумента (функции) при различных способах задания функции, определять свойства функции по её графику (промежутки возрастания, убывания, промежутки знакопостоянства, наибольшее и наименьшее значения).
Зависимость переменной от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение . Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную - зависимой переменной . Значение , соответствующее заданному значению , называют значением функции.
Записывают так: где - данная функция, т.е. функциональная зависимость между переменными и ; есть значение функции, соответствующее значению аргумента ( говорят также, что есть значение функции в точке ).
Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции. Обозначают: .
Все значения, которые принимает функция (при , принадлежащих области её определения), образуют область значений функции. Обозначают: .
Способы задания функции.
Словесное задание функции (описательное)
Задание функции с помощью словесного описания.
Значение функции равно квадрату аргумента.
Чётные и нечётные функции.
Функция называется чётной, если для любого из области определения функции выполняется равенство
Функция называется нечётной, если для любого из области определения функции выполняется равенство
Свойство: Если функция является чётной, то её график симметричен относительно оси ординат.
Свойство: Если функция является нечётной, то её график симметричен относительно начала координат.
Периодические функции.
Функция называется периодической, если существует такое отличное от нуля число , такое что для любого из области определения функции справедливо равенство
Число называется периодом функции .
Монотонные функции.
Функция называется возрастающей на промежутке если для любых и из таких, что любых , выполняется неравенство , т.е.
Функция называется убывающей на промежутке если для любых и из таких, что любых , выполняется неравенство , т.е.
Наибольшее и наименьшее значения функции.
Значение функции в точке называется наибольшим значением этой функции на множестве , если для любого выполняется неравенство
Значение функции в точке называется наименьшим значением этой функции на множестве , если для любого выполняется неравенство .
Обозначается:
Обозначается:
Справедливы утверждения:
1) Если у функции существует , то функция ограничена снизу.
2) Если у функции существует , то функция ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то не существует.
Графики элементарных функций.
Линейная функция (
[pic]
Линейная функция
[pic]
Линейная функция
[pic]
Линейная функция
[pic]
Линейная функция
[pic]
Линейная функция
[pic]
- угловой коэффициент прямой. Графиком линейной функции является прямая.
Прямая пропорциональность
(
[pic]
Прямая пропорциональность
[pic]
Обратная пропорциональность
(
[pic]
Обратная пропорциональность
(
[pic]
Функция
[pic]
- угловой коэффициент прямой. Графиком линейной функции является прямая.
График функции называется гипербола .
Функция
(
[pic]
Функция
(
[pic]
Функция
[pic]
Функция
[pic]
График функции называется кубическая парабола.
Квадратичная функция
Функция
(
[pic]
Функция
(
[pic]
Функция
(
[pic]
Функция
(
[pic]
График квадратичной функции называется параболой.
Подготовительные задания.
1. Укажите номер рисунка, на котором изображена:
а) гипербола;
б) прямая;
в) парабола;
г) кубическая парабола.
2. Найдите значение по графику функции , изображённому на рисунке
[pic]
3. Найдите значение по графику функции , изображённому на рисунке
[pic]
4. По графику функции , изображённому на рисунке, найдите:
а) значение ;
б) значение ;
в) значение .
[pic]
5. На рисунке изображён график квадратичной функции
[pic]
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) Функция убывает на промежутке
2) при и при
3) Наименьшее значение функции равно -9.
4) ;
5) Функция возрастает на промежутке
6) Наибольшее значение функции равно 1.
Примеры заданий с решениями.
№1. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.
Графики
Коэффициенты А)
Б) ;
В) .
Решение.
Графиком функции вида является прямая, направление которой определяется знаками коэффициентов и .
Используя данную таблицу, определяем по графику знаки коэффициентов и .
- Вывод:
А
Б
В
2
3
1
Ответ: 231.
№2. Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.
Формулы
A) Б) В)
Графики
Решение. Графиком функции вида является прямая, которая проходит через точку (0;0) направлена в соответствии со знаком коэффициента .
Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента .
имееют две формулы A) и Б) . Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (1;-3) и подставим в формулу общего вида . Получаем
. Значит данному графику соответствует формула A) .
имеет формула В)
имееют две формулы A) и Б) . Для определения значения коэффициента выберем произвольную точку графика, например (3;-1) и подставим в формулу общего вида . Получаем
. Значит данному графику соответствует формула Б) .
- Вывод:
А
Б
В
1
3
2
Ответ: 132.
№3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
А) Б) В)
Графики
Решение.
Графиком функции является гипербола, расположение которой определяется знаком коэффициента .
[pic]
[pic]
Используя таблицу, определяем по графику знаки коэффициента .
Выберем произвольную точку графика, например и подставим в формулу В) . Получаем , что не соответствует графику( при значение ).
Выберем произвольную точку графика, например (3;-3) и подставим в формулу В) . Получаем
.
Вывод: .
Выберем произвольную точку графика, например (3;3) и подставим:
Выберем произвольную точку графика, например и подставим
в оставшуюся формулу А)
Получаем
, что соответствует графику( при значение ).
Вывод: .
в формулу
А)
Получаем
.
в формулу Б) Получаем
Вывод: .
Ответ: 432. №4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
1) 2) 3) 4)
Графики
-
Решение.
- А)
[pic]
Б)
[pic]
В)
[pic]
Графиком является парабола, соответствующая формуле 1) (функция вида , сдвинута на 2 единицы вниз).
Графиком является гипербола, соответствующая формуле 4) .
Графиком является прямая, соответствующая формуле 3) .
Б
В
1
4
3
Ответ: 143.
№5. На рисунке изображены функции вида . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов и .
Графики Коэффициенты 1)
2)
3)
4) .
Решение.
Для определения знака коэффициента замечаем, что
- ветви параболы направлены вниз;
- ветви параболы направлены вверх.
Для определения знака коэффициента находим координату точки пересечения параболы с осью , это значение равно коэффициенту .
А Б
В
4
3
1
Ответ: 431.
№6. На рисунке изображены функции вида . Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента и дискриминанта .
Графики
Знаки чисел 1)
2)
3)
4)
Решение.
Графиком функции вида является парабола.
При этом возможны следующие случаи:
Используя таблицу, определяем по графику знаки значения коэффициента и дискриминанта .
А
Б
В
Г
1
4
2
3
Ответ: 1423.
№7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
Формулы 1)
2)
3)
4) .
Решение.
По графику можно определить, что , , но этому условию соответствует две функции : 3)
4)
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы .
По графику можно определить, что , , но этому условию соответствует две функции :
1)
2)
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы .
По графику можно определить, что , , но этому условию соответствует две функции :
3)
4) .
Для дальнейшего определения найдём абсциссу вершины параболы .
3)
.
Вывод:
4)
- не соответствует графику.
1)
.
Вывод: Б
2)
- не соответствует графику.
3)
- не соответствует графику.
4)
.
Вывод:
Ответ: 314. №8. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются. [pic]
Утверждения А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке
Промежутки
1)
2)
3)
4)
Решение.
не монотонна. Вывод: функция на данном промежутке возрастает, т.е. А
Вывод: функция на данном промежутке убывает, т.е. Б
Вывод: функция на данном промежутке не монотонна.
Ответ: 23. №9. На рисунке изображён график квадратичной функции
[pic]
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) ;
2) Функция убывает на промежутке
3)
Решение.
3)
[pic]
[pic]
[pic]
Вывод: утверждение не верно.
Вывод: утверждение верно.
Вывод: утверждение не верно.
Ответ: 2.
Задания для самостоятельного решения.
Зачётные задания.
1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.
Графики функций
Формулы 1) 2) 3) 4) .
2. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов k и b и графиками.
Графики
Коэффициенты А)
Б) ;
В) .
3. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
Формулы 1) 2) 3) 4) .
4. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Формулы
1) 2) 3) 4)
Графики
5. На рисунке изображены функции вида . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов и .
Графики
Коэффициенты 1)
2)
3)
4) .
6. На рисунке изображены функции вида . Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента и дискриминанта .
Графики
Знаки чисел 1)
2)
3)
4)
7. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики
Формулы 1)
2)
3)
4)
8. На рисунке изображён график квадратичной функции
[pic]
Какие из следующих утверждений о данной функции являются неверными? Запишите их номера.
1) при
2) Наибольшее значение функции равно 3;
3)
9. На рисунке изображены графики функций вида . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
[pic]
Утверждения А) Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке
Промежутки
1)
2)
3)
4)
