СОФИЗМЫ
Понятие софизма.
Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.
Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.
Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами. Об этом подробнее в следующем разделе.
Экскурс в историю.
Софистами называли группу древнегреческих философов 4-5 века до н.э., достигших большого искусства в логике. В период падения нравов древнегреческого общества (5 век) появляются так называемые учителя красноречия, которые целью своей деятельности считали и называли приобретение и распространения мудрости, вследствие чего они именовали себя софистами. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры, Горгия из Леонтип, Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса. Но суть деятельности софистов много больше, чем простое обучение искусству красноречия. Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Умение, которое должно было быть достигнуто с их помощью, заключалось в том, что человек учился иметь в виду многообразные точки зрения. Основным направление деятельности софистов стала социально-антропологическая проблема. Они рассматривали самопознание человека, учили сомневаться, но все же, это очень глубокие философские проблемы, которые стали основой для мыслителей Европейской культуры. Что касается самих софизмов, то они стали как бы дополнением к софистике в целом, если рассматривать ее как истинно философское понятие.
Исторически сложилось, что с понятием софизма связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста - представить наихудший аргумент как наилучший путем хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. Там не менее, в Греции софистами называли и простых ораторов.
Известнейший ученый и философ Сократ по началу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Учение Сократа было устным. Кроме того, Сократа и по сей день считают самым мудрым философом.
Что касается самих софизмов, то, пожалуй, самым популярным на тот момент в Древней Греции был софизм Евбулида : «Что ты не терял, ты имеешь. Рога ты не терял. Значит у тебя рога». Единственная неточность, которую возможно было допустить, то это - двусмысленность высказывания. Данная постановка фразы является нелогичной, но логика возникла намного позже, благодаря Аристотелю, поэтому, если бы фраза строилась так: «Все, что ты не терял. . .», то вывод стал бы логически безупречным.
[pic]
[pic] «Математические софизмы»
Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю три типа математических софизмов: алгебраические, геометрические и арифметические.
Геометрические софизмы.
1. «Через точку на прямую можно опустить два перпендикуляра»
[pic] Возьмем треугольник АВС. На сторонах АВ и ВС этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной АС в точках Е и Д. Соединим точки Е и Д прямыми с точкой В. Угол АЕВ прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол ВДС также прямой. Следовательно, ВЕ перпендикулярна АС и ВД перпендикулярна АС. Через точку В проходят два перпендикуляра к прямой АС.
Где ошибка???
Рассуждения, о том, что из точки на прямой можно опустить два перпендикуляра, опирались на ошибочный чертеж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной АС в одной точке, т.е. ВЕ совпадает с ВD. Значит, из одной точки на прямой нельзя опустить два перпендикуляра.
2. « Спичка вдвое длиннее телеграфного столба»
Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .
Имеем
b - a = c, b = a + c.
Перемножаем два эти равенства по частям, находим:
b2 - ab = ca + c2.
Вычтем из обеих частей bc. Получим:
b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c),
откуда:
b = - c, но c = b - a,
поэтому b = a - b, или a = 2b.
Где ошибка???
В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.
3. Катет равен гипотенузе
[pic] Угол С равен 90о, ВД - биссектриса угла СВА, СК = КА, ОК перпендикулярна СА, О - точка пересечения прямых ОК и ВД, ОМ перпендикулярна АВ, ОL перпендикулярна ВС. Имеем: треугольник LВО равен треугольнику МВО, ВL = ВМ, ОМ = ОL = СК = КА, треугольник КОА равен треугольнику ОМА (ОА - общая сторона, КА = ОМ, угол ОКА и угол ОМА - прямые), угол ОАК = углу МОА, ОК = МА = СL, ВА = ВМ + МА, ВС = ВL + LС, но ВМ = ВL, МА = СL, и потому ВА = ВС.
Где ошибка???
Рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой ВD и серединного перпендикуляра к катету АС, находится вне треугольника АВС.
4. Все треугольники равносторонние
Р [pic] ассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC; точку их пересечения назовем O. Опустим из нее перпендикуляры EO и OF на стороны AB и BC соответственно.
Т.к. DO одновременно и высота и медиана треугольника AOC, то он равнобедренный и AO = OC.
Т.к. BO - биссектриса, то, из равенства треугольников EBO и OBF (откуда EB = BF), EO = OF.
Следовательно, треугольник AEO равен треугольнику FCO, т.е. AE = FC.
Отсюда, т.к. AB = AE + EB и BC = BF + FC, AB = BC.
Из этого следует, что все треугольники на свете - равносторонние.
Где ошибка???
Арифметические софизмы.
1.Неравные числа равны
Возьмем два неравных между собой произвольных числа а и b. Пусть их разность равна с, т. е. а-Ь = с. Умножив обе части этого равенства на а-b, получим (а-b)2 = = c(a-b), a раскрыв скобки, придем к равенству a2-2ab + b2 = = ca-cb, из которого следует равенство а2- аb - ас = аb -b2 -bc. Вынося общий множитель а, слева и общий множитель b справа за скобки, получим
а(а-b-с) = b(а-b-с). (1)
Разделив последнее равенство на (а-Ь-с), получаем, что a=b, значит, два неравных между собой произвольных числа равны.
2.Единица равна нулю
Возьмем уравнение
х-а = 0. (1)
Разделив обе его части на х-а, получим
[pic]
откуда сразу же получаем требуемое равенство
1=0.
3.Всякое число равно своему удвоенному значению
Запишем очевидное для любого числа а тождество
а2-а2 = а2-а2.
Вынесем а в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получив
а(а - а) = (а + а)(а - а). (1)
Разделив обе части на а-а, получим а = а + а, или
а =2а.
Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.
4.Единица равна минус единице.
Пусть число х равно 1. Тогда можно записать, что х2=1, или х2-1 = 0. Раскладывая х2-1 по формуле разности квадратов, получим
(х+1)(х-1) = 0. (1)
Разделив обе части этого равенства на х-1, имеем
х + 1 = 0 и х = -1. (2)
Поскольку по условию х = 1, то отсюда приходим к равенству
1 = -1.
5.Если одно число больше другого, то эти числа равны
Возьмем два произвольных числа т и п, такие, что т>п, и другие три произвольных числа а, b и с, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d.
Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим
ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.
Сложив почленно равенства та + mb + тс = md , nd = na + nb + nc, получим
ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, a md влево, имеем
та + mb + mc- md= na + nb + nc- nd,
а вынося слева число т, а справа число п за скобки, придем к соотношению
т(а + b + с - d) = п (а + b + с - d), (1)
откуда, разделив обе части последнего равенства на (а + b + c-d), находим, что
m= n.
6.Все натуральные числа ,большие единицы, равны между собой.
Рассмотрим известные алгебраические формулы
x2-l = (x-l)(х+l), х3-1 = (х-1)(х2 + х + 1) и вообще для любого натурального п имеем
хп -1 = (х - 1)(хп-1 + хп-2 + ... + x2 + x + l).
Разделив обе части этих формул на х-1, получим
[pic]
[pic]
При х = 1 левые части этих равенств принимают одно и то же значение [pic] , поэтому должны быть равны и их правые части, откуда получаем, что
2 = 3 = ••• = n.
7.Любое число равно [pic]
Возьмем два произвольных положительных действительных и равных друг другу числа х и z. Поскольку по условию x = z> то [pic] . Поэтому с полным основанием мы можем записать следующие два тождества:
x- [pic] = z- [pic] (1)
[pic] -z = [pic] -z (2)
Сложив эти два равенства почленно, получим
х-г = [pic] - [pic] (3)
Прибавив и отняв в левой части равенства (3) величину [pic] вместо равенства (3) получим
x + [pic] - [pic] -z = [pic] - [pic] или, что, очевидно, то же самое,
х + [pic] [pic] - [pic] [pic] -z = [pic] - [pic] (4)
В левой части последнего равенства первый и второй члены представим в виде ( [pic] + [pic] ) [pic] а третий и четвертый — в виде ( [pic] + [pic] ) [pic] . В результате этих преобразований равенство (4) примет вид
( [pic] + [pic] ) [pic] - ( [pic] + [pic] ) [pic] = [pic] - [pic] (5)
и окончательно может быть записано так:
( [pic] + [pic] ) ( [pic] - [pic] )= [pic] - [pic] (6)
(если вынести за скобки общий множитель ( [pic] + [pic] ) в левой части равенства).
Для того чтобы равенство (6) имело место, необходимо выполнение условия
[pic] + [pic] = l, (7)
а так как в силу исходного равенства x = z, заключаем, что
2 [pic] = 1, или [pic] = [pic] , откуда х = [pic]
т. е. произвольное число равно [pic] .
8.Единица не равна единице
Возьмем две равные дроби [pic] ,для которых справедливо следующее правило:
[pic] = [pic] (1)
легко проверяемое приведением к общему знаменателю.
Возьмем теперь равенство
[pic]
которое, очевидно, удовлетворяется при х = а-b. Тогда применение соотношения (1) дает
[pic] (2)
В дроби, стоящей в правой части последнего равенства, числитель и знаменатель равны, поэтому эта дробь равна единице. В то же время дробь в левой части, конечно, отлична от единицы. Следовательно,
1 [pic] -1.
9. «Все числа равны между собой»
Возьмем два произвольных неравных между собой числа а и b и запишем для них очевидное тождество:
а [pic] -2ab+b [pic] = b [pic] -2ab+ а [pic]
Слева и справа стоят полные квадраты, т. е. можем записать
(а-b)2 = (b-а)2. (1)
Извлекая из обеих частей последнего равенства квадратный корень, получим:
a-b = b-a (2)
или 2а = 2b, или окончательно
a=b.
10.«Единица равна двум»
Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства
1-3 = 4-6.
Добавив к обеим частям этого равенства число [pic] , получим новое равенство
1-3 + [pic] = 4-6+ [pic] ,
в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е.
(1- [pic] ) [pic] =(2- [pic] ) [pic]
Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство:
1- [pic] =2- [pic]
откуда следует, что 1=2.
11. Любые два неравных числа равны
Возьмем два произвольных, не равных друг другу числа х и z и обозначим их сумму числом а, т. е. x + z = a. Умножив обе части этого равенства на x-z, получим (x + z)(x-z) = a(x-z), раскроем в обеих частях равенства скобки: x2-z2 = ax- az.
Перенесем ах из правой части равенства в левую, a z2 из левой части в правую. В результате получим
x2-ax = z2-az.
Прибавляя к обеим частям последнего равенства число [pic] , будем иметь
х2-ах+ [pic] = z2-az+ [pic] ,
или, замечая, что слева и справа стоят полные квадраты, получим
[pic]
а извлекая из обеих частей последнего равенства квадратные корни, придем к выражению
[pic]
Так как вторые члены слева и справа в этом равенстве равны, то заключаем, что
x=z.
12.Половина любого числа равна половине ему противоположного.
Возьмем произвольное число а и положим х =- [pic] |. Тогда
2х + а = 0 или после умножения на а получим 2ах + а2 = 0. Прибавляя к обеим частям этого равенства х2, имеем
х2 + 2ах + а2 = х2.
Так как х2 + 2ах+а2 = (х + а)2, то предыдущее равенство можно записать в виде
(х + а)2 = х2, (1)
а после извлечения квадратного корня из обеих частей последнего равенства получаем
х + а = х. (2)
Поскольку по условию х =- [pic] , то из равенства (2) имеем - [pic] + а= - [pic] , и поэтому получаем окончательно
- [pic] = [pic] .
13.Чётное число равно нечётному.
Возьмем произвольное четное число 2n, где п — любое целое число, и запишем тождество
(2n)2-2n(2(2п) + 1) = (2n + 1)2-(2n + 1)(2(2n)+1), в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.
Прибавив к обеим частям этого тождества [pic] , перепишем его в следующем виде:
(2n)2- 2(2n) [pic] + [pic] =(2n+1)2- 2(2n+1) [pic] + [pic]
или в таком:
(2n- [pic] )2=(2n+1- [pic] ))2 (1)
откуда следует, что
2n- [pic] =2n+1- [pic]
или
2n=2n+1,
что означает равенство четного числа нечётному.
14.Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.
Возьмем произвольное не равное нулю число а и напишем уравнение х = а. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах = -4а2. Прибавляя к обеим частям последнего равенства х2 и перенеся член -4а2 влево с противоположным знаком, получим х2-4ах + 4a2 = х2, откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем
(х-2а)2 = х2, (1)
или
х-2а = х. (2)
Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а = а, или -а = а, откуда
0 = a + a,
т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.
15.Всякое отрицательное число больше положительного, имеющего туже абсолютную величину.
Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: Если две дроби [pic] равны и в первой дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше знаменателя, т. е. если а>в то и c>d.
Запишем теперь очевидные равенства (число А [pic] 0)
[pic]
Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать
[pic] (1)
Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А >-А), то, следовательно, и во второй дроби числитель должен быть больше знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство
-А>+А.
Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.
16.Семь равно тринадцати.
Рассмотрим уравнение
[pic] (1)
Оно может быть решено следующим образом. Приведя левую часть уравнения к общему знаменателю, будем иметь:
[pic] , откуда - [pic] или
[pic]
Поскольку числители дробей в левой и правой частях уравнения равны, то, для того чтобы имело место равенство обеих частей уравнения, необходимо, чтобы были равны и знаменатели дробей. Таким образом, приходим к равенству
7=13.
17.Восемь равно шести
Решим систему двух уравнений
[pic]
подстановкой у из второго уравнения в первое. Получаем х+ 8-х = 6, откуда
8=6.
18.Один рубль не равен ста копейкам
1р=100коп
10р=1000коп
Умножим обе части этих верных равенств, получим:
10р=100000коп, откуда следует:
1р=10000коп., т.е. 1р. [pic] 100коп.
19.Всякое положительное число является отрицательным
Пусть п — положительное число. Очевидно,
2n-1< 2n. (1)
Возьмем другое произвольное положительное число а и умножим обе части неравенства на (-а):
-2ап + а<-2ап. (2)
Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2аn), получим неравенство а<0, доказывающее, что
всякое положительное число является отрицательным.
20.Число, равное другому числу, одновременно и больше и меньше его.
Возьмем два произвольных положительных равных числа а и b и напишем для них следующие очевидные неравенства:
а>-b и b>-b. (1)
Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство ab>b2 ,а после его деления на b, что вполне законно, так как по условию b>0, придем к выводу, что
а>b. (2)
Записав же два других столь же бесспорных неравенства
b>-а и а>-а, (3)
аналогично предыдущему получим, что bа>а2, а разделив на а>0, придем к неравенству
а<b. (4)
Итак,
число а, равное числу b, одновременно и больше.
и меньше его.
«Ахиллес никогда не догонит черепаху»
Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая, как известно, отличается крайне медленной скоростью передвижения…
Вот примерная схема рассуждений Зенона. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно, и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи, и что их отделяют друг от друга 100 шагов.
Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющее его от того места, откуда начала двигаться черепаха, то в этом месте он туже ее не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг вперед. Достигнув и этого места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, потому что она успеет пройти расстояние, равное 1/10 шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползающую черепаху.
Где ошибка???
Рассматриваемый софизм Зенона даже на сегодняшний день далек от своего окончательного разрешения, поэтому здесь я обозначу только некоторые его аспекты.
Сначала определим время t, за которое Ахиллес догонит черепаху. Оно легко находится из уравнения a+vt=wt, где а - расстояние между Ахиллесом и черепахой до начала движения, v и w – скорости черепахи и Ахиллеса соответственно. Это время при принятых в софизме условиях (v=1 шаг/с и w=10 шагов/с) равно 11, 111111… сек.
Другими словами, примерно через 11, 1 с. Ахиллес догонит черепаху. Подойдем теперь к утверждениям софизма с точки зрения математики, проследим логику Зенона. Предположим, что Ахиллес должен пройти столько же отрезков, сколько их пройдет черепаха. Если черепаха до момента встречи с Ахиллесом пройдет m отрезков, то Ахиллес должен пройти те же m отрезков плюс еще один отрезок, который разделял их до начала движения. Следовательно, мы приходим к равенству m=m+1, что невозможно. Отсюда следует, что Ахиллес никогда не догонит черепаху!!!
Итак, путь, пройденный Ахиллесом, с одной стороны, состоит из бесконечной последовательности отрезков, которые принимают бесконечный ряд значений, а с другой стороны, эта бесконечная последовательность, очевидно не имеющая конца, все же завершилась, и завершилась она своим пределом, равном сумме геометрической прогрессии.
Трудности, которые возникают при оперировании понятиями непрерывного и бесконечного и столь мастерски вскрываются парадоксами и софизмами Зенона, до сих пор не преодолены, а разрешение противоречий, содержащихся в них, послужило более глубокому осмыслению основ математики.
