Урок 6 - 14.09.2016(8б)/16.09.2016(8а)
Тема. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Цель: изучить сложение и вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.
Ход урока
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).
Вариант 1
1. Сократить дробь: [pic]
2. Постройте график функции [pic]
Вариант 2
1. Сократите дробь: [pic]
2. Постройте график функции [pic]
III. Изучение нового материала (основные понятия)
При сложении (вычитании) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями складываются (вычитаются) их числители, а знаменатель остается тем же.
Пример 1
Сложим и вычтем дроби 5/9 и 2/9. По приведенному правилу получаем: [pic]
По тому же правилу складывают и любые дроби с одинаковыми знаменателями, т. е. [pic] Докажем, что это равенство верно при любых допустимых значениях переменных, т. е. при с ≠ 0.
Пусть [pic] Почленно сложим эти равенства и получим [pic] или [pic] По определению частного из равенства a/c = m получаем a = cm, из равенства b/c = n имеем b = сn. Почленно сложив равенства а = cm и b = сn, получим а +b = сm + сn = с(m + n). Так как с ≠ 0, то выразим из этого равенства [pic] Итак, имеем два равенства [pic] Приравняв правые части этих равенств, получим [pic] Таким образом, получено тождество, из которого следует правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Итак, чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же. Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.
Пример 2
Сложим дроби [pic]
В соответствии с приведенным правилом получаем: [pic]
Пример 3
Спожим дроби [pic]
Еще раз используем правило сложения дробей и получим: [pic] [pic]
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению. Докажем, что при любых значениях а, b и с ≠ 0 выполняется тождество [pic] . Учтем, что операция вычитания обратна по отношению к сложению. Поэтому достаточно доказать, что сумма дробей [pic] равна дроби a/c. Проверим это: [pic] Из доказанного тождества [pic] следует правило вычитания дробейс одинаковыми знаменателями.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.
Пример 4
Вычтем из дроби [pic] дробь [pic]
Применим приведенное правило вычитания дробей и получим: [pic]
Иногда при выполнении сложения или вычитания дробей приходится изменять знак знаменателя одной из дробей и заменять операцию сложения операцией вычитания (или наоборот).
Пример 5
Сложим дроби [pic]
Учтем, что знаменатели дробей являются противоположными выражениями. Поэтому изменим знаки в знаменателе второй дроби и перед этой дробью (это соответствует умножению числителя и знаменателя дроби на число -1 в соответствии с основным свойством дроби). Получим: [pic] После этого сложение данных дробей сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Тогда имеем: [pic] [pic]
Разумеется, правила сложения и вычитания дробей в ряде случаев удобно использовать совместно.
Пример 6
Упростим выражение: [pic]
Применим совместно правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и получим: [pic] [pic] [pic]
Данное выражение имеет смысл при тех значениях а, при которых знаменатель а(а - 3) ≠ 0, т. е. при а ≠ 0 и а ≠ 3.
IV. Контрольные вопросы
1. Как складывают дроби с одинаковыми знаменателями?
2. Докажите тождество [pic]
3. Как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями?
4. Докажите тождество [pic]
V. Задание на уроке
№ 51 (б); 52 (д); 54 (б, е); 55 (а, д); 56 (а); 58 (б); 59 (б, д); 60 (а, г); 61 (а); 64 (в).
VI. Задание на дом
№ 51 (г); 52 (г); 53 (а); 54 (д); 55 (г); 56 (б); 58 (а); 59 (в, е); 60 (в, д); 61 (б); 63 (б); 65 (а, г).
VII. Подведение итогов урока
