Коррекционный материал по теме «Неравенства и их системы», 9 класс (технология полного усвоения)
Тема: Система нелинейных неравенств с одной переменной.
Определение: Система нескольких неравенств с одной переменной, в которой хотя бы одно неравенство нелинейно, называется системой нелинейных неравенств с одной переменной.
Чтобы решить неравенство, нужно найти все значения переменных, входящих в его сосстав, при которых данное неравенство истинно. Значения переменных, удовлетворяющие данному неравенству, называют его решением.
Примеры: х2 – 2х + 3 >х3 – 1, [pic] , [pic] (а, b – заданные числа)
являются неравенствами, зависящими от одной переменной х. Число х = 1 является решением неравенства [pic] В этом можно убедиться непосредственной проверкой: [pic]
Вообще, при решении неравенств используюся свойства неравенств, рассмотренные ранее:
Если к обеим частям неравенства прибавить (отнять) одно и то же число (выражение), то получится равносильное ему равенство.
Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство.
Если обе счасти неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число (выражение), то получится равносильное ему неравенство.
Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число (выражение), изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.
Рассмотрим решение квадратных неравенств с одной переменной.
Чтобы решить систему неравенств, сначала решают каждое неравенство этой системы и в качестве ответа берут пересечение полученных решений.
Пример. [pic] Решение:
1) [pic] находим корни квадратного трехчлена [pic]
[pic]
2 [pic] )
[pic]
Ответ: [pic]
Тема: Неравенства с двумя переменными.
Определение: Неравенство, содержащее две переменные, называется неравенством с двумя переменными.
Например: 3х+7y>9; -2y+5x≤0; x2-6y≥0 являются неравенствами с двумя переменными.
Решить неравенство с двумя переменными – это значит найти множество пар чисел, обращающих данное неравенство в верное числовое неравенство, или доказать, что данное неравенство не имеет решений.
Используется следующий алгоритм:
Определить вид уравнения или функции, которые соответствуют данному неравенству;
Построить график этой функции или уравнения на координатной плоскости, т.е. разделить плоскость на части;
Определить, какая часть плоскости является множеством решений данного неравенства, для чего необходимо взять любую точку из одной части плоскости и проверить выполнимость неравенства; в качестве решения неравенства с двумя переменными нужно взять ту часть плоскости, где данное неравенство является верным и график самой функции при нестрогом знаке (≥ или ≤) неравенства.
Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.
Решение.
Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х, находим точки (0;3), (2;0).
Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).
Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6
Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.
Данное неравенство может изменить знак на прямой 2у+3х=6, то неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А. Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.
[pic]
Тема: Система нелинейных неравенств с двумя переменными.
Определение: Решением системы неравенств с двумя переменными называется значения переменных, при которых верно каждое неравенство системы.
Множеством решений системы неравенств с двумя переменными является пересечение множеств решений входящих в неё неравенств. На координатной плоскости множество решений системы неравенств изображается множеством точек, представляющих собой общую часть множеств, задаваемых неравенствами, входящих в систему.
Рассмотрим примеры.
П [pic] ример 1. Решим систему неравенств: [pic]
Первое неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную выше прямой y=2x-3. Второе неравенство задает открытую полуплоскость, расположенную ниже прямой y=-0,5x+2. Пересечением этих множеств является угол – множество решений данной системы неравенств.
П [pic] ример 2. Решим систему неравенств: [pic]
Запишем систему неравенств в виде: [pic]
Изобразим множества точек решений каждого неравенства: y>x2+8x+12 и y<-x-2
Данная система неравенств задает ту из образовавшихся областей, которая расположена выше параболы и ниже прямой.
