Использование элементов истории математики в преподавании
«… Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт…» Лейбниц
Вопрос об использовании элементов истории в преподавании математики не новый. Этот вопрос не раз обсуждался на семинарах учителей математики.
Математик Е.И.Попов сказал: «Обычное преподавание геометрии с её теоремами и доказательствами вызывает в детях в огромном большинстве случаев, такое непобедимое отвращение и скуку. Редко кто, из прошедших курс общеобразовательной школы, сохранит хоть какую – то склонность заниматься геометрией вне школы»
В разное время учёные и методисты по-разному определяли цели введения элементов истории математики в преподавании. Однако общими почти всегда были и остаются поныне следующие цели:
1. Повышение интереса учащихся к изучению математики и углубление понимания ими изучаемого материала.
2. Расширение умственного кругозора учащихся и повышение их общей культуры.
Конечно, эти цели ставит перед собой каждый учитель. Но, согласитесь, учителю географии, биологии, истории, литературы гораздо легче привить интерес учащихся к своему предмету.
Что же делать учителю математики?
А ему нужно преодолеть две трудности:
1. Трудность самого предмета. 2. Презумпцию «скуки». Однако в программе нет конкретных указаний на то, какие сведения по истории математики следует сообщать учащимся в процессе преподавания, в каких классах, в каком объёме и по каким разделам школьной программы.
Школьные учебники, как правило, таких сведений содержат мало. Одно сообщение сведений по истории математики далеко не всегда способствует достижению тех целей, о которых говорилось выше. Знакомство учеников с историей математики означает: - продуманное планомерное использование на уроках фактов из истории науки; - тесное сплетение их с систематическим изучением всего материала программы. Лишь такое сплетение может способствовать достижению указанных целей. Координируя изучение математики с другими предметами, в частности с историей, подчёркивая роль и влияние практики на развитие математики. Указывая условие, а иногда и причины зарождения и развития тех или иных идей и методов, мы тем самым способствуем развитию у школьников логического мышления, способствуем процессу их умственного созревания и сознательному усвоению ими учебного материала.
Какие трудности могут возникнуть.
1. Ознакомление учеников с историей математики должно проводиться, в основном, на уроках математики и лишь во вторую очередь на внеклассных занятиях. И мы не можем рассчитывать на какие - либо дополнительные часы. То есть возникает вопрос, как выкроить необходимое время? Но его можно выкроить – это 5 -12 минут, тем более, что в среднем на каждые 6 уроков приходится одна беседа. Материал для некоторых бесед может быть избыточным для использования его на одном уроке. В таком случае учитель сам отбирает из материала то, что, по его усмотрению наиболее важно и интересно, или же распределяет его на 2 – 3 урока. Например, технология использования УДЕ (укрупнённых дидактических единиц) даёт положительный результат – дополнительные часы. Интерес к предмету и эффективность занятий появляются не сразу после первого урока, первой беседы, но результат обязательно будет положительным. Пусть это произойдёт через месяц или в конце семестра. Использованное время на изложение фактов из истории математики на уроке нельзя считать потерянным, если учитель сумеет исторический факт преподнести в тесной связи с излагаемым на уроке программным материалом.
2. Большую методическую трудность представляет решение вопроса об отборе конкретного материала по истории математики и о порядке его использования в том или другом классе. - В данном вопросе необходимо руководствоваться Программой по математике. – Учитывать возрастные особенности учащихся. Естественно, что содержание и объём, стиль изложения вопросов по истории математики не могут быть одинаковыми в разных классах. Например, в 5 – 6 классах следует ограничиться начальными сведениями из истории математики и обращать внимание учеников на элементарные вопросы развития сёта и числовых алгоритмов, математическую терминологию и символику. Возникновение мер, создание способов измерения и простейших инструментов, сопутствующих измерению. Частично затронуть и некоторые стержневые вопросы истории математики такие как: - развитие понятия числа: - происхождение и некоторые аспекты развития геометрии и алгебры; - целесообразно дать начальные сведения из истории уравнений; - геометрические инструменты; - происхождение дробей и т. д. Большое поле деятельности! Есть немало вопросов, к которым возвращаются в курсе средней школы не один раз.
3. Главную методическую трудность представляет вопрос о том, как на деле сочетать изучение определённого раздела программы математики с изложением соответствующего исторического материала. Здесь, конечно, конкретных предложений нет. Каждый учитель это будет делать так, как считает нужным. У каждого будут свои методы и приёмы. Преодолеть эту трудность можно лишь постепенно, в ходе планомерной и скрупулёзной работы.
Формы работы по использованию элементов истории математики на уроках.
- Краткая беседа. - Экскурс. - Лаконичная справка. - Решение исторических задач. - Показ и разъяснение рисунка. – Выступление с сообщением ученика.
Следует широко использовать для ознакомления с историей математики уроки закрепления пройденного материала, что будет способствовать оживлению этих уроков. Если начать такую работу с 5 класса и проводить её систематически, то со временем исторический элемент станет для самих учащихся необходимой частью урока.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белл Э.Т. Творцы математики–предшественники современной математики. (Под ред. С.Н. Киро, М.1979). 2. История математики с древнейших времён до начала 19 столетия. ( Под ред. ЮшкевичаА.П.,М.,1970, т.1и2, 1972 т. 3). 3. Хрестоматия по истории математики. (Под ред. А.П.Юшкевича, М.,1975, т.1, 1976, т. 2). 4. Математика в школе – журнал. Рубрика «Математический календарь» и «Учёные математики» с 1975г.
Примерный план использования элементов истории математики
5 – 6 классы
Тема: Натуральные числа.
- Как считали в старину. - О происхождении арифметики. - Счёт и десятичная система исчисления. - О происхождении и развитии письменной нумерации. - Цифры разных народов. - Числа великаны, связь с астрономией. - Происхождение терминов и понятий в геометрии (фигура, линия, биссектриса, циркуль).
Тема: Сложение и вычитание натуральных чисел.
- О том, как дошли люди до настоящей арифметики. – Буквы и знаки. Алгебраические выражения. - Математически язык – язык понятный всем. – О геометрических фигурах. Вычисление отрезков. - Геометрические инструменты.
Тема: Умножение и деление натуральных чисел.
- Из истории уравнений. Метод ложного положения. - О записи и знаках умножения и деления. - О происхождении некоторых числовых суеверий. - Счётные приборы. - Квадрат и куб числа. Развитие понятия степени.
Тема: Обыкновенные дроби.
- Происхождение дробей. Дроби в древнем Риме и Руси. - Попасть в дроби. Из истории дробей. - От натуральных чисел к дробным числам. - Древнеегипетская задача с дробями. - Из истории нуля.
Тема: Десятичные дроби.
- От шестидесятеричных к десятичным дробям. Ал - Каши. - «Десятая»- книга из 7 страниц Симона Стевена.
- Распространение десятичных дробей. Их значение в жизни современного общества. - Проценты в прошлом и в настоящее время. Знак процента. - Древнекитайская задача с дробями. - Задача с дробями у древних армян. - Старо индийская задача с цветами и пчёлами. – Древнеегипетская задача с дробями.
Приложение
Исторические задачи – одна из любимых ребятами форм работы с историческим материалом. Ребятам очень приятно и интересно, ведь этим задачам 200 – 300 лет, а может и больше. И если ученик сам справится с решением, то, сколько восторга и гордости можно увидеть в его глазах! Решение древних задач способствует развитию у детей: - творческого поиска, - стремление к истине, - потребности самоутверждения.
Исторические задачи (курс 5 – 6 класса).
1.Из русской рукописи 17 века (задача на движение №41). «Юноша некий пошёл из Москвы к Вологде, идёт он всякий день по 40вёрст. А другой пошёл после него на следующий день, а идёт он всякий день по 45 вёрст. Через сколько дней тот юноша постиг прежнего юношу, сочти ты».
2. Задача из папируса Ахмеса ( №38 ). «У семи человек по семи кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей. Каждая мышь съедает по 7 колосьев. Из каждого колоса может вырасти по 7 мер зерна. Как велики числа этого ряда и их сумма?»
3. Перед вами картина «Устный счёт» ( №34 ). Картина художника Н.П.Богданова – Бельского (1868год). На ней изображён урок арифметики в сельской школе 19 века, в которой преподавал профессор С.Н.Рачинский, покинувший университетскую кафедру, чтобы стать народным учителем. На классной доске записана следующая задача:
Решите её. Устно!
4. Задача Алькуина ( № 40 ). « Собака гонится за кроликом находящимся в 150 футах от неё. Она делает прыжок в 9 футов каждый раз, когда кролик делает прыжок на 7 футов. Сколько прыжков должна сделать собака, чтобы догнать кролика?»
5. Феномен К.Гаусса ( № 44 ). Знаменитый немецкий математик К.Гаусс ( 1777 – 1855 ) ещё в детстве обнаружил выдающиеся способности. Однажды в школе учитель предложил следующую задачу: « Найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100». Не прошло и минуты, как маленький Гаусс дал ответ 5050. Когда его спросили, как он решил задачу? Гаусс объяснил: каждая пара чисел, которые одинаково отстоят от концов ряда ( например: 1 и 100, 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т.д.) составляют в сумме 101. А так как таких пар 50, то нужно умножить 101 на 50. Найдите таким же способом сумму всех натуральных чисел: а) от 1 до 120. б) от 1 до230. в) от 1 до п.
6. Древнекитайская задача ( № 49). «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов».
7. Задача из Акмишского папируса (6 век № 56). « Некто взял из сокровищницы из того, что осталось. Другой взял . Оставил же он в сокровищнице 150. Мы хотим узнать, сколько было в сокровищнице первоначально?»
8.Надгробная надпись на могиле Диофанта имеет следующее содержание: ( № 57). «Диофант провёл шестую часть своей жизни в детстве, двенадцатую – в юности. После седьмой части, проведённой в бездетном супружестве и ещё 5 лет, у него родился сын, умерший по достижении половины числа лет отца. После чего Диофант прожил только 4 года. Сколько лет жил Диофант?»
9. Задача из Арифметики Ал – Хорезми ( № 64 ).
Найти число, зная , что если отнять от него 1/3 1/4 , то получится 8.
10. Древнеримская задача (2 век, № 67 ).
« Некто, умирая, завещал; если у моей жены родится сын, то пусть ему будет дано имения, а жене остальная часть. Если же родится дочь, то ей , а жене - .родилась двойня – сын и дочь. Как разделить имение?»
11. Задача из « Математики в 9 книгах» ( № 68 ). «Сообща покупают курицу. Если каждый человек внесёт по 9 (денежных единиц), то останется 11. Если же каждый внесёт по 6, то не хватит 16. Найти количество людей и стоимость курицы».
12. Задача Ньютона ( № 70 ). «Трава на всём лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы её за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Сколько коров съели бы всю траву за 96 дней?» (Предполагается, что траву коровы поедали равномерно).
13. Задача Л.Н.Толстого ( № 72 ). Великий русский писатель Лев Николаевич Толстой (1828 – 1910 ) проявлял особый интерес к математике и её преподаванию. Много лет преподавал начала математики в основанной им же знаменитой яснополянской школе. Написал оригинальную « Арифметику» и « Руководство для учителя». Своим гостям Л.Н.Толстой нередко предлагал многие интересные задачи, среди которых находилась и следующая задача: «Косцы должны выкосить два луга. Начав с утра косить большой луг, они после полудня разделились. Одна половина осталась на первом лугу и к вечеру его закончила. Другая половина косцов перешла косить на второй луг, площадью вдвое меньше первого. Сколько было косцов, если известно, что в течение следующего дня оставшуюся часть работы выполнил один косец?»
14. Древнеиндийская задача (математика Сриздхари 11 век , № 6 ). «Есть Кадамба цветок, на один лепесток пчёлок пятая часть опустилась. Рядом тут же росла вся в цвету Сименгда и на ней третья часть поместилась. Разность их ты найди, её трижды сложи и тех пчёл на Кутай посади.
Лишь одна не нашла себе места нигде. Всё летала то взад, то вперёд и везде ароматом цветов наслаждалась. Назови теперь мне, подсчитавши в уме, сколько пчёлок всего здесь собралось?»
15. Задача Пифагора (6 век, № 3 ). На вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме одного, есть три женщины. Сколько учеников посещало школу Пифагора?»
16. Задача Московского папируса. ( № 2 ). К первым, самым древним задачам на составление уравнений, по – видимому, относятся некоторые задачи, содержащиеся в древнеегипетском Московском папирусе ( музей изобразительных искусств в Москве). «Число и его половина составляют 9. Найти число».
Ответы и указания к решению задач
1. На восьмой день. 2. 7, 49, 343, 2401, 16807, 19607. 3. 2 (указание + + += 36. 4. 75. 5. 1+2+3+…+ п = (1+п) + (2+п-1)+…+.п 6. 12 кроликов, 23 фазана. 7. 172; в рукописи представлена в виде суммы единичных дробей , , , . 8. 84 года. 9 . 4 . 10. Указание: Сын должен получить в 2 раза больше жены, жена – в 2 раза больше дочери. Имение следовало разделить между сыном, женой и дочерью прямо пропорционально числам 4:2:1. 11. 9 человек. Стоимость курицы -70. 12. 20 . Указание: Пусть «паёк» - количество травы, съедаемое одной коровой в день. За 24 дня 70 коров 24х70= 1680 «пайков». В эти пайки входит и прирост травы за 24 дня. 30 коров за 60 дней 30х60=1800 «пайков». В обоих случаях была съедена вся трава на лугу. То 1800 – 1680 = 120 пайков - составляет прирост за 60 – 24 = 36 дней. Значит прирост за 24 дня 80 пайков. Первоначальный запас 1680 – 80 =1600пайков. За 96 дней будет прирост 1600+ 320 =1920 пайков. За один день съедают 1920 :96 =20 пайков, то за 96 дней всю траву поедают 20 коров. 13. 8 косцов. 14. 15. Указание: 1 - - - 3( - ) = ; 1 : = 15. 15. 28. Указание 1) + + = ; 2) 1 - = ; 3) 3 : = 28. 16. 6.
