Урок на тему:
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Цель: сформировать навык вычисления углов между векторами, прямыми и плоскостями.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
II. Диктант.
Запомните пропуски, чтобы получить верное высказывание.
1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы… 1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно…
2. Если A (5; 4; 0), B (3; –6; 2) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…
2. Если A (4; –4; –2), B (–8; 4; 0) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…
3. [pic] . Длина вектора равна…
3. [pic] . Длина вектора равна…
4. Вектор [pic] имеет координаты [pic] {–3; 3; 1}. Его разложение по координатным векторам [pic] , [pic] и [pic] равно…
4. Вектор [pic] имеет координаты [pic] {–2; –1; 3}. Его разложение по координатным векторам [pic] , [pic] и [pic] равно…
5. A (2; 7; 9), B (–2; 7; 1). Координаты вектора [pic] равны…
5. A (–3; 5; 5), B (3; –5; –2). Координаты вектора [pic] равны…
6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). A – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…
6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). В – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…
7. Скалярное произведение векторов [pic] {–4; 3; 0} и [pic] {5; 7; –1} равно …
7. Скалярное произведение векторов [pic] {2; –8; 1} и [pic] {–3; 0; 2} равно…
8. Если [pic] = 5, то угол между векторами [pic] и [pic] …
8. Если [pic] = –2, то угол между векторами [pic] и [pic] …
9. Угол между векторами [pic] {2; –2; 0} и [pic] {3; 0; –3} равен…
9. Угол между векторами [pic] { [pic] ; [pic] ; 2} и [pic] {–3; –3; 0} равен…
10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами [pic] и [pic] равен…
10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами [pic] и [pic] равен…
III. Объяснение нового материала.
А. Алгоритм нахождения угла между векторами [pic] {x1; y1; z1} и [pic] {x2; y2; z2}, заданными своими координатами.
1. Вычислить длины векторов [pic] и [pic] :
[pic] , [pic] .
2. Найти скалярное произведение [pic] :
[pic] = x1 ∙ x2 + y1 ∙ y2 + z1 ∙ z2.
3. Найти косинус угла α между векторами [pic] и [pic] по формуле:
cos α = [pic] .
Примеры.
1. (№ 451 (д)). [pic] { [pic] ; – [pic] ; 2}, [pic] [pic] .
Найдите угол между векторами [pic] и [pic] .
1) [pic] . [pic] .
2) [pic] – 2 ∙ 1 = –1 – 1 – 2 = –4 .
3) cos α = [pic] = –1 [pic] α = 180°.
2. (аналогичный № 453).
Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Найдите угол между [pic] и [pic] .
1) A (1; 3; 0), B (2; 3; –1) [pic] [pic] {2 – 1; 3 – 3; –1 – 0}.
[pic] {1; 0; –1} [pic] [pic] .
A (1; 3; 0), C (1; 2; –1) [pic] [pic] {1 – 1; 2 – 3; –1 – 0}.
[pic] {0; –1; –1} [pic] [pic] = [pic] .
2) [pic] {1; 0; –1}, [pic] {0; –1; –1} [pic] [pic] = 1 ∙ 0 + 0 ∙ (–1) + 1 ∙ 1 = 1.
3) cos α = [pic] [pic] cos α = 60°. Найдите угол между [pic] и [pic] .
α = 180° – 60° = 120°.
[pic]
В. Нахождение угла между прямыми.
Ввести понятие направляющего вектора прямой.
Так как угол между прямыми принято считать острым, то
cos α = [pic] , где [pic] и [pic] – направляющие векторы прямых.
Пример (№ 464 (а)). Вычислите угол α между прямыми [pic] и [pic] , если A (3; –2; 4), B (4; –1; 2), C (6; –3; 2), D (7; –3; 1).
1. [pic] {1; 1; –2}, [pic] .
[pic] {–1; 0; 1}, [pic] .
2. [pic] = 1 ∙ (–1) + 1 ∙ 0 – 2 ∙ 1 = –3.
3. cos α = [pic] α = 30°.
С. Нахождение угла между прямой и плоскостью.
Пусть [pic] {x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a. Вектор [pic] {x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α.
sin α = cos β = [pic] .
Пример (№ 469 (а)).
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб,
AC [pic] BD = N, M [pic] A1D1, A1M : MD1 =
= 1 : 4. Вычислить sin [pic] (MN, (ABC)).
Решение
1. Введем систему координат.
2. Пусть AB = a. Тогда B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), A1 (a; 0; a), C (0; a; 0),
N [pic] , M [pic] .
3. [pic] .
[pic]
4. [pic] {0; 0; a}.
5. [pic] .
6. [pic] .
Домашнее задание: теория (п. 51), №№ 451, 453, 464 (б, в, г), 469 (б, в).
