УПРАВЛЕНИЕ

ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

СЕРГИЕВО-ПОСАДСКОГО РАЙОНА МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №25»

141323,п.Лоза,д.21, Сергиево-Посадский район, Московская область

Тел. 8(496) 551-96-27

ПРОЕКТ

«График функции, возрастание, убывание функции, нули функции, сохранение знака на промежутке, наибольшее и наименьшее значения. Чтение графиков функции».

Учитель МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №25»

Пос. Лоза Сергиево-Посадского района

Хабирова Ольга Анатольевна

2016 год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение.

II. Основная часть.

1. График функции.

   1. Определение.

   2. Способы построения графика функции.

   3. Основные виды функций и их графики.

2. Основные свойства функций. Чтение графиков.

3. Решение задач по теме «Функции и их графики».

3.1. Определение величины по графику.

3.2. Задачи на установление соответствия между графическим и аналитическим заданием функции.

3.3.»Чтение графиков». Промежутки возрастания и убывания, нули функции, промежутки знакопостоянства.

III. Приложения.

IV. Список литературы.

Введение.

На интеллектуальное развитие человека и, прежде всего таких его компонентов, как способность к усвоению новой информации, сила и гибкость ума, критичность, умение планировать действия, способность к аргументации, оказывает большое влияние алгебра. Для понимания учащимися курса алгебры в целом важно, прежде всего, чтобы они полноценно усвоили первичные модели. Одной из таких моделей является функция.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции. Одновременно учитывается все ценное, что можно извлечь из логического подхода. Исходя из этого при формировании понятий и представлений, методов и приемов в составе функциональной линии система обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредоточивалось, во-первых, на выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией, и, во-вторых, на установлении их взаимодействия при развертывании учебного материала. Иными словами, в обучении должна быть выделена система компонентов понятия функции и установлена связь между ними. В эту систему входят такие компоненты:

• представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и в математике;

• представление о функции как о соответствии;

• построение и использование графиков функций, исследование функций;

• вычисление значений функций, определенных различными способами.

Функционально-графическая линия школьного курса алгебры является одной из основных линий всего курса и имеет большое значение для изучения остальных содержательных линий школьного курса. Формирование функционально-графических навыков способствует развитию логического математического мышления. Графический метод приводит ученика к ситуации, когда график той или иной функции строится не ради графика, а для решения другой задачи, например, для решения уравнения. График функции является не целью, а средством, помогающим решить уравнение. Это способствует и непосредственному изучению функции, и ликвидации того неприязненного отношения к функциям и графикам, которое, к сожалению, характерно для традиционных способов организации изучения курса алгебры в общеобразовательной школе.

1.График функции.

1.1. Определение.

Изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и парой является единственным средством их решения. Кроме того, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат - значения функции у = f (х).

Графиком функции y  =  f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

1. 2. Способы построения графика функции.

Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х1, х2, x3 ,..., хk и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

В силу сделанного замечания необходимо рассмотреть различные способы построения графиков функций, которые представлены таблицей ниже. 

1. 2. Основные виды функций и их графики.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

Приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.

__________

1. Линейная функция

y = kx + b (k, b R) График - прямая

k – угловой коэффициент, т.к. k = tg α, где α – угол наклона графика к положительному направлению оси Ох

(0; b) – точка пересечения с осью Оу

k>0, b>0 k<0, b>0 k>0, b<0 k<0, b<0

[pic] [pic] [pic] [pic]

Частные случаи:

График – прямая, походящая через начало координат.

2) y = а (а R)

График – прямая, параллельная оси Ох

3) х = а (а R) График – прямая, параллельная оси Оу

[pic] [pic]

[pic]

[pic]

_________________________________________________________________

2. Обратная пропорциональность

y = (k ≠ 0, x ≠ 0, y ≠ 0) График – гипербола , оси Ох, Оу - асимптоты

k>0, график в I и III коорд.четвертях k<0, график во II и IV коорд.четвертях

[pic] [pic]

_________________________________________________________________

3. Квадратичная функция [pic]

y = ax² + bx+ c (a, b, c R; a≠0) График – парабола

- а>0, ветви вверх; а<0, ветви вниз;

- А (хо, уо) – вершина параболы, ,;

- прямая х = хо – ось симметрии параболы.

4. Степенная функция y = xⁿ

^{(парабола)}

у = х³

^{(кубическая парабола)}

у = х ^–2

у = х ^–5

оси Ох, Оу - асимптоты

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

__________________________________________________________________

5. Отдельные функции

2. Основные свойства функций. Чтение графиков.

Одна из важнейших задач изучения функционального материала состоит в формировании умения “читать” график: находить значение функции по заданному значению аргумента; находить, при каких значениях аргумента функция принимает указанное значение; определять промежутки знакопостоянства, а также промежутки возрастания и убывания функции.

Как найти область определения по графику?

Область определения — это промежутки на оси Ох, над которыми (или под которыми) имеются части графика.

[pic]

Область значений функции.

Областью значений функции называется множество всех ее значений.

Как найти область значений по графику?

Область значений функции — это промежутки на оси OY, слева или справа от которых (в горизонтальной полоске) находятся части графика.

[pic]

Нули функции.

Число a называется нулем функции, если соответствующее ему значение функции равно нулю, то есть f (a)=0.

Как найти по графику? Определите абсциссы точек пересечения графика с осью Ох.

[pic]

Промежутки знакопостоянства .

Промежутки, на которых функция имеет постоянный знак (положительный или отрицательный).

Промежуток положительного знака — это множество значений переменной x, у которых соответствующие значения функции больше нуля (y>0 ).

Как найти все такие промежутки по графику?

Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика выше оси Ох.

Промежуток отрицательного знака — это множество тех значений переменной х, у которых соответствующие значения функции меньше нуля (y<0).
Как найти все такие промежутки по графику?

Определите промежутки оси ОХ, у которых соответствующие кусочки графика ниже оси Ох.

[pic]

[pic]

[pic]

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции, т.е. из условия x2 > x1 следует f ( x2 ) > f ( x1).

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции, т.е. из условия x2 > x1 следует f (x2)< f (x1).
Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

[pic]

Наименьшее и наибольшее значение функции.

Число a называется наименьшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента [pic] из этого промежутка верно неравенство [pic] .

Число a называется наибольшим значением функции на промежутке, если для любого значения аргумента [pic] из этого промежутка верно неравенство [pic] .

[pic]

[pic]

3. Решение задач по теме «Функции и их графики».

3.1. Определение величины по графику.

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Умение выполнять такую задачу позволяет успешно выполнять учащимся целый ряд заданий на определение величины по графику.

Правило нахождения точки по заданной координате.

• Если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y= f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а).

[pic]

Рассмотрим примеры типовых задач на применение правила.

Задача 1. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало [pic] миллиметров осадков.

[pic]

Решение.

Из графика видно, впервые 5 мм осадков выпало 11 февраля (см. рисунок).

Ответ: 11.

Задача 2. Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат — сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

[pic]

Решение.

Из графика видно, что при скорости 200 км в час действующая на крылья подъемная сила равна одной тонне силы.

Ответ: 1.

Задача 3. На рисунке изображен график осадков в Калининграде с 4 по 10 февраля 1974 г. На оси абсцисс откладываются дни, на оси ординат — осадки в мм. Определите по рисунку, сколько дней из данного периода выпадало от 2 до 8 мм осадков. [pic]

Решение.

Из графика видно, что в течение трех дней — 7, 8 и 9 февраля выпадало от 2 до 8 мм осадков.

Ответ: 3.

Задача 4. На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января. Ответ дайте в градусах Цельсия.

[pic]

Решение.

Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C.

Ответ: −10.

Задача 5. На графиках показано, как во время телевизионных дебатов

между кандидатами А и Б телезрители голосовали за каждого из них. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала голосования, а по вертикальной– число голосов, поданных за это время). Кто из кандидатов получил больше голосов в период с 45-ой до 60-ой минуты, и на сколько больше?

[pic]

Решение.

Расчет голосов за кандидатов в период с 45-ой до 60-ой минуты выглядит так:

А: 40-25=15; В: 50-40=10. Таким образом, в силу того, что 10<15, делаем вывод, что больше голосов получил кандидат А.

Вычислим, во сколько раз: 15:10=1,5

Ответ: кандидат А, в 1,5 раза.

3.2.Задачи на установление соответствия между графическим и аналитическим заданием функций.

Задача 1. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

[pic]

1. у=х² 2) у = 3) у =  4) у =

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

А

Б

В

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1. у=х² [pic] уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2. у = [pic] уравнение прямой.

3. у =  [pic] уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

4. у = [pic] уравнение гиперболы.

Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

 Ответ: 142.

Задача 2. Установите соответствие между функциями и графиками. Функции заданы формулами: а) ; б) у = -4х^{2 ;} в) у = -4х-1.

1) парабола; 2) гипербола; 3) прямая

Ответ: а – 2); б – 1); в – 3).

3.3. "Чтение графиков". Промежутки возрастания и убывания, нули функции, промежутки знакопостоянства.

Усвоение свойств функций и, как следствие, выполнение заданий на установление свойств функции по ее графику, традиционно вызывает трудности у учащихся. Наиболее часто ученики путают промежутки возрастания или убывания с промежутками, на которых функция принимает положительные или отрицательные значения. Для успешного выполнения таких заданий ученикам нужно четко знать определения используемых понятий (свойств), уметь видеть (выделять) их на графике функции. Приведем несколько примеров на использование свойств графиков функций.

Задача 1.Укажите промежуток возрастания функции y=f(x), заданной графиком.

1. (-2; 0) [pic]

2. [0; 2]

3. (-2; -1)

4. [-2; 2]
   

Решение:

Воспользуемся определением возрастания функции на отрезке и видим по графику, что на промежутке от 0 до 2 значения функции возрастают.

Ответ: [0; 2].

Задача 2. Укажите промежуток убывания функции y=f(x), заданной  графиком.

[pic] 1) (∞; 0] 2) [-1; 0], [1; +∞)

3) [-1; 1] 4) (- ∞; - 1], [0; 1]

Ответ: (- ∞; - 1], [0; 1].

Задача 3. Функция y=f(x) задана графиком на отрезке [–1; 8]. Укажите количество промежутков убывания функции.

[pic]

Решение:

Рассмотрев график функции, устанавливаем промежутки убывания:

(-1; 1], [3;4], [6; +∞).

Ответ: 3.

Задача 4. Функция y=f(x) задана графиком на отрезке [–6; 4]. Укажите множество значений аргумента, при которых функция положительна.

[pic]

1)(-1; 3) 2)[-6; -4), (-4; -1), (3; 4] 3) [-6; -4], [-4; -1], [3; 4] 4) [-6; -1], (3; 4]

Ответ: [-6; -4), (-4; -1), (3; 4] .

Задача 5. Функция y=f(x) задана на промежутке [–4; 5]. Укажите  промежуток, которому принадлежат все нули функции.

[pic]

1)[-2; 1) 2) [-3; 2] 3) (-3 2) 4) [2; 5].

Решение.

График функции пересекается с осью ОХ в двух точках: х = -3; х = 2.

Ответ: [-3; 2] .

Различные виды заданий на применение свойств графиков функций (см. Приложение 1) помогут учащимся успешно освоить учебный материал и применять его в различных задачах.

Приложение 1.

Тренинг рекомендуется проводить после изучения темы  «Квадратичная функция». Учащимся предлагаются карточки с заданиями, в которых содержатся задачи на знание свойств функции. Уровень сложности заданий – средний. Каждый ученик должен решить собственное задание.

Критерии оценивания: Каждая правильно решенная задача оценивается в 1 балл, а за неверно решенные задачи уменьшают общий результат на 3 балла.

Рекомендации: Перед проведением тренинга следует кратко повторить основные свойства и определения функции.

Вариант № 1

1. Найдите координаты вершины параболы [pic]

2. Найдите множество значений функции [pic]

3. Найдите область возрастания функции [pic]

4. Найдите область убывания функции [pic]

5. Найдите нули функции [pic]

6. При каких значениях переменной х функция принимает положительные значения [pic]

7. При каких значениях переменной х функция принимает отрицательные значения [pic]

Вариант № 2

1. Найдите координаты вершины параболы [pic]

2. Найдите множество значений функции [pic]

3. Найдите область возрастания функции [pic]

4. Найдите область убывания функции [pic]

5. Найдите нули функции [pic]

6. При каких значениях переменной х функция принимает положительные значения [pic]

7. При каких значениях переменной х функция принимает отрицательные значения [pic]

[pic] [pic]

Литература

1. “Программа для общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9. Алгебра 10-11”, М. “Просвещение”, 2008 г.

2.Башмаков М.И. “Глядя на график”, “Математика для школьников”, 2005, №2, с.46.

3.Шестаков В.А., Лаврентьев А.А. “Чтение графиков”, “Математика для школьников”, 2004, №1, с.21.

4. Математика. 9-й класс. Подготовка к ГИА-2013: учебно-методическое пособие / Под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012.

5. ГИА 2013 г. Математика. 9-й класс. Государственная итоговая аттестация (в новой форме). Типовые тестовые задания / И.В. Ященко, С.А. Шестаков, А.С. Трепалин, А.В. Семенов, П.И. Захаров. – М.: Издательство «Экзамен», 2013.