Урок по алгебре и началам анализа
на тему "Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений»
Тип урока: комбинированный
Цели урока:
Обучающая:
повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний;
научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний;
решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний.
Воспитывающая:
воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;
воспитывать умение работать самостоятельно.
Развивающая:
способствовать развитию внимания.
Оборудование: карандаш, линейка, тетрадь, дидактический материал (карточки-задания).
Методы обучения: словесно-информационный (рассказ), словесно-репродуктивный (опрос), практически-репродуктивный (выполнение заданий), наглядно-иллюстративный (карточки, учебник, раздаточный материал).
Формы обучения: коллективная, индивидуальная.
Этапы урока:
Организационно-мотивационный (сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала) - 2 мин
Проверка домашнего задания (проверка тетрадей) – 3 мин
Актуализация знаний (актуализация опорных знаний учащихся) - 5мин
Обобщение знаний (повторить определения размещений, перестановок, сочетаний и формулы для их нахождения) - 15 мин
Закрепление и проверка усвоения материал решить простейшие комбинаторные задачи с помощью формул для нахождения числа размещений, перестановок, сочетаний. – 10 мин
Домашняя работа - 3 мин
Итог урока – 2 мин
I этап: Организационно-мотивационный
Сообщение темы урока, организация обстановки способствующей усвоению материала.
В практике часто встречаются задачи, при решении которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называется комбинаторикой.
Рассмотрим такие задачи:
1) Перестановки
Задача №1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
В задаче нам нужно составить комбинации из трех цифр и подсчитать их число. В процессе решения этой задачи постараемся выяснить структуру полученных комбинаций (чем одна комбинация отличается от другой), способ рассуждений и правило подсчета комбинаций.
135, 153, 315, 351, 513, 531.
При решении этой задачи мы составили 6 комбинаций из трех цифр. Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга только порядком расположения элементов. Такие комбинации называются перестановками.
Определение. Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения.
Число перестановок из n элементов обозначается [pic] . Для любого натурального числа n справедлива формула [pic]
Задача №2. Сколькими способами можно поставить на полке рядом 5 разных книг?
Решение: [pic]
Задача №3. Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлены 6 приборов?
Решение: [pic]
2) Размещения
Задача №4. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
На первом месте в комбинации из двух может стоять любая из цифр 1,3,5. Так как после выбора первой цифры останутся две, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр двумя способами. Перечислим все комбинации: 13; 15; 31; 35; 51; 53.
Обратим внимание, что каждая из полученных комбинаций отличается друг от друга самими элементами или порядком их расположения. Такие комбинации называются размещениями.
Определение. Размещениями называются комбинации, составленные из n различных элементов по k элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.
Число размещений из n элементов по k обозначают [pic] и вычисляют по формуле: [pic]
Задача №5. Учащиеся 5 класса изучают 10 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 5 различных предметов?
Решение: Любое расписание на один день, составленное из 5 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования. Значит, речь идет о размещениях из10 по 5:. [pic]
3) Сочетания
Задача №6. Пусть имеются цифры 1,3,5. Из них нужно составить комбинации по 2 элемента, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Решение 13; 15; 35.
Алгоритм: сначала отбрасываем последнюю цифру в исходной записи (5), потом вторую в исходной записи (3), потом третью (1). Каждая из этих комбинаций отличается от любой другой, хотя бы одним входящим в нее элементом. Нет ни одной комбинации с одинаковым составом элементов. Такие комбинации называются сочетаниями.
Определение. Сочетаниями из данных n элементов по k называют любую группу из k этих элементов.
Понятие сочетания не связано с расположением (порядком) элементов.
Число сочетаний из n элементов по k обозначают [pic] и вычисляют по формуле: [pic]
Задача №7. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 2 карты?
Решение: [pic]
Рассмотрим различные комбинаторные задачи.
Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9.Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?(12)
Типичные задачи, в которых обычно путаются учащиеся
Сочетания Размещения
1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек?
{Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже.
Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.
[pic]
1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?
{Вася, Петя} ≠ {Петя, Вася} – разные обмены.
Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.
[pic]
Перестановки
1. Сколькими способами n человек могут сесть на одной скамейке?
Pn = n!
2. Сколькими способами n человек могут сесть за круглым столом?
[pic]
Рассмотрим различные комбинаторные задачи.
Задача №8. Составьте все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3,5,7,9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую из указанных цифр один раз?
Задача №9. Сколькими способами может расположиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? (24)
Задача №10. Из 30 участников собрания необходимо выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? (870)
Задача №11. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг с горизонтальными полосами, если есть материал 7 разных цветов? (210)
Задача №12. Сколькими способами 4 мужчины могут расположиться на четырехместной скамейке?
Задача №13. Курьер должен разнести пакеты в 7 разных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
Задача №14. Ольга помнит, что телефон подруги оканчивается тремя цифрами 5, 7, 8, но забыла, в каком порядке эти цифры расположены. Укажите наибольшее число вариантов, которые ей придется перебрать, чтобы дозвониться подруге.
Задача №15. В классе 7-м учащихся успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
Задача №16. В магазине “Филателия” продается 8 разных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Задача №17. Ученикам дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Самостоятельная работа по вариантам
1 вариант 2 вариант
3 вариант
1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 человека можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?
1. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг штоке?
1. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пирожных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?
2. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все комнаты окрашиваются в разные цвет), если имеется 10 различных красок?
2. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?
2. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии. Сколько всего партий должны сыграть участники турнира?
3. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
3. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?
3. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собрание председателя и секретаря?
Домашняя работа
№ 1. Бригадир должен откомандировать на работу бригаду из 5 человек.
Сколько бригад по 5 человек в каждой можно организовать из 12 человек?
№ 2. Группа учащихся из 30 человек решила обменяться фотографиями.
Сколько всего фотографий необходимо было для этого?
№ 3. Во время встречи 16 человек пожали друг другу руки. Сколько всего сделано рукопожатий?
