КОНСПЕКТ УРОКА

ТЕМА: Решение квадратных уравнений. (8 класс)

Цель урока:

закрепление темы: «Квадратное уравнение»; создание условий для осознанного и уверенного владения навыком решения квадратных уравнений, рассмотрение различных способов решения квадратных уравнений.

Образовательные задачи урока:

закрепить знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений, расширить и углубить представления учащихся о решении уравнений, организовать поисковую деятельность учащихся при решении квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие задачи урока:

• развивать математическое мышление, память, внимание;

• развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;

• развивать коммуникативные навыки через коллективный способ обучения; развивать навыки  самостоятельной  работы;

• развивать устную и письменную речь учащихся;

• привить любовь к предмету, желание познать новое.

Воспитательные задачи урока:

• воспитывать культуру умственного труда;

• воспитывать культуру коллективной работы;

• воспитывать информационную культуру;

• воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний; воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и творчества.

Формы обучения:

Индивидуальная, фронтальная работа, парная работа, групповая (коллективная) деятельность.

Тип урока:

Урок закрепления изученного материала.

Оборудование:

Компьютер, мультимедийная установка, презентация, карточки.

Структура урока:

I этап. Организационный момент.

II этап. Актуализация знаний учащихся

III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме дидактической игры.

V этап. Физкультминутка

VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной ситуации.

VII этап. Разноуровневая работа в группах.

VIII этап. Подведение итогов урока.

IX этап. Домашнее задание.

X этап. Рефлексия.

Ход урока

I этап. Организационный момент.

Содержание деятельности: приветствие, определение отсутствующих; проверка готовности учащихся к уроку; готовность наглядных пособий, доски, мела и т.д.

Раскрытие общей цели урока.

Учитель. Здравствуйте! Садитесь. Ребята! Сегодня мы проведем урок обобщения, где еще раз вспомним о способах решения квадратных уравнениях и оценим свои знания.

Девизом нашего сегодняшнего урока станут слова Рене Декарта

«Для разыскания истины вещей - необходим метод».

Сегодня на уроке мы продолжим работу по закреплению и систематизации знаний, умений, навыков решения квадратных уравнений различными способами.

II этап. Актуализация знаний учащихся.

Содержание деятельности

1) Фронтальная работа (презентация «Фронтальная работа »)

1)Когда уравнение ах² + bх + с = 0 называется квадратным?

2)Какой вид примет уравнение:

а) если b = 0, с = 0;

б) если b = 0, с ≠ 0;

в) если b ≠ 0, с = 0?

3) Имеют ли данные уравнения корни, если имеют, то сколько?

4) Как называются такие уравнения? Приведите примеры таких уравнений.

5) От чего зависит наличие корней уравнения ах² + bх + с = 0?

6)Формулы для нахождения корней уравнения ах² + bх + с = 0.

7)Найти корни уравнения 1978х²-1984х+6=0 наиболее рациональным способом.

8) Если в уравнении ах² + bх + с = 0, а = 1, то уравнение называется…?

9) Как можно найти корни этого уравнения, какую теорему можно употребить для нахождения корней?

10) Можно ли выполнить обратную операцию, зная корни - найти p и q?

2) Устная работа

Учитель. Перед вами 8 уравнений:

1. 3x² – 2x – 5= 0;

2. х²=5;

3. 7x² + 14x = 0;

4. х² + 5x + 4= 0;

5. х² + 4x +4 = 0;

6. х² – 4 =0;

7. 2x² – 11x +5 =0;

8. х² + 2x = x² + 6.

Я сейчас задаю вам вопросы по способам решения квадратных уравнений, а вам надо указать уравнение которое проще всего решить этим способом. Если ответ верный, то откроется буква, соответствующая номеру этого уравнения и мы узнаем имя математика, который занимался изучением уравнений.

1)Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки? №3 (Д)

2)Какое уравнение можно решить, методом выделения полного квадрата? №5 (И)

3) Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент? №1 (О)

4)Какое уравнение удобно решить по теореме Виета? №4 (Ф)

5)Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов на множители? №6 (А)

6)В каком уравнении надо применять общую формулу корней квадратного уравнения? №7 (Н)

7)Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней? №2 (Т)

Вы догадались, о ком идет речь? Да имя математика, который занимался изучением уравнений, их классификацией, способами решения – Диофант.

Диофант смекалку проявил

Много нового в науке открыл.

Он ввел обозначения неизвестной величины,

Чтобы его уравнения решать все могли.

А также знак равенства - как без него,

И методы решения алгебраического уравнения - заслуга его.

Если хочешь больше о Диофанте узнать,

Можно в Интернете, в энциклопедиях почитать.

3)Если класс работает в хорошем темпе, можно разгадать кроссворд

III этап. Закрепление полученных знаний и способов деятельности.

Содержание деятельности

1)Решение примеров

1. x² + 4x – 12 = 0;

2. 3x² – 48 = 0;

3. 2a² – 5a + 2 = 0;

4. 4x² = 7;

5. –4x² – 4x + 15 = 0;

6. 5x² + 10x = 0.

1. «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их».

2) 3х² – 48 = 0; 4) 4х² = 7; 6) 5х² + 10х = 0.

Учащиеся самостоятельно решают. После решения называются корни уравнений, и учащиеся комментируют выбранный способ решения.

2. «Выпишите приведённое квадратное уравнение и решите его».

1) х² + 4х – 12 = 0.

Выбранный способ решения аргументируется.

3. «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?»

Уравнения №4 и №6 анализируются и прорешиваются у доски.

2) Решение задачи из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (примерно II в. до н.э.)

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу=1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот прямо 14 бу, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?»

Решение.

Обозначим сторону квадрата через х. Из подобия треугольников BED и ABC (см. рис. на слайде 10) получим: k/0.5x=(k+x+l)/d.

Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение х²+(k+l)-2kd=0.

В данном случае уравнение имеет вид х²+34х-71000=0, откуда х=25000 бу.

Отрицательных корней (в данном случае х=-284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

IV этап. Самостоятельная работа, с последующей проверкой, в форме дидактической игры.

Содержание деятельности

Учащимся выдаются карточки с заданиями 2-х вариантов (см. приложение) Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения. Поэтому в четырех из них вместо этого коэффициента свободное окошко. После выполнения работы – самоконтроль выполненной работы

Вариант 1.

х²+3х -28 = 0 x1 =-7, x2 =4

4х² +16x+12=0 x1 =-3, x2 =-1

-1х² -x+2=0 x1 =-2, x2 =1

1х² +3x-4=0 x1 =-4, x2 =1

1х² -4x-12=0 x1 =6, x2 =-2

2 вариант.

х²+4х -21 = 0 x1 =-7, x2 =3

3х² +6x-9=0 x1 =1, x2 =-3

1х² +6x-7=0 x1 =-7, x2 =1

1х² +10x+9=0 x1 =-9, x2 =-1

-1х² +7x-10=0 x1 =5, x2 =2

V этап. Физкультминутка

Содержание деятельности

Гимнастика для глаз (презентация «Физкультминутка»)

На уроке мы сидим

И во все глаза глядим,

А глаза нам говорят,

Что они уже болят.

VI этап. Усвоение новых знаний. Формулирование и разрешение проблемной ситуации.

Содержание деятельности

(Учащиеся работают в тетрадях).

Задание. Найдите значение выражения +, где х1 и х2 корни уравнения

2х² + 7х + 2= 0.

Можете обсудить решение с соседом по парте. Сколько времени вам понадобится на выполнение этого задания?

(Можно предположить, что решения в тетрадях учащихся будут следующие записи:

2х² + 7х + 2 = 0

Д = 49 – 4*4 = 33

x1 = x2 =)

На самом деле это задание можно решить намного рациональнее.

Теорему Виета мы применяли для приведенных квадратных уравнений, а это неприведенное.

А чем отличается приведенное квадратное уравнение от неприведенного? (У приведенного квадратного уравнения коэффициент «а» равен 1.)

Как это уравнение свести к приведенному? (Разделить обе части уравнения на 2.)

Запишем в тетрадях правильное решение.

2х² + 7х + 2 = 0

х² + 3,5х + 1 = 0

Чтобы найти значение данного выражения, его надо преобразовать так, чтобы в него входила сумма корней и их произведение. Как это можно сделать?

Привести дроби к общему знаменателю.

+===-3,5 , т.к. x1 +x2 =-3,5 x1 *x2 =1

Делаем вывод.

Было неприведенное квадратное уравнение ах² + bх + c = 0, мы его свели к уравнению х² + х + = 0 и тогда получается, теорема Виета для любого квадратного уравнения звучит так:

Если x1, x2 – корни уравнения ах² + bх + c = 0, то x1 +x2 =- x1 *x2 =

Аналогично, звучит и обратная теорема.

Закрепление изученного материала.

(Ученик работает у доски).

Задание. Найти, где х1 и х2 корни уравнения 3х² -5х -7 = 0.

1) Сведем это уравнение к приведенному.

х² - х - = 0

2) Запишем чему равна сумма и произведение корней

x1 +x2 = x1 *x2 =-

3)Рассмотрим выражение.

Это выражение надо записать в таком виде, чтобы в него входила сумма чисел x1 +x2 и произведение x1 *x2

= (x1 +x2 )² - 2 x1x2

Значит,

=- 2=7

VII этап. Разноуровневая работа в группах.

Содержание деятельности

Класс делится на группы. Группа получает карточку с заданиями (см. приложение). Каждый член группы выполняет задание в своей тетради. На проверку берется одна тетрадь из группы. Все члены группы получают одинаковую оценку. Для того, чтобы учитель мог быстро осуществить проверку в каждой карточке закодировано ключевое слово

1 уровень.

х² - 7х -1 = 0

1) x1 +x2 = 7

2) x1 *x2 =-1

3) +=-7

4) =51

5) =-7

Зашифровано слово: КАТЕТ

2 уровень.

х² - 6х +2 = 0

1) +=3

2) =32

3) =12

4) +=16

5)(x1 -3)(x2 -3)=-7

Зашифровано слово: КОНУС

3 уровень

х² - 7х +2 = 0

1) = 49

2) (x1 +2)(x2 +2) = 20

3) = 45

4) +=22,5

5) = 301

Зашифровано слово: СФЕРА

Самое сложное задание из каждой группы проверяется у доски:

1)

2)(x1 -3)(x2 -3)

3)

VIII этап. Подведение итогов урока.

Итак, мы сегодня на уроке мы продолжили работу по закреплению и систематизации знаний, умений, навыков решения квадратных уравнений различными способами, получили новые знания и применили их.

IX этап. Домашнее задание.

1) Решить уравнения:

2) Составить квадратное уравнение, корни которого были бы обратными соответствующим корням уравнения .

X этап. Рефлексия.

Какой момент на уроке показался вам самым сложным?

Какой момент на уроке показался вам самым интересным?

Как вам нравится больше работать: в группах или индивидуально?

Приложение

Карточки для дидактической игры

1 вариант.

Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения.

х²+3х -28 = 0 Решение:

О х² +16x+12=0

О х² -x+2=0

О х² +3x-4=0

О х² -4x-12=0

2 вариант.

Для каждого последующего уравнения значение коэффициента «а» принимается равным большему корню предыдущего уравнения.

х²+4х -21 = 0 Решение:

О х² +6x-9=0

О х² +6x-7=0

О х² +10x+9=0

О х² +7x-10=0

Карточки для групповой работы

1 уровень.

Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения

х² - 7х -1 = 0

Найдите:

1) x1 +x2

2) x1 *x2

3) +

Указание: приведите дроби к общему знаменателю.

4)

Указание: выделите полный квадрат

5)

Указание: вынесите общий множитель за скобки

Расшифруйте слово.

7

8

51

-7

47

-51

18

16

А

К

Р

Е

Т

Л

И

В

Ф

2 уровень.

Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения

х² - 6х +2 = 0

Найдите:

1) +

2)

3)

Указание: вынесите общий множитель за скобки

4) +

Указание: приведите дроби к общему знаменателю

5)(x1 -3)(x2 -3)

Указание: раскройте скобки

Расшифруйте слово.

40

32

12

29

3

16

6

-16

С

В

О

Н

И

К

У

Л

Е

3 уровень.

Пусть x1 и x2 – корни квадратного уравнения

х² - 7х +2 = 0

Найдите:

1)

2) (x1 +2)(x2 +2)

Указание: раскройте скобки

3)

4) +

5)

Указание: воспользуйтесь формулой

= (a+b)(a²- ab+ b²)

Расшифруйте слово.

49

301

17

20

22,5

32

2

45

Н

С

А

М

Ф

Р

О

И

Е

9