Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №90»
р.п. Чунский
В помощь выпускнику
«Методы решения тригонометрических уравнений»
[pic]
Составитель:
учащаяся 10б класса
Приведа Елена
Руководитель:
Грибовская В.А.
2016г.
Введение
Дорогие ребята!
В 10 классе мы знакомимся с тригонометрическими уравнениями, изучаем основные способы их решения.
На ЕГЭ тригонометрические уравнения представлены во второй части, то есть в заданиях с развернутым ответом.
В 2010 – 2014 годах тригонометрические уравнения или их системы составляли задание С1, с 2015 года это - задание №13 профильного уровня. Значит для успешной сдачи экзамена, необходимо владеть способами решения тригонометрических уравнений.
В этой работе можно познакомиться с методами решения тригонометрических уравнений, которые не представлены в нашем школьном учебнике, такие как метод введения вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка, метод оценки левой и правой частей уравнения.
Кроме этого, приведены примеры объединения серий корней и решения уравнений из реальных КИМов с отбором корней.
Моя методичка адресована, прежде всего, выпускникам, готовящимся успешно сдать экзамен, но она будет полезна всем, кто изучает математику.
С уважением, автор-составитель.
Основная часть
I. Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.
Уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.
Уравнения вида sin x = a и cos x = a, где |а| ≤ 1, а также
tg x = a и ctg x = a, где аϵR называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
Формулы, с помощью которых находят решение этих тригонометрических уравнений:
sin x = a, x = (-1)k ∙arcsin a + πk = [pic]
cos x = a, x = ± arccos a + 2πn, n є Z
tg x = a, x = arctg a + πn, n є Z
ctg x = a, x = arcctg a + πn, n є Z.
Частные случаи.
Частные случаи полезно запомнить, так как они дают более простые формулы, и это удобно в отборе корней уравнения.
В частных случаях при а = 0, а = ± 1, получаем формулы:
sin x = 0, x = πn, n є Z
sin x = 1, [pic]
sin x = -1, [pic]
cos x = 0, [pic]
cos x = 1, x = 2πn, n є Z
cos x = -1, x = π + 2πn, n є Z.
Формулы корней уравнений sin2 x = a2, cos2 x = a2, где 0 ≤ а ≤ 1, можно объединить в серии x = ± arcsin a + πn, n є Z и
x = ± arccos a + πn, n є Z соответственно.
II. Методы решения тригонометрических уравнений.
Рассмотрим некоторые методы решения тригонометрических уравнений.
1. Метод введения вспомогательного угла (вспомогательного аргумента)
Иногда при решении тригонометрических уравнений бывает полезным заменить выражение [pic] на [pic] , где
[pic]
Тогда уравнение принимает вид: [pic] где φ называют вспомогательным аргументом.
Пример. (МПГУ) Найдите наибольший отрицательный корень уравнения [pic]
Решение:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Если n = 0, то х = π/12 > 0.
Если n = - 1, то х = π/12 – 2/3 π = -7/12 π < 0.
Ответ: [pic]
2. Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка)
Универсальная тригонометрическая подстановка (или рациональная подстановка) заключается в выражении
sin x, cos x, tg х через [pic]
[pic] (*)
! Надо помнить, что при использовании такой подстановки в отдельной проверке нуждаются значения
х = π +2πn, n є Z.
Это обусловлено тем фактом, что функция у = tg x не существует для аргумента х = π/2 + πn, n ϵ Z.
Пример. Решим уравнение [pic]
Способ I.
Решение:
Перейдем к sin x и cos x, заменив [pic]
Вывод формулы, если не помним: [pic]
При этом необходимо проверить х = π +2πn, n є Z.
0 – 1 – 1 = 0∙(-2), - 2 = 0 - ложно, поэтому потери корней не произойдет.
[pic]
Данное уравнение равносильно системе уравнений:
[pic]
Решим первое уравнение системы:
[pic]
Получаем решение системы, а значит исходного уравнения:
[pic]
Ответ: [pic] .
Способ II.
Пример. Решим уравнение [pic]
Решение:
Теперь решим это же уравнение, используя рациональную подстановку (*).
Убеждаемся, что [pic] не являются решением данного уравнения:
0 + (-1) – 1 = 0 ∙ (-1 – 1); -2 = 0 – ложно.
[pic]
[pic]
Ответ: [pic] .
Подстановка (*) [pic] называется рациональной потому, что она приводит тригонометрическое уравнение к рациональному уравнению, тем самым упрощая решение.
Рассмотрим еще один вид подстановки.
Подстановка t = sin x + cos x (t = sin x - cos x) позволяет решить уравнения вида
f (sin x + cos x; sin x ∙ cos x) = 0.
Если t = sin x + cos x, то sin 2x = t2 – 1 или sin x ∙ cos x = [pic]
Пример. (МФТИ) Решим уравнение sin x + cos x - [pic] sin 2x = 0.
Решение:
Заметим, что (sin x + cos x)2 = 1 + sin 2x, поэтому
если sin x + cos x = t, то sin 2x = t2 - 1,
и данное уравнение запишется в виде
t - [pic] (t2 - 1) = 0, или [pic] t2 – t – [pic] = 0, откуда
t1 = [pic] , t2 = [pic]
Исходное уравнение сводится к двум уравнениям:
1) sin x + cos x = [pic] .
Поделим обе части уравнения на [pic] и воспользуемся методом введения вспомогательного угла:
[pic] sin x + [pic] cos x = 1;
sin x cos [pic] + cos x sin [pic] = 1;
sin (x + [pic] ) = 1 – частный случай;
x = [pic] +2πn, n є Z.
2) sin x + cos x = [pic]
Аналогично: [pic] sin x + [pic] cos x = [pic] ;
sin x cos [pic] + cos x sin [pic] = [pic] ;
sin (x + [pic] ) = [pic] ;
x + [pic] = (-1)m ∙ arcsin [pic] + πm, m є Z;
[pic] .
Ответ: [pic] ; [pic] .
Как видим, встречаются уравнения, в которых используются комбинированные методы решения.
3. Метод оценки левой и правой частей уравнения (или метод ограниченности функций, или метод мажорант).
Решение некоторых тригонометрических уравнений основано на неравенствах, обозначающих множество значений функций синуса и косинуса:
-1 ≤ sin x ≤ 1, -1 ≤ cos x ≤ 1.
Примером уравнения, решаемого методом оценки множества значений левой и правой частей, служит следующий пример уравнения.
Пример. Решим уравнение [pic]
Решение:
В левой части уравнения выделим квадрат двучлена, а в правой – преобразуем разность квадратов, получим:
[pic]
Так как левая часть принимает наименьшее значение, равное 0, а правая – наибольшее значение, также равное 0, то уравнение равносильно системе уравнений [pic]
Решая ее, получим: [pic]
Ответ: х = - 3,5.
Пример. Решим уравнение [pic]
Решение:
В силу ограниченности синуса и косинуса [pic] данное уравнение равносильно системе уравнений:
[pic]
[pic]
Объединим серии корней:
[pic]
k будет целым, если (n + 1) будет четным, т.е. n +1 = 2m, n = 2m - 1.
[pic]
Ответ: [pic]
Обобщим этот метод.
Если в левой части уравнения функция f(х), а в правой g(х), и Е(f) ∩ Е(g) = а,
то уравнение f(х) = g(х) равносильно системе уравнений [pic]
На профильном экзамене ЕГЭ задание 13 состоит из двух частей и формулируется обычно следующим образом:
а) решить уравнение и б) отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку.
Рассмотрим пример из вариантов ЕГЭ.
Пример. (Из реальных КИМ №13)
а) Решите уравнение [pic]
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [pic]
Решение:
Воспользуемся методом оценки левой и правой части уравнения:
[pic]
[pic]
Ответ: [pic]
Однако встречаются и такие тригонометрические уравнения, решение которых без дополнительной формулировки требует отбора корней – это тригонометрические уравнения с конечным числом решений.
Рассмотрим такой пример.
Пример. Решим уравнение [pic]
Решение:
[pic] ;
Уравнение равносильно системе:
[pic] [pic]
Отбираем корни, принадлежащие промежутку [-4; 4]:
n = 0, x = 0 ϵ [-4; 4]
n = 1, x = π ϵ [-4; 4]
n = -1, x = - π ϵ [-4; 4]
Ответ: 0; ±π; ±4.
Решите самостоятельно уравнения:
1) [pic] ;
2) [pic]
3) [pic] .
Ответы: 1) 0; 2) корней нет; 3) [pic] .
В заключение хочу сказать, что для качественной подготовки к экзамену, надо решать уравнения и решать самостоятельно. Желаю всем успеха!
Список используемых источников:
1. Алгебра и начала математического анализа. 10–11 классы:
учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электронном носителе /[А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под. ред. А.Н. Колмогорова. – 20-е изд. - М.: Просвещение, 2011.
2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1988.
3. Сычева Г.В. «Повторяем тригонометрию». - «Математика для школьников»: научно - практический журнал. М.: «Школьная Пресса», №1, 2009г.
4. Садовничий Ю.А. «Решаем конкурсные задачи»: Лекторий для абитуриента. – «Математика», №7, 2008г.
5. 3000 конкурсных задач по математике. Сост. Куланин Е.Д. и др. – М.: Рольф, 1997.
Интернет-ресурсы
1. [link] - сайт в помощь школьнику найти необходимую информацию для подготовки к урокам, материал для рефератов и т.д.;
2. www: решу ЕГЭ - сайт в помощь выпускнику подготовиться к качественной сдаче ЕГЭ.
