Министерство образования и науки РФ
Решение нестандартных задач
по математике
Факультативный курс по математике
для обучающихся 5 – 8 классов
Составитель:
Кравчук Марина Геннадьевна,
учитель математики гимназии №44
города Иркутска
Иркутск 2016
Пояснительная записка
Путь развития при изучении математики состоит в формировании у учащихся характерных для этого предмета приемов мыслительной деятельности. При этом с точки зрения воспитания творческой личности, особенно важно, чтобы в структуру умственной деятельности школьников помимо алгоритмических умений и навыков, зафиксированных в стандартных правилах, формулах и способах действий, вошли эвристические приемы мыслительной деятельности, как общего, так и конкретного характера. Наиболее ярко это направление представлено известными работами Д.Пойа. Однако проблема формирования умений использовать методы познания, обучения эвристическим приемам в методической литературе разработана недостаточно. В ряде работ методистов (В.М. Брадис, А.Д. Семушин, Г.И. Саранцев, Л.С. Лунина, Е.Е. Семенов, А.А. Цукарь и др.) раскрывается содержание этих приемов, иллюстрируется их применение, но речь о целенаправленном их применении в условия школы не идет.
Реализация современной роли математики предполагает улучшение математической подготовки учащихся. Настойчиво подводя учителей и методистов к исследованиям и систематизации результатов выполненных исследований по данной проблеме. Поскольку владение школьниками основными общенаучными методами познания и специальными эвристиками, используемыми в математике, открывает им «широкие ворота» самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знаний в новых необычных ситуациях.
Предложенная программа элективного курса является сквозной - разработана для учащихся 5 - 8 классов. По мнению психологов, устойчивый интерес к математике формируется в 13-15 лет. Но без внимания учителя к организации работы по развитию детей в самом юном возрасте многие подростки никогда не придут в математику. Чтобы учащиеся старших классов начали всерьез заниматься математикой необходимо, чтобы на предыдущих этапах обучения они почувствовали, что размышления над трудными нестандартными задачами могут доставлять подлинную радость. Наблюдающийся интерес у учащихся 5,6 классов к различного рода головоломкам показывает не только целесообразность включения доступных математических задач в сферу интересов детей, но и наличие определенного интеллектуального голода у ребят в возрасте 10-12 лет. В то же время задержки в развитии в этом возрасте трудно компенсировать позднее. Эти обстоятельства подсказывают начать систематическую работу по развитию мыслительной деятельности в начальном звене старшей школы.
Программа курса дополняет и углубляет знания учащихся, получаемые в основном курсе математике при минимальном расширении теоретического материала. Учебный материал распределен так, что основные идеи курса находят свое отражение на протяжении длительного периода работы, т. к. удлинение активного периода восприятия изученного материала приводит к более глубокому его усвоению. Каждое вводимое понятие содержательно предполагается провести в ходе изложения курса, по меньшей мере дважды.
Программы курса рассчитаны на 68 занятий, связаны с программами базовых курсов и программами других спецкурсов математического цикла.
1. Цели и задачи курса.
Цели курса:
- овладение учащимися основными общенаучными методами познания и эвристическими приемами, соответствующими математическому стилю мышления;
- расширение и углубление основных математических понятий;
- повышение уровня математической культуры учащихся, привития им навыков самостоятельной творческой деятельности.
Задачи курса:
- научить учащихся решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем, сложности;
- создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;
- помочь учащимся осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения ими с точки зрения дальнейшей перспективы.
2. Основные формы организации учебных занятий.
Основной формой занятий является урок. Доминантной формой учения является поисково-исследовательская деятельность учащихся. Изучение данного элективного курса можно представить схемой: «задачи – теория – задачи», то есть теоретическая часть курса рассматривается через задачи, которые являются средством ее развития и применения. Задачи на самостоятельную проработку некоторых вопросов теории подбираются по принципу « наведения на открытие» , т. е. сначала они выступают как конкретизация и уточнение основной проблемы, а затем как поиск и составление общего способа ее решения. Предполагается, что в отдельных случаях достаточно очевидные обобщения учащиеся смогут сделать самостоятельно. Специфика же задач группы «наведения» такова, что обсуждение многих из них должно пролить некоторый свет на вопросы, которые могут возникнуть при рассмотрении более сложных задач. Решение таких задач может послужить и поводом для разговора о том, какие задачи могут быть решены в дальнейшем на основе обнаруженного факта, с какими другими разделами математики он связан, в чем его принципиальная математическая важность.
3. Критерии оценки успешного прохождения курса.
Учащиеся в результате изучения курса должны:
знать суть основных методов познания и специальных эвристик, используемых в математике (изученных в курсе);
применять изученные приемы при решении задач.
По мере прохождения программы для организации самоконтроля деятельности школьников в каждую последующую тему предполагается включение самостоятельных частей, выполнение которых обязательно и предполагает овладение материалом, изученным ранее. Таким образом, если возникнут затруднения при выполнении этих заданий учителю необходимо вернуться и вновь проработать с учениками ранее изложенные вопросы.
Возможные критерии оценок.
Критерии при выставлении оценок могут быть следующие:
Оценка « отлично» (5)- учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными домашними заданиями учащийся продемонстрировал умение работать самостоятельно.
Оценка «хорошо» (4) – учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться с большинством заданий; выполняет домашние задания прилежно; наблюдаются определенные положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и возрастании общих умений учащегося.
Оценка « удовлетворительно» (3) – учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять некоторые несложные задания.
Оценка «неудовлетворительно» (2) – ученик не проявил ни прилежания, ни заинтересованности в освоении курса, не справляется с решением несложных задач.
4. Организация и проведение аттестации учеников.
С целью учета информации о результатах работы и успехах каждого учащегося в отдельности целесообразно провести зачеты в каждом из классов в декабре и мае. Зачеты дают возможность придать всей работе завершенную форму, подвести итоги, ликвидировать имеющиеся пробелы в знаниях учащихся, организовать повторение, способствуют развитию самостоятельности в работе детей, развитию готовности добровольно и самостоятельно выполнять большое задание за большой срок, что требует от учащихся более высокого уровня развития интереса к изучению математики. Такая форма отчетности соответствует возрастным особенностям учащихся, их желанию участвовать в соревнованиях и добиваться успеха, стремлению показать свои достижения перед товарищами.
Проведение зачетов создает условия для совершенствования индивидуального подхода учителя в работе с учащимися. Такая форма работы дает возможность охватить и тех учащихся, которые по какой – либо причине пропустили ряд занятий.
Организация зачетов – весьма важный элемент в работе. В году проводится два зачета. На каждом зачете учащийся должен уметь решать заранее указанные 15 задач. Список этих задач следует дать учащимся за 2 месяца до зачета.
На зачете проверяется только умение решать данные 15 задач. Завышение этих требований может привести к перегрузке и искажению замысла проводимых зачетов.
Зачет проводится в письменной форме. Учащийся на зачете « тянет» три задачи и решает те из них, которые он лучше знает. Для получения зачета достаточно решить две задачи. При проверке учитываются оригинальные идеи в решении задач.
Для официального признания успеха учащегося можно завести зачетную книжку, в которой указывается факт сдачи зачета, дата и подпись учителя.
Представляется особенно важным, чтобы упражнения, предназначенные для зачета, учащиеся выполняли самостоятельно. Поэтому их не следует разбирать с учащимися во время занятий. Желательно, чтобы учащиеся сами осознали бессмысленность чужой помощи в этой работе. Лишь осенью после летних каникул: на первых занятиях курса последующего класса в качестве повторительной работы возможен разбор некоторых упражнений, вынесенных на зачет в прошлом году.
Основное содержание курса.
Общенаучные методы познания и эвристические приемы, соответствующие математическому стилю мышления.
Данный раздел составляет основу курса и предполагает ознакомление учащихся со следующими логическими и эвристическими приемами:
Сравнение.
Аналогия.
Обобщение.
Классификация.
Перебор.
Перефразирование (переформулировка задачи)
Метод «проб и ошибок».
Прием конкретизации. Контрпример и подтверждающий пример.
Рассмотрение частных (крайних) случаев. Переход от частного случая к общему.
Доказательство «от противного». Доказательство «по контрапозиции».
Прием обратного хода.
Прием уравнивания величин.
Использование диаграмм при решении задач.
Использование чашечных весов.
Решение логических задач табличным способом.
Применение графов при решении задач.
Дерево возможных вариантов.
Применение уравнений с несколькими неизвестными к решению задач.
Приемы сравнения дробей.
Введение вспомогательной неизвестной, построение вспомогательной фигуры.
Инверсия.
Инварианты.
Алгебраические методы в разрешении ребусов.
Использование соображений четности, симметричности, монотонности и непрерывности при решении задач.
Метод малых изменений.
Индукция.
Дедукция.
Анализ, синтез. Аналитико-синтетический метод.
Выражение одной переменной через другую.
Разбиение «целого на части» и реконструкция «целого по части».
Методы доказательства неравенств.
Методы решения уравнений с модулем
Метод подобия.
Большое внимание в этом разделе уделяется решению логических задач, которых мало в школьных учебниках, но которые часто имеют занимательные формулировки. Логические задачи привлекают даже тех, кто не любит или не понимает математику. Многие считают, что для решения этих задач не требуется специальных знаний, а достаточно определенного уровня развития, то есть «здравого смысла». Однако знакомство с методами и способами решения таких задач позволяет школьникам взглянуть на математику с другой, не вычислительной, стороны, научиться решать более сложные задачи и, в конечном итоге, развить «здравый смысл», то есть повысить культуру мышления.
2.Арифметика и элементы теории чисел.
Темы данного раздела можно разделить на две группы. Первую группу составляют текстовые задачи, решаемые арифметическими методами. Тематика этих задач близка к школьной программе и отличается от нее только уровнем сложности решаемых задач. При решении задач этого раздела, основной акцент делается на решение их именно арифметическими методами. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план их решения с учетом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами, истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью составления и решения обратной задачи, т.е. формировать и развивать общеучебные умения. Большое место в курсе занимают задачи на проценты в связи с тем, что практика показывает, что задачи этого вида вызывают затруднения у учащихся и очень многие окончившие школу не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни. В связи с этим целесообразно сюжеты задач на проценты подбирать непосредственно из действительности, окружающей современного человека – финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли), демография, экология, социологические опросы и т.д.
Во вторую группу входят темы близкие к теории чисел: делимость, арифметика остатков, сравнения и их свойства, решение уравнений в целых числах. Рассматриваются так же особенности десятичной записи чисел, другие системы счисления и природа признаков делимости. Задачи этого плана позволяют учащимся усвоить различие между свойствами числа самого по себе и свойствами его записи в той или иной форме. Теоретический материал по недесятичным системам счисления следует сопровождать задачами при решении которых такие системы возникают естественным образом.
3. Алгебра и элементы математического анализа.
Темы данного раздела изучаются в 7,8 классах и частично в шестом. Курс включает способы решения уравнений, систем уравнений, доказательства неравенств. Занятия, посвященные свойствам многочленов, используют в качестве теоретического материала теорему Безу и Виета, свойства симметрических и возвратных многочленов. Рассматривается основная теорема алгебры и следствия из нее.
В курс рассматриваются и задачи с параметрами. Это обусловлено тем, что, во-первых, они стали весьма популярны в последние годы на выпускных и вступительных экзаменах. Во-вторых – эти задачи учат контролировать свои действия, осмысливать каждый шаг при решении задачи. Они предполагают более высокий уровень математического развития учащихся. В-третьих, с помощью задач с параметрами можно не только проверить знание школьниками основных разделов математики, их уровень математического и логического мышления, но и позволяют научить их началам исследовательской деятельности, что в дальнейшем поможет успешному овладению математикой в ВУЗе.
Данный спецкурс направлен на расширение знаний учащихся то темам «Модуль», «Квадратный трехчлен и его приложения», «Задачи на смеси и сплавы».
4. Комбинаторика, элементы теории множеств, графы.
Так как элементы комбинаторики стали появляться в программах по математики уже с 5 – 6 классов, то представляется совершенно обоснованным предложить учащимся, успешно овладевшими основами арифметики, некоторые, доступные им, идеи, лежащие в основе комбинаторики. Учащиеся должны «открыть» правило умножения, познакомиться с его геометрической моделью – деревом возможных вариантов, выяснить по каким формулам следует находить число возможных выборок, познакомиться с числами [pic] .
Основные теоретико-множественные понятия (множество, элемент множества, подмножество, объединение, пересечение множеств) вводятся в 5 классе в основном для уточнения математического языка, их изучение не является самоцелью. Теоретический материал по теории множеств помогает раскрыть принцип Дирихле, решать некоторые задачи с помощью графов (в которых требуется установить однозначное соответствие между элементами множеств), при решении задач с помощью кругов Эйлера.
Изучению элементов теории графов отводиться значительное место. Пока в учебниках математики новой программы теория графов не нашла своего отражения. Отличаясь простотой теоретических сведений, наглядностью и доступностью, эта теория может с пользой найти отражение на самом раннем этапе обучения школьников. С помощью этой теории можно решать на доступном для школьников уровне ряд достаточно сложных задач. Главная цель научить учащихся видеть граф в условии задачи и грамотно перевести это условие на язык теории графов. Необходимо ввести понятие графа, цикла, дерева, ориентированного графа, уникурсальной кривой, научить школьников правильно применять теорему о четности нечетных вершин графа, определять является граф эйлеровым или гамильтоновым.
[pic]
5. Игры.
В программу включена тема «Выигрышные стратегии». Наличие стратегий в некоторых играх и задачах, сводящихся к играм, часто является неожиданностью для учащихся. На занятиях по этой теме целесообразно не только знакомить учащихся с математическими идеями, лежащими в основе решения задач на выигрышные стратегии, но и воспитывать у них уважение к партнеру и учить корректному поведению в проигрышных ситуациях, особенно, если проигрыш не по собственной глупости, а из-за наличия выигрышной стратегии у партнера. Вместе с тем эти задачи весьма содержательны и при изложении их решений от учащихся требуется высокий уровень строгости изложения, т. к. необходимо грамотно сформулировать стратегию и доказать что она действительно исчерпывает все варианты игры.
6. Геометрические задачи.
В спецкурсе большое внимание уделяется геометрическим задачам. По существу, каждая геометрическая задача является нестандартной: в каждой надо придумать, какие сделать дополнительные построения, какими воспользоваться формулами, теоремами, «не просматривается» алгоритм решения. В 5-ых – 8-ых классах отдается предпочтение наблюдению и опыту. Это направлено на предоставление учащимся возможность извлечь из ситуации очевидные закономерности, геометрические факты, идеи доказательства и т.д.
Обучение доказательству в данном курсе должно включать в себя формирование потребности в логическом обосновании утверждений, умения осуществлять дедуктивные выводы и цепочки логических шагов, обучение логическим действиям и эвристическим приемам, самостоятельному разбору готовых доказательств, открытию фактов, самостоятельному поиску и выполнению доказательства, умению использовать методы научного познания и, наконец, умению опровергать предложенные доказательства.
