Практическая работа
Тема: Применение различных методов решения систем линейных уравнений с двумя переменными, с тремя неизвестными.
Цель: обобщить знания учащихся по методам решения систем линейных уравнений с двумя переменными: графический, метод подстановки, метод алгебраического сложения, применение определителей к решению систем. Расширить, систематизировать, закрепить знания учащихся о решении систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Теоретическая часть: 1. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. Метод подстановки заключается в следующем:
Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражено через х (или х через у).
Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.
Находят корни этого уравнения.
Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующее значение х (или у).
Пример. Решить систему уравнений
Решение: 1) Из первого уравнения находим выражение х через данные числа и неизвестное у:
х =
2) Подставляем это выражение во второе уравнение:
5
3) Решаем полученное уравнение:
5(46+3у)+48у=104, 230+15у+48у=104,
15у+48у=104-230, 63у=-126, у=-2.
Найденное значение у=-2 подставляем в выражение х =;
получаем: х=
Ответ: (5;-2).
2. Решение систем двух уравнений с двумя неизвестными методом сложения. Метод сложения состоит в следующем:
1) Обе части одного уравнения умножаются на некоторый множитель; обе части другого уравнения умножаются на другой множитель. Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных в обоих уравнениях после их умножения на эти множители имели одну и ту же абсолютную величину.
2) Складываем два уравнения или вычитаем их друг из друга; этим одно из неизвестных исключается.
3) Решаем полученное уравнение с одним неизвестным.
4) Подставляем полученное значение первого неизвестного в любое из данных уравнений и находим второе неизвестное.
Пример. Решить систему уравнений
Проще всего уравнять абсолютные величины коэффициентов при у; обе части первого уравнения умножим на 2; обе части второго –на 1, т.е. оставляем второе уравнение неизменным:
21х =105
3) Решаем полученное уравнение:
х =
4) Подставляем значение х=5 в первое уравнение;
имеем:
40-3у=46; -3у=46-40; -3у=6; у=-2.
Ответ: (5;-2).
3. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. Для того, чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.
Пример. Решить графически систему линейных уравнений
Решение:1) Выразим переменную у из первого и второго уравнений
у = и у = 2х – 8
2) Построим график уравнения у =
- х
1
3
у
1
-2
Также строим график уравнения у = 2х – 8
- х
0
4
у
-8
0
Полученные прямые не параллельны,
их пересечением является точка М(3;-2).
Ответ: М(3;-2)
4. Применение определителей к решению систем двух уравнений с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными
Определителем второго порядка, составленным из чисел a11,a12, a21, a22 называется число, определяемое равенством
a11,a22 – элементы главной диагонали
a21, a12 – элементы побочной диагонали
Формулы Крамера:;
Пример: Решить систему уравнений
Решение:
Найдем определитель
Найдем определители
Примененим формулы Крамера
Ответ: (2;3)
5. Применение формул Крамера к решению систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Система трех линейных уравнений с тремя переменными имеет вид:
Определитель третьего порядка можно вычислить методом разложения по элементам первой строки:
Формулы Крамера:;, где
, ,
Определитель третьего порядка можно вычислить также так:
=а11а22а33 + а21а32а13 + а12а23а31 – а13а22а31 – а12а21а33 – а11а23а32
При вычислении определителя третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правило Сарруса). Это правило проиллюстрировано на схеме:
«+» «-»
[pic] [pic]
Пример: Решить систему уравнений
Решение: вычислим определители:
Итак, по формулам Крамера имеем:
;
Ответ: (2; –1; 3)
6. Решение систем уравнений методом Гаусса.
Численность решений линейных алгебраических уравнений с помощью определителей удобно производить для систем 2-х и 3-х уравнений. В случае же большего числа уравнений гораздо выгоднее пользоваться методом Гаусса, который заключается в последовательном исключении неизвестных.
Метод Гаусса состоит в том, что систему уравнений приводят к эквивалентной ей треугольной системе. Это действие называют прямым ходом. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подставок (обратный ход).
При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:
умножение и деление коэффициентов на одно и то же число
сложение и вычитание уравнений
перестановку уравнений системы
исключение из системы уравнений, в которых все свободные члены и коэффициенты при неизвестных равны 0.
Пример: Решите систему методом Гаусса
Решение:
Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов и введем так, называемый контрольный столбец, каждым элементом которого является сумма четырех элементов данной строки
Поменяем 1-ую и 2-ую строку местами
Умножим 1-ую строку на 3, вычтем ее из 2-ой, затем, умножая 1-ую строку на 4, вычтем ее из 3-ей
Изменим знаки во 2-ой строке
Умножим 2-ую строку на 5 и сложим с 3-ей
Разделим 3-ю строку на (-11)
Используя полученную матрицу, преобразуем систему и получим решение
Ответ: (–1; 3; 2)
Задания для самостоятельного решения:
Вариант-1.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решить системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится: а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится: а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-2.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-3.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-4.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-5.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-6.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-7.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-8.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-9.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Вариант-10.
Решить системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
а) способом подстановки:
б) способом сложения:
в) графическим способом:
г) по формулам Крамера:
Решитьсистемы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
а) по формулам Крамера:
б) методом Гаусса:
Оценивание заданий:
Оценка "5" ставится:
а) работа выполнена полностью и без ошибок;
б) количество недочетов в такой работе не должно превышать двух.
Оценка "4" ставится:
а) работа выполнена полностью, но содержит не более 3-4 недочетов;
б) из всех предложенных заданий не выполнено одно задание;
в) содержит одну грубую ошибку.
Оценка "3" ставится:
а) выполнено верно половина из всех предложенных заданий
б) работа содержит не более 5-7 недочетов.
Оценка "2"
Оценка "2" ставится во всех остальных случаях.
Основные учебные издания:
Книги одного автора:
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебн. пособие для ссузов.-3-е изд. стер. - М.: Дрофа,2006.-204с.
Богомолов Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учебное пособие для ссузов.-М.: Дрофа,2005.-236с.
Стойлова Л.П. Математика: уч. Пособие для студ. Высш. учеб. заведений.-3-е изд., стер. - М: Издательский центр «Академия»,2005.-432с.
Филимонова Е.В.Математика для средних спец. уч.заведений.: учебное пособие.-Изд.4-е,доп.и перераб .-Ростов н/Д:.Феникс,2008.-414с.
Книги двух авторов:
Лисичкин В.Т. ,Соловейчик И.П. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие.3-е изд., стер. - СПб.:Идательство «Лань»,2011.-464с.
Книги трех авторов:
Подольский В.А. Сборник задач по математике: учебное пособие / Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С.-3-е изд., стер.- М.: Высш. Шк.2005.-495с.
