Дюртюлинский филиал
Федерального государственного образовательного учреждения
среднего профессионального образования
«Октябрьский нефтяной колледж им. С. И. Кувыкина»
Методическая разработка
открытого урока
по дисциплине «Математика».
Тема урока:
«Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами»
для специальности:
151031 «Монтаж и техническая эксплуатация
промышленного оборудования (по отраслям)».
Преподаватель
естественнонаучных дисциплин
Хаматова Ф.М.
Дюртюли -2013г.
Дата проведения: 26.10.2013 года
Группа: 2МД-10
Урок №14
Тема: «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами».
Цели урока:
Образовательные:
формирование учебно-познавательной компетенции;
сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами;
научить составлять характеристическое уравнение;
показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения;
закрепить решением примеров три случая нахождения общего решения дифференциального уравнения;
Развивающие:
способствовать развитию памяти, пространственного воображения;
развивать познавательные интересы через применение информационных технологий.
развивать наблюдательность, самостоятельность, мышление студентов посредством логических учебных действий.
Воспитательные:
Тип урока: урок изучения нового материала.
Комплексно-методическое обеспечение: мультимедийный проектор с экраном, ноутбук, штатив, листы контроля, раздаточный материал,
презентация проекта в Power Point.
Методы обучения:
словесные;
наглядные;
практические.
Использование инновационных технологий:
технология дифференцированного обучения;
проблемное обучение;
личностно-ориентированное обучение;
информационные технологии;
блочно-модульное обучение.
Ход урока.
I.Организационный момент
Цель: обеспечить благоприятную внешнюю обстановку для работы на уроке, создать атмосферу делового общения, обеспечить психологическую подготовку студентов к работе.
Проверка подготовленности студентов и кабинета к уроку, выявление отсутствующих, организация внимания студентов.
(На доске и в тетрадях запись даты и темы)
II. Постановка целей. Мотивация учащихся.
1.Сформулировать определение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами; научить составлять характеристическое уравнение;
показать, что общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней характеристического уравнения;
закрепить решением примеров три случая нахождения общего решения дифференциального уравнения.
2. Способствовать развитию памяти, пространственного воображения, алгоритмической культуры; развивать познавательные интересы через применение информационных технологий; развивать наблюдательность, самостоятельность, мышление студентов посредством логических учебных действий.
3.Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитывать адаптивность к современным условиям обучения.
А сейчас предлагаю определиться с вашими целями.
Перед каждым из вас на партах разложены листы контроля.
Лист самоконтроля.
Ф.И. студента
Задания
Количество баллов,
которые возможно набрать(0-36)
Мое участие на уроке
1
Вспомним определения
0-5
2
Тестирование
0-5
3
Изучение нового материала
0-7
4
Решение ключевых примеров
0-7
5
Закрепление
0-5
6
Задание« Найди и исправь ошибку»
0-2
7
Самостоятельное решение примеров
0-1
8
Рефлексия учебной деятельности
0-4
Общее количество баллов, набранных за урок
Напишите, пожалуйста, фамилию и имя. Наш урок состоит из нескольких этапов. После прохождения каждого этапа вы будете получать определенное количество баллов. Суммируя их, при подведении итогов сегодняшнего занятия, вы можете получить следующие отметки:
«5»:24-36 баллов.
«4»:18-23баллов.
«3»:9-17баллов.
Итак, ребята в добрый путь!
III. Актуализация опорных знаний.
Какое уравнение называется дифференциальным? (на экране).
Ответ: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные или дифференциалы (на экране).
Что называется порядком дифференциального уравнения? (на экране).
Ответ: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Что называется решением дифференциального уравнения? (на экране)
Ответ: Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Какое решение называется общим решением дифференциального уравнения? (на экране)
Ответ: Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Какое решение называется частным решением? (на экране)
Ответ: Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
1.Термин «дифференциальное уравнение» ввел: (на экране)
А) Г. Лейбниц(17 век);
Б) Ж.Лагранж(18 век);
В) П.Лаплас(18 век);
Г) Л.Эйлер(18век).
2. Определите порядок дифференциального уравнения: (на экране)
[pic]
А) первого порядка;
Б) второго порядка;
В) третьего порядка;
Г) четвертого поря
3. К какому типу относятся дифференциальные уравнения? (на экране)
[pic]
А) линейное дифференциальное уравнение первого порядка;
Б) уравнение Бернулли;
В) первого порядка с разделяющимися переменными
Г) неполное уравнение второго порядка.
4.Вычислите производную функции: [pic] . (на экране)
А) [pic]
Б) [pic]
В) [pic]
Г) [pic]
5.В каком из двух дифференциальных уравнении можно найти
частное решение: (на экране)
1. [pic] при х=-2;
2. [pic]
А) в первом и во втором;
Б) в первом;
В) во втором;
Г) нет правильного ответа.
Обменяйтесь тетрадями. Сверьтесь с правильными ответами на экране. Отметьте в тетрадях соседа верно выполненные задания теста знаком «+», а неверно выполненные задания со знаком «-»
[pic]
IV. Изучение нового материала.
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Эпиграф (на экране) Числа не управляют миром, но они
показывают, как управляется мир.
И.Гете.
Не будем спорить – будем вычислять.
Г.Лейбниц.
(Студентам рассказываю сферу применения дифференциальных уравнений, тем самым, разъясняя выбор эпиграфов урока).
Прежде чем дать определение нового вида дифференциального уравнения, раскроем подробно его название(с привлечением студентов):
1)дифференциальное уравнение (по определению) обязательно содержит производные или дифференциалы искомой функции;
2)уравнение второго порядка содержит производную, наивысший порядок которой равен 2;
3)это- уравнение линейное относительно искомой функции, ее производных, т. е. содержит их в первой степени;
4) это- уравнение с постоянными коэффициентами; значит, коэффициенты при функции, ее производных являются постоянными величинами.
Учитывая все это, можно сказать, что рассматриваемое уравнение содержит [pic] в первой степени и коэффициенты при них - постоянные величины.
Определение: (на экране)
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с
постоянными коэффициентами называется уравнение вида
[pic] [pic] [pic]
где [pic] - постоянные величины.
Формула (А) может быть записана и так:
[pic] (B)
Для отыскания общего решения данного уравнения составляется характеристическое уравнение:
[pic]
Это уравнение получается из первоначального уравнения путем замены производных искомой функции, соответствующими степенями [pic] и сама функция заменяется единицей. Тогда общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней:
[pic]
Возможны три случая: (на экране)
I случай: [pic] и [pic] - действительные корни и различные, тогда общее решение примет вид:
[pic] (1)
II случай: [pic] -действительные и равные, тогда общее решение
примет вид:
[pic] (2)
III случай: [pic] и [pic] - комплексные числа, а именно [pic] [pic] тогда общее решение имеет вид:
[pic] (3)
[pic] V.Решение ключевых задач.
[pic] Найти общее решение следующих дифференциальных уравнений.
Пример 1. [pic]
(Решаю и объясняю, потом на экране высвечивается полное оформление)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
[pic] [pic]
[pic] [pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:
[pic]
Ответ: [pic]
Пример 2. [pic]
(Студент вычисляет корни характеристического уравнения, сообща приходим к общему решению)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
[pic]
[pic] [pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
[pic]
Ответ: [pic]
Пример 3. [pic] .
(Решаю и объясняю,)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
[pic]
Ответ: [pic]
Пример 4 . [pic]
(Решаю и объясняю)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
Это третий случай, где [pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
[pic]
Ответ: [pic]
Пример5.Найти частное решение дифференциального уравнения [pic] , если у(0)=1 и [pic] .
(Решаю и объясняю с привлечением студентов)
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
[pic]
Так как заданы начальные условия, то:
[pic]
Чтобы найти значение [pic] , дифференцируем общее решение.
[pic]
[pic]
Таким образом, искомое частное решение имеет вид
[pic]
Ответ: [pic]
[pic] VI. Закрепление изученной темы.
Решите уравнение:
№50(1) (студент решает у доски)
1) [pic]
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(1), имеет вид:
[pic] [pic]
Ответ: [pic]
№51(2) –студент решает у доски
2) [pic]
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
Это третий случай, где [pic] [pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(3), имеет вид:
[pic]
Ответ: [pic]
[pic]
VII. Задание «Найди и исправь ошибку»:
[pic] [pic]
[pic]
VIII.Примеры для самостоятельного решения
Все решают №54(1),нескольким студентам - индивидуальные задания.
№54(1)
[pic]
Решение:
Составим характеристическое уравнение:
[pic]
Общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле(2), имеет вид:
[pic]
Ответ: [pic]
[pic]
IX. Рефлексия учебной деятельности.
1. Дать определение линейного однородного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами.
2. Как решается данный вид уравнения?
3. Сколько корней может иметь характеристическое уравнение?
4.Сколько случаев нахождения общего решения дифференциального уравнения вы знаете?
[pic]
X. Домашнее задание и актуализация темы следующего урока.
Цель: обеспечить понимание способов выполнения домашнего задания и актуальности следующей темы.
10.1. На следующем уроке будет практическое занятия по теме «Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами ».
10.2 Задание на дом: § 5 по учебнику Н.В.Богомолова; № 50 (2,3);
51 (1,3);изучить решение ключевого примера №5
[pic]
XI. Подведение итогов урока по листам контроля.
Сводная таблица для выставления баллов заготовлена на оборотной стороне доски.
Все слайды находятся в презентации.
