Контрольная работа № 8 по теме «Отыскание наибольшего и наименьшего значений» (2 ЧАСА)

Контрольная работа № 8 (2 часа)

Цели: выявление знаний учащихся, проверка степени усвоения ими изученного материала; развитие навыков самостоятельной работы.

Вариант 1

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а) [pic] на отрезке [0; 1];

б) [pic] на отрезке [–; 0].

2. Найдите диагональ прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см и имеющего с ним общий прямой угол.

3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение [pic] имеет три корня?

Вариант 2

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а) [pic] на отрезке [–2; 1];

б) [pic] на отрезке [pic]

2. В прямоугольном треугольнике с катетами 36 и 48 на гипотенузе взята точка. Из неё проведены прямые, параллельные катетам. Получился прямоугольник, вписанный в данный треугольник. Где на гипотенузе надо взять точку, чтобы площадь такого прямоугольника была наибольшей?

3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение [pic] имеет два корня?

Вариант 3

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а) [pic] на отрезке [0; 3];

б) [pic] на отрезке [pic]

2. Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 15 см. Каковы должны быть их длины, чтобы гипотенуза треугольника была наименьшей?

3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение [pic] имеет менее трех корней?

Вариант 4

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции.

а) [pic] на отрезке [–2; 2];

б) [pic] на отрезке [pic]

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Какими должны быть его стороны, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

3. Исследуйте функцию [pic] на монотонность и экстремумы.

4. При каких значениях параметра а уравнение [pic] имеет более одного корня?

Решение вариантов контрольной работы

Вариант 1

1. а) [pic] [0; 1]

[pic]

у (0) = 10

[pic]

Ответ: [pic]

б) [pic] [–; 0].

[pic]

Ответ: [pic]

2. [pic]

Пусть дан прямоугольный [pic] , в котором [pic] АВ = 18, АС = 24. Пусть AKMN – прямоугольник, вписанный в [pic] .

1) Оптимизируемая величина – площадь прямоугольника AKMN. Обозначим её буквой S.

Пусть KM = х, тогда NС = 24 – х. Треугольники АВС и NMС подобны. Составим пропорцию:

[pic]

Откуда [pic]

Выразим площадь прямоугольника AKMN:

[pic]

2) [pic]

Найдем производную полученной функции:

[pic]

х = 12

[pic]

3) При х = 12 функция достигает наибольшего значения. Найдем стороны прямоугольника AKMN:

[pic]

По теореме Пифагора найдем диагональ прямоугольника:

[pic]

Ответ: 15 см.

3. [pic]

1) Если [pic] то [pic]

Если [pic] то [pic]

Получим: [pic]

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

[pic]

3) [pic]

[pic]

4. [pic] – 3 корня.

Решим это уравнение графически. Построим график функции [pic]

[pic]

Прямая у = а будет пересекать график этой функции в трёх точках, если [pic]

Ответ: [pic]

Вариант 2

1. а) [pic] [–2; 1]

[pic]

[pic] или х + 1 = 0

х = 0 х = –1

[pic]

Ответ: [pic]

б) [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

2. [pic]

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, в котором [pic] [pic] Пусть AKMT – прямоугольник, вписанный в  АВС.

1) Оптимизируемая величина – площадь прямоугольника AKMT. Обозначим её буквой S.

Пусть KM = х, тогда ТС = 48 – х. Треугольники АВС и СТМ подобны. Составим пропорцию:

[pic]

Находим, что [pic]

Выразим площадь прямоугольника AKMT:

[pic]

2) [pic]

Найдем производную полученной функции:

[pic]

х = 24

[pic]

3) При х = 24 функция принимает наибольшее значение. Значит, KM = 24 см. Это говорит о том, что точку М нужно взять на середине гипотенузы.

Ответ: на середине.

[pic]

1) Если [pic] то [pic]

Если [pic] то [pic]

Получим: [pic]

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

[pic]

[pic] функция монотонно возрастает

[pic]

3) [pic]

[pic]

4. [pic] , два корня.

Построим график функции [pic]

[pic]

Прямая у = а будет пересекать график этой функции ровно в двух точках, если [pic] или [pic]

Ответ: [pic]

Вариант 3

1. а) [pic] , [0; 3]

[pic]

[pic] или [pic]

х = 0 [pic]

0; 2  [0; 3]

[pic]

Ответ: [pic]

б) [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

2. [pic]

Пусть дан прямоугольный  АВС, в котором [pic] и

АВ + АС = 15.

1) Оптимизируемая величина – гипотенуза  АВС, обозначим её буквой с.

Пусть один из катетов равен х см, тогда второй катет равен (15 – х) см.

Выразим гипотенузу треугольника:

[pic]

2) Найдем производную полученной функции:

[pic]

3) При х = 7,5 функция достигает наименьшего значения. Значит, катеты должны быть равны по 7,5 см.

Ответ: 7,5 см и 7,5 см.

3. [pic]

1) Если [pic] то [pic]

Если [pic] то [pic]

Получим: [pic]

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

[pic]

3) [pic]

[pic]

4. [pic] , менее трех корней.

Построим график функции [pic]

[pic]

Прямая у = а будет пересекать график этой функции менее чем в трех точках, если [pic]

Ответ: [pic]

Вариант 4

1. а) [pic] , [–2; 2]

[pic]

Ответ: [pic]

б) [pic]

[pic]

[pic] или [pic]

[pic]

Ответ: [pic]

2. [pic]

Пусть дан  АВС, в котором АВ = ВС и периметр которого равен 18.

1) Оптимизируемая величина – площадь треугольника. Обозначим её буквой S.

Пусть АВ = ВС = х см, тогда [pic] см и [pic] см. Из  СНВ найдём ВН:

[pic]

Выразим площадь  АВС:

[pic]

2) Найдём производную полученной функции:

[pic] [pic]

[pic]

3) При х = 6 функция принимает наибольшее значение. Значит, стороны треугольника должны быть равны по 6 см, то есть  АВС – равносторонний.

Ответ: 6 см, 6 см, 6 см.

3. [pic]

1) Если [pic] то [pic]

Если [pic] то [pic]

Получим: [pic]

2) х = 0 – критическая точка.

Найдем стационарные точки:

[pic]

3) [pic]

[pic]

4. [pic] , более одного корня.

Построим график функции [pic]

[pic]

Прямая у = а будет пересекать график этой функции более чем в одной точке, если [pic]

Ответ: [pic]