Исследовательская работа на тему Математика в кубиках

Башня рубика

Головоломка-трансформер с формулой 2х2х4 - крутится во всех плоскостях, по принципу кубика Рубика, но с гораздо более сложным и необычным механизмом! Впервые появилась в Японии и сразу же была с восторгом встречена любителями головоломок и необычных вещей во всем мире. Помимо классической задачи собрать игрушку по цветам, существует возможность упростить задачу и просто создавать причудливые формы.
[pic]

5.Применение.

5.1.Модель оригами.

Оригами — древнее искусство складывания

из бумаги различных фигурок. С детства нам знакомы бумажные

лодочки и самолетики, из газет мы мастерили шляпы и кепки, за-

щищающие голову от солнечных лучей, – все это можно считать

оригами.

При складывании сложных фигур процесс превращается в на-

стоящую загадку. Примером такой конструкции является бумаж-

ная модель, напоминающая популярную головоломку — кубик

Рубика.

Изготовили ее пятиклассники средней школы № 7 донской ста-

ницы Егорлыкская под руководством учителя черчения Н.В. Чер-

никовой на занятиях кружка «Умелые руки». На выставочном

стенде кружка много красивых фигур оригами. Познакомившись

с этой коллекцией, я предложил им сделать оригами «Кубик Руби-

ка». Вот что у них получилось.

Фигуры классического оригами складываются из квадратного

листа бумаги с помощью изгибов-перегибов, без клея и разрезов

бумаги. Одной из разновидностей оригами является модульное

оригами. Фигуры модульного оригами собираются из заранее под-

готовленных одинаковых частей-модулей, которые вставляются

друг в друга и не распадаются, удерживаясь за счет трения.

Оригами «Кубик Рубика» сделан именно в этой технике. Каж-

дый модуль складывается по правилам классического оригами из

одного квадратного листа бумаги. Как изготовить модуль, показа-

но ниже на четырех фото. Квадратный лист двумя перегибами во-

внутрь делится на три равные части (фото 2), затем обе крайние

части заготовки внешним перегибанием делятся пополам (фото 3).

Полученная фигура двумя перегибами поперек снова делится на

три равные части, концы заготовки заворачиваются вовнутрь.

Получился П-образный модуль, назовем его «скобкой» (фото

4). Скобка содержит два кармана и имеет две ножки. Для нашей

головоломки нужно подготовить 162 таких модуля: 108 из белой

бумаги и 54 из цветной бумаги, по 9 штук каждого из шести цветов

граней кубика Рубика.

[pic]

Далее нужно изготовить 27 кубиков. Каждый кубик складыва-

ется из шести модулей-скобок. Подробно описывать не стану, ска-

жу лишь, что ножки каждого модуля вставляются в карманы двух

5.2. арифметика

на кубиках

Ведущий рубрики — Николай иванович авилов —

на фоне своей коллекции головоломок

Перед вами головоломка «Арифметика на

кубиках». Фабричный вариант головоломки из красных кубиков

выпускался в Советском Союзе в 80-х годах прошлого века. Из бе-

лых кубиков представлен самодельный вариант.

Эту простую в изготовлении и вместе с тем интересную комби-

наторную головоломку я обнаружил в книге «В мире головоло-

мок», которую издал Владимир Павлович Жуков.

Головоломка состоит из пяти кубиков: три кубика с числами

(1, 2, 3 и 4), обозначенными точками; один кубик со знаками дей-

ствий («+», «–», «Ч» и «:») и один кубик с четырьмя знаками «=».

Две противоположные грани каждого кубика не имеют символов:

через центры этих граней просверлены сквозные отверстия. Куби-

ки насажены на общую ось и могут вращаться на ней, кроме того,

кубики с числами можно менять местами. Задача играющего: пу-

тем вращения и перестановок кубиков сложить параллелепипед

1 Ч 1 Ч 5 так, чтобы на каждой его боковой грани получить верное

числовое равенство. Нетрудно посчитать, что головоломка имеет

83ж6 = 3072 состояний и только два из них дают по четыре верных

равенства. Кто придумал эту головоломку, мне неизвестно.

Конечно, сейчас не купить такую головоломку, но ее можно сде-

лать самому. Для этого запаситесь пятью кубиками и просверлите

в каждом из них сквозное отверстие через центры противополож-

ных граней. Далее кубики можно насадить на проволочную или

деревянную ось, а лучше подготовить две короткие оси и насадить

на одну из них кубик со знаками действий, на другую — кубик

со знаками «=» так, чтобы ось выглядывала из каждого кубика.

Тогда проще будет соединять кубики в параллелепипед и манипу-

лировать кубиками, переставляя их с одной позиции на другую,

и вместе с тем легко вращать каждый кубик, подбирая нужную

комбинацию чисел и знаков. Символы нужно нарисовать соглас-

но предложенной схеме.

Скажу несколько слов об авторе сборника головоломок. Влади-

мир Павлович Жуков живет в подмосковном городе Истра. В его

коллекции более тысячи головоломок, которые он не «держит под

замком», а непременно предлагает своим гостям познакомиться с

этими умными игрушками.

В основу его книги положены фотографии и описание голово-

ломок из его коллекции, а также заметки из газет и журналов со-

ветского времени, публиковавших материалы о головоломках.

Книга объемом 358 страниц формата А4 была издана в 1993 году

сразу после распада СССР и представляет собой фактически энци-

клопедию головоломок, выпускавшихся в Советском Союзе.

Книга уникальна во многом, в том числе и тиражом. Автор са-

мостоятельно изготовил 99 экземпляров этой удивительной кни-

ги. Понятно, что она является библиографической редкостью.

Я очень рад, что один экземпляр этой книги подарен мне ав-

тором. [pic]

5.3.задачи с кубом

  [pic]

Рисунок 34.

Задача № 28. Все грани кубика окрашены в разные цвета, причем каждая грань окрашена одним цветом. Если на этот кубик смотреть с одной стороны, то видны голубая, желтая и белая грани. С другой стороны видны черная, голубая и красная грани. С третьей стороны видны зеленая, черная и белая грани. Какая грань расположена против белой?

Ответ. Против белой грани расположена красная грань.

Задача № 29. Сколько кубиков использовано для построения башни (рис. 35)?

  [pic]

Рисунок 35.

Ответ. а) 28; б) 44.

Задача № 30. Сколько кубиков нужно, чтобы сложить такую фигуру (рис. 36)?

Ответ. 106 кубиков.

  [pic]

Рисунок 36.

Задача № 31. На рис. 37а изображены четыре куба. Они окрашены по-разному, но при этом у каждого из них противоположные грани имеют одинаковый цвет. Из этих кубиков построили фигуры "пьедестал" и потом параллелепипед. Строили так, чтобы соприкасающиеся грани кубиков были одинакового цвета. Закончите раскраску фигур на рис. 37б,в и укажите номера кубиков.

  [pic]

Рисунок 37.

Ответ. Рис. 38.

[pic]

Рисунок 38.

Задача № 32. Путешествие мухи. Муха, отправляясь из точки А, может обойти четыре стороны основания куба за 4 мин. За какое время она доберется из А в противоположную вершину В (рис. 39а).

  [pic]

Рисунок 39.

Ответ. Умная муха избрала бы путь, отмеченный на рис. 39б сплошной линией, на его преодоление уйдет 2,236 мин. Путь, отмеченный пунктирной линией, длиннее, и на него уйдет больше времени.

Задача № 33. Большой кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нем просверлили 6 сквозных отверстий, параллельных ребрам (рис. 40). Сколько маленьких кубиков осталось не поврежденными?

  [pic]

Рисунок 40.

Ответ. 44 кубика.

Задача № 34. У меня есть кусок сыра в форме куба. Как мне следует провести один прямой разрез ножом, чтобы две новые грани оказались правильными шестиугольниками? Разумеется, если мы разрежем сыр в направлении пунктирной линии на рис. 41а, то получим два квадрата. Попробуйте получить шестиугольники.

Ответ. Отметьте середины ребер BC, CH, HE, EF, FG и GB. Затем, начиная сверху, проведите разрез вдоль плоскости, обозначенной пунктирной линией (рис. 41б). Тогда каждая из двух новых поверхностей окажется правильным шестиугольником, а правый кусок будет выглядеть примерно так, как показано на рис. 41в.

[pic]

Рисунок 41.

Задача № 35. Рекламное агентство направило эти рисунки заказчику - производителю упаковки. Ему предложили решить, какой цвет должен быть на той стороне упаковки, которая находится напротив желтой стороны на рис. 42 В. На следующий день заказчик позвонил. Какой вопрос он задал?

  [pic]

Рисунок 42.

Ответ. Он спросил: "Здесь ошибка или вы намеренно повторили желтый цвет?" Полная схема изображена на рис. 43.

[pic]

Рисунок 43.

Задача № 36. На этих архитектурных макетах каждый куб является отдельной квартирой (рис. 44). Контракт на строительство достанется тому архитектору, на макете которого больше квартир. Какой из макетов отвечает этому требованию?

  [pic]

Рисунок 44.

Ответ. Этому требованию отвечает макет здания А; в этом здании 80 квартир, а в здании Б - всего 79.

Задача № 37. Стала классической легенда, связанная с задачей об удвоении поверхности куба. Филопон рассказывает, как афиняне, напуганные эпидемией чумы 432 г. до н. э., обратились за советом к Платону. Но прежде чем прийти к великому философу, они воззвали к Аполлону, который устами Дельфийского оракула повелел им вдвое увеличить размеры золотого алтаря в своем храме. Однако афиняне оказались неспособными это сделать. Платон сказал, что несчастье постигло их из-за злостного пренебрежения возвышенной наукой геометрией, и посетовал, что среди них не нашлось ни одного человека, достаточно мудрого, чтобы решить эту задачу.

Задача Дельфийского оракула, где речь идет просто об удвоении куба, так тесно связана с задачей о кубах Платона, что не слишком искушенные в математике авторы их часто путают. Последнюю задачу называют также задачей о геометрических числах Платона, утверждая обычно, что об истинных ее условиях почти ничего не известно. Некоторые считают, даже, что ее условия утеряны.

Существует древнее описание массивного куба, воздвигнутого в центре выложенной плитами площадки, и не требуется большого воображения, чтобы связать этот монумент с задачей Платона. На рисунке 45 вы видите Платона, созерцающего такой массивный мраморный куб, который сложен из некоторого числа меньших кубов. Монумент возвышается в центре квадратной площадки, выложенной такими же малыми мраморными кубами.

  [pic]

Рисунок 45.

Число кубов в площадке и в монументе одинаково. Скажите, сколько кубов требуется, чтобы построить монумент и квадратную площадку, и вы решите великую задачу о геометрических числах Платона.

Ответ. В задаче нужно найти число, которое, будучи возведенным в куб, даст точный квадрат. Так происходит, оказывается, с любым числом, которое само является квадратом. Наименьший квадрат (если не считать 1) равен 4, так что монумент мог содержать 64 малых куба (4 * 4 * 4) и стоять в центре квадрата 8 * 8. Конечно, это не согласуется с пропорциями, приведенными на рисунке. Поэтому мы испробуем следующий квадрат, 9, что приводит к монументу из 729 кубов, стоящему на квадрате 27 * 27. Это и есть правильный ответ, ибо только он согласуется с рисунком.

Задача № 38. На Востоке искусство смешивания различных сортов чая не пренебрегает миллионными долями унции! Говорят, секреты некоторых смесей сохранялись в глубокой тайне и веками их не удавалось повторить.

Дабы проиллюстрировать, сколь сложно проникнуть в тайну искусства смешивания чая, мы предлагаем вашему вниманию одну простую задачу, где смешиваются только два сорта.

Составитель смесей получил два ящика чая. Оба они были кубической формы, но имели разные размеры. В большем ящике находился черный чай, а в меньшем - зеленый. Смешав содержимое этих ящиков, человек обнаружил, что полученной смесью удалось заполнить ровно 22 коробки кубической формы и одинакового размера. Допустим, что внутренние размеры коробок выражаются конечной десятичной дробью. Сумеете ли вы определить, в какой пропорции в данную смесь входили черный и зеленый чай? Другими словами, найдите два различных рациональных числа, таких, чтобы при сложении их кубов получился результат, который после деления на 22 и последующего извлечения кубического корня привел бы тоже к рациональному числу.

Ответ. У куба с ребром в 17, 299 дюйма и у куба с ребром в 25,469 дюйма суммарный объем (21697,794418608 кубического дюйма) в точности равен суммарному объему 22 кубов с ребром в 9, 954 дюйма каждый. Следовательно, зеленый и черный чай были смешаны в пропорции (17299)³ к (25469)³.

Куб размером 1 м3 распи-лили на кубические сантиметры и выложили в цепочку. Какой она длины?

[pic]

Игральные кубики имеют важное значение в жизни маленького ребенка. Но их роль не снижается и в период обучения в школе, в частности, при изучении математики. Надо всегда помнить, что ученик, школьник - это, прежде всего, ребенок. Он, как губка, впитывает всю информацию из окружающего мира. Всегда можно найти ситуации или создать условия, которые смогут послужить толчком к глубоким размышлениям, к творческой и исследовательской деятельности школьника. "Чтобы натолкнуть ребенка на специфические идеи, нужны и специфические средства. Нельзя рассчитывать на то, что одно только наблюдение случайных событий позволит детям открыть вероятностные законы; необходимо вводить элементы соревнования, занятия должны быть увлекательны и возбуждать естественную любознательность ребенка, сталкивать его с действительностью, а также опровергать ложные идеи", - считают Глеман М. и Варга Т. [8, с. 9]. И с ними нельзя не согласиться.

Задачи играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность всю его жизнь. Известный русский методист В.А. Евтушевский так охарактеризовал функции задач в обучении: "Задачи, предлагаемые в классе, заключают в себе живой материал для упражнения мышления ученика, для вывода математических правил и для упражнения в приложении этих правил в решении частных практических вопросов" [16, с. 3].

Представленные занимательные задачи с кубиками разнообразны, так как можно выделить кубики, на гранях которых изображены цифры, буквы, рисунки, цветовая гамма. Такие задачи применимы для детей широкой возрастной категории на различных этапах урока математики, во внеклассной работе. Все они способствуют:

• обучению чтению графической информации, изображения геометрических объектов;

• развитию пространственного воображения;

• формированию умений мысленно представлять различные положения предмета и изменения его положения в зависимости от разных точек отсчета и умения зафиксировать это представление на изображении;

• обучению логическим обоснованиям геометрических фактов;

• развитию конструкторских способностей, моделированию;

• развитию познавательных процессов: восприятия, внимания, памяти, мышления;

• развитию исследовательских навыков.

Занимательные задачи с игральными кубиками привлекут внимание детей и сделают интерес к математике достаточно стойким, помогут овладеть математическими умениями не только сильным ученикам, но и тем, для которых данный школьный предмет является наиболее сложным.

Задачи.

Задача № 1. Занумеруйте 8 вершин кубика порядковыми числами (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) так, чтобы сумма номеров на каждой из шести его граней оказалась одинаковой (рис. 1а).

Ответ. Каждая вершина кубика принадлежит трем граням, поэтому сумму 1 + 2 + : + 8 следует умножить на 3, затем разделить на 6 (на число граней), получится 18 - сумма номеров на каждой грани (рис. 1б).

[pic]

Рисунок 1.

Задача № 2. Можно ли "занумеровать" все ребра целыми числами так, чтобы суммы номеров ребер, сходящихся в каждой вершине, были одинаковыми, если это числа: а) 1; 2; :; 12; б) -6; -5; :; -1; 1; 2; :; 6?

Ответ.

а) Нет. Предположим, что это возможно и сумма номеров ребер, сходящихся в каждой вершине, равна х. Тогда сумма чисел на всех восьми ребрах куба равна 8х. С другой стороны, так как каждый номер вошел в эту сумму дважды, то эта же сумма равна: (1 + 2 + : + 11 + 12) 2 = (1 + 12) 12 = 156. Уравнение 8х = 156 в целых числах решения не имеет, поэтому наше предположение неверно.

б) Да. Сумма номеров ребер, сходящихся в каждой вершине равна 0 (рис. 2).

  [pic]

Рисунок 2.

Задача № 3. На рис. 3 изображена фигура, являющаяся разверткой куба. Тонкие линии - это линии сгиба. Мысленно сверните куб из развертки. Определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань - нижняя.

[pic]  

Рисунок 3.

Ответ. "в".

Задача № 4. На гранях непрозрачного кубика написаны буквы так, как показано на рис. 4а. Кубик подбросили, и он упал так, что одна из букв стала располагаться, как показано на рис. 4б. Нанесите на остальные грани кубика соответствующие буквы (они могут оказаться повернутыми). Проверьте свой ответ с помощью модели куба.

  [pic]

Рисунок 4.

Ответ. Рис. 4в.

Задача № 5. Мысленно сверните куб из каждой развертки данной на рис. 5 и определите, какая грань является верхней, если нижняя грань заштрихована.

Ответ. а) Г, б) Б, в) Д, г) В.

  [pic]

Рисунок 5.

Задача № 6. Все кубики на рис. 6а одинаковы. Перечертите развертку одного из кубиков (рис. 6б) и нанесите не нее недостающие буквы.

  [pic]

Рисунок 6.

Ответ. Рис. 6в.

Задача № 7. Подбросили кубик (рис. 7а) так, что он упал, как показано на рис. 7б заполните пустые видимые грани куба.

Ответ. Рис. 7в.

  [pic]

Рисунок 7.

Задача № 8. В нужном месте лицевой стороны развертки куба запишите в правильном расположении буквы Г и Р (рис. 8).

  [pic]

Рисунок 8.

Ответ. Рис. 9.

  [pic]

Рисунок 9.

Задача № 9. Рассматривая каркас куба сначала спереди (вид А), затем слева (вид В) и, наконец, сверху (вид С), прочитайте слово, образованное жирными линиями (рис. 10).

Ответ. 1) БОР, 2) ЕЛЬ, 3) БЕС.

[pic]

Рисунок 10.

Задача № 10. На рис. 11 изображена фигура, являющаяся разверткой куба (тонкие линии - это линии сгиба). Какие точки совместятся с точкой А при склеивании развертки, изображенной на рисунке?

  [pic]

Рисунок 11.

Ответ. М, H.

Задача № 11. Правильно изобразив сдвинутые между собой три прямоугольные проекции кубиков с буквами, прочтите русскую народную мудрость (рис. 12а).

Ответ. Леность - мать пороков (рис. 12б).

  [pic]

Рисунок 12.

Задача № 12. Из картона склеен кубик, на гранях которого нанесены буквы. На рис. 13а дан один вариант развертки этого кубика с изображением букв на его гранях.

  [pic]

Рисунок 13.

Нанесите буквы на пустые грани другого варианта развертки этого кубика (рис. 13б-г).

Ответ. Рис. 14.

  [pic]

Рисунок 14.

Задача № 13. Если вы догадаетесь, как расположить буквы на кубиках (на передних гранях), то буквы на верхних гранях составят новое слово (рис. 15).

Ответ. KITTEN - MONKEY.

  [pic]

Рисунок 15.

Задача № 14. Из фигур, изображенных на рис. 16, выберите те, которые являются разверстками кубика. Выделите их цветом. Перерисуйте данные изображения, вырежьте их и проверьте свой выбор.

  [pic]

Рисунок 16.

Ответ. "а", "б", "г", "д", "е", "ж".

Задача № 15. Какой из кубиков, изображенных на рисунках 17б-з, можно склеить из разверстки (рис. 17а)?

  [pic]

Рисунок 17.

Ответ. "е".

Задача № 16. На рис. 18 вы видите три детских кубика. Все они повернуты к нам одним и тем же рисунком - елочкой. Укажите, какие картинки мы увидим на каждом из кубиков, взглянув на них сверху, учитывая развертку кубика.

  [pic]

Рисунок 18.

Ответ. а) мяч, б) лист, в) тучка.

Задача № 17. Укажите раскраску граней куба на развертке, изображенной на рис. 19а-б, если на рис. 19в-д куб представлен в трех различных положениях.

  [pic]

Рисунок 19.

Ответ. Рис. 20.

  [pic]

Рисунок 20.

Задача № 18. Грани кубика окрашены так, как показано на рис. 21. Кубик подбросили. Он упал так, что передней гранью стала прозрачная грань. Раскрасьте в соответствующие цвета остальные грани кубика (рис. 21). Рассмотрите всевозможные варианты. Сделайте необходимую развертку. Вырежьте ее и проверьте свой ответ.

  [pic]

Рисунок 21.

Ответ. Рис. 22.

  [pic]

Рисунок 22.

Задача № 19. Из разноцветных кубиков сложили игрушку (рис. 23а). Раскрасьте кубики, если красный находится между синим и желтым, а желтый расположен под зеленым.

  [pic]

Рисунок 23.

Ответ. Рис. 23б.

Задача № 20. Покрасьте максимальное количество вершин куба в красный цвет так, чтобы среди красных вершин нельзя было выбрать три, образующие равносторонний треугольник.

Ответ. Максимальное возможное количество красных вершин равно четырем. Докажем это.

Покрасить четыре вершины возможно. Например, можно покрасить четыре вершины одной грани. В этом случае красные вершины образуют квадрат и среди них нет трех, образующих равносторонний треугольник.

Докажем, что покрасить пять вершин куба, удовлетворяющих условию, невозможно. Покрасим четыре вершины куба в синий цвет, а оставшиеся - в зеленый (рис. 24). Заметим, что между любыми двумя вершинами одного цвета одинаковое расстояние. Пусть мы смогли перекрасить пять вершин в красный цвет. Тогда какие-то три из них были покрашены в один цвет. Следовательно, они и образуют равносторонний треугольник.

  [pic]

Рисунок 24.

Задача № 21. На гранях кубика изображены такие фигуры, как на рис. 25а. Кубик последовательно перекатывают с грани на грань, как показано на рис. 25б. Какие фигуры должны располагаться на верхней и правой боковой гранях последнего изображения кубика?

  [pic]

Рисунок 25.

Ответ. На верхней грани - круг, на правой боковой грани - квадрат.

Задача № 22. Белый куб, ребро которого равно 3 см, окрасили синей краской, а затем распилили на кубики с ребром, длиной 1 см. Сколько среди них имеют одну окрашенную грань, две окрашенные грани, три окрашенные грани? Есть ли куб с неокрашенными гранями?

Ответ. Имеют одну окрашенную грань - 6 кубиков, две окрашенные грани - 12 кубиков, три окрашенные грани - 8 кубиков, куб с неокрашенными гранями - 1 кубик.

Задача № 23. Два куба, противоположные грани которых окрашены в один цвет, соединили вместе разными способами. Некоторые грани кубов забыли раскрасить. Раскрасьте их в соответствующие цвета (рис. 26).

  [pic]

Рисунок 26.

Ответ. Рис. 27.

[pic]  

Рисунок 27.

Задача № 24. После того, как развертка будет сложена в кубик, какой из приведенных ниже кубик получится (рис. 28)? (Не обращайте внимания на расположение рисунков).

Ответ. "г".

  [pic]

Рисунок 28.

Задача № 25. Какой из кубиков склеен из данной развертки (рис. 29)?

Ответ. "А".

  [pic]

Рисунок 29.

Задача № 26. Найдите объединение трех частей куба, стоящих слева от знаков равенства (рис. 30а,б), и нарисуйте его справа от знаков равенства так, как показано на примере (рис. 31).

  [pic]

Рисунок 30.

[pic]

Рисунок 31.

Ответ. Рис. 32.

  [pic]

Рисунок 32.

Задача № 27. Каждая из фигур, изображенных слева от знаков равенства (рис. 33), является объединением двух частей куба, получаемых при его разрезании плоскостью, проходящей через центр. Восстановите эти части, изобразив ответ в виде, аналогичном предыдущему заданию.

  [pic]

Рисунок 33.

Ответ. Рис. 34.

5.4.Задачи с кубиком рубика.

У целого кубика рубика 8 вершин.
Представьте, что у вас кубик китайский, и одна вершина отвалилась.

Сколько вершин осталось у кубика рубика?

Вместо одной вершины станет 7.
Поэтому у кубика рубика останется 8-1+7=14 вершин.

Сколько различных положений может занять кубик Рубика после N шагов? Шагом считаем поворот одной грани на 90 градусов по часовой или против часовой стрелки.

Задача 2. Можно ли нарисовать на поверхности кубика Рубика замкнутый путь, который проходит через каждый квадратик ровно один раз? (через вершины квадратиков путь не проходит).

Представьте себе деревянный куб со сторонами 30 см, вся поверхность которого окрашена в один красный цвет. Вопросы:
1) Сколько потребуется разрезов, чтобы разделить куб на кубики со стороной 10 см?
2) Сколько получится таких кубиков?
3) Сколько кубиков будут иметь по 4 окрашенные грани?
4) Сколько кубиков будут иметь по 3 окрашенные грани?
5) Сколько кубиков будут иметь по 2 окрашенные грани?
6) Сколько кубиков будут иметь по 1 окрашенной грани?
7) Сколько кубиков будет неокрашенными?

Ответ: 1) шесть разрезов;
2) 27 кубиков;
3) ни одного;
4) восемь - столько, сколько вершин у куба;
5) двенадцать - столько, сколько ребер у куба;
6) шесть - столько, сколько граней у куба;
7) один

Куб, поверхность которого окрашена, распилили на 27 одинаковых по размеру кубиков.

Сколько получилось при этом кубиков, окрашенных с трех сторон? С двух сторон? С одной стороны? Сколько кубиков вообще неокрашенных?

Ответ: 9, 12, 6 и 1.

Решение

С трех сторон окрашены кубики, примыкающие к вершинам куба, и только они. Значит, их количество равно 8.

С двух сторон окрашены кубики, примыкающие к серединам ребер и только они. Значит их число равно числу ребер, то есть 12. С одной стороны окрашены лишь центральные кубики каждой из 6 граней, их число равно 6. Наконец, ровно один кубик не окрашен – это внутренний центральный кубик исходного куба.

Кубик рубика с ребром 20 см. разобрали на кубики с ребром 2 см. и выложили в сплошной ряд. Чему равна длина этого ряда?

Пример 6. Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Всего исходов: 6, по числу граней.
Благоприятных: 3 исхода. (2, 4, 6)
Вероятность: 3/6=0,5

Пример 7. Бросаем две игральные кости. Какова вероятность, что в сумме выпадет 10? (округлить до сотых)

Для одного кубика 6 возможных исходов. Значит, для двух, по вышеупомянутому правилу, 6·6=36.
Какие исходы будут благоприятными для того, чтоб в сумме выпало 10?
10 надо разложить на сумму двух чисел от 1 до 6. Это можно сделать двумя способами: 10=6+4 и 10=5+5. Значит, для кубиков возможны варианты:
(6 на первом и 4 на втором)
(4 на первом и 6 на втором)
(5 на первом и 5 на втором)
Итого, 3 варианта. Искомая вероятность: 3/36=1/12=0,08
Ответ: 0,08

*На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 12, во второй - 15. Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 3?

*Тамара кладет свои строительные кубики на весы. (Кубики разного цвета имеют разный вес).

Сначала она кладет красный и голубой кубик с одной стороны, а зеленый и желтый - с другой стороны,

и они находятся в равновесии.

Затем она меняет местами голубой и зеленый, и тогда желтый и голубой вместе становятся тяжелее красного и зеленого.

Окончательно, она установила, что зеленый и голубой вместе тяжелее, чем красный и желтый.

Какой цвет имеет самый тяжелый кубик ?

* Какое число зашифровано?

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

* Все восемь кубиков совершенно одинаковы. Сообразите, как расположить буквы на чертеже развертки кубика, и какие буквы в основании трех нижних кубиков.

[pic]

[pic]

Ответ

В основании трех нижних кубиков расположена буква E

[pic]

Ребро куба равно 4 дм. Мы покрасили каждую грань куба в желтый цвет. [pic]

А затем разрезали куб на 64 маленьких кубика с ребром в 1 дм.

Сколько у нас кубиков :

- без единой окрашенной грани ?
- с одной желтой гранью?
- с тремя желтыми гранями ?

(a) 16; 22; 4.  (b) 4; 28; 12.  (c) 12; 6; 8.  (d) 8; 24; 8. 
В каждом ответе указано количество кубиков : первое число - неокрашенных, второе число - с 1-ой желтой гранью, третье число - с 3-мя желтыми гранями.

Пример 1

Развертка какого кубика приведена слева?
Сложность [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

ответ [pic]

Пример 2

Кубики выведены по парам. Какая из пар правильная?
Сложность [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

ответ [pic]

[pic]

ответ [pic]

Пример 4

Противоположная задача. Есть четыре кубика, все правильные и повернутые на разный угол (причем так, чтобы весь кубик был виден со всех граней). Нужно правильно нарисовать его развертку.
Сложность [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

[pic]

ответ [pic]