Урок геометрии в 11 классе
по теме «Цилиндр» по материалам ЕГЭ.
Урок составила учитель математики МБОУ СОШ №8 г. Каменск - Шахтинского Ростовской области Семиглазова Нина Ильинична.
Цель урока:
научить решать задачи по теме «Цилиндр» по материалам ЕГЭ.
Задачи:
Ход урока.
1.Организационный момент.
2.Страничка из истории математики.
3.Проверка домашнего задания.
4.Решение задач по готовым чертежам.
.
7.Домашнее задание по материалам ЕГЭ.
8.Домашнее задание творческого характера.
1.Организационный момент.
Слайд №1.
[pic]
На экране с помощью проектора появляется первый слайд.
На фоне музыки Клайдермана.
Учитель: Нам надо жить без
самозванства,
Так жить, чтобы в конце
концов
Привлечь к себе любовь
пространства,
Услышать будущего зов.
Б. Пастернак.
Тема нашего урока: «Решение задач по теме «Цилиндр» по материалам ЕГЭ».
Слайд №2.
[pic]
А кто из вас знает: кто изобрёл цилиндр?
2.Страничка из истории математики.
Слайд №3.
[pic]
Учитель: Открытие цилиндра принадлежит великому Архимеду. На своей могильной плите Архимед повелел выгравировать цилиндр и шар – символы его геометрических открытий. Труды Архимеда в астрономии, геометрии, механике велики и многочисленны.
Вам они известны. Но мне хотелось бы вам рассказать об Архимеде- Человеке, Патриоте своей Родины. И сегодня нельзя без восхищения и удивления читать дошедшие до нас строки Плутарха, рассказывающие об осаде Сиракуз римским полководцем Марцеллом. Десятки сконструированных Архимедом катапульт всех «калибров» метали каменья в корабли захватчиков, на их головы неслись тучи копий и дротиков из метательных машин. Хитроумные журавлеподобные механизмы поднимали своими «клювами « людей и сбрасывали их с высоты. Были машины, способные даже корабли поднять над водой за нос, чтобы затем низвергнуть их в пучину. «Что ж, придётся нам прекратить войну против геометра» - невесело шутил Марцелл. Архимед победил. Он совершил высочайший научный и гражданский подвиг, этот» Главный конструктор» древних Сиракуз. И когда предательство открыло римлянам ворота в город, он погиб как солдат под мечом римского легионера
Смерть Архимеда.
К. Анкундинов
(Стихотворение читается на фоне музыки Людвига Ван Бетховена « К Элизе»).
Он был задумчив и спокоен,
Загадкой круга увлечён…
Над ним невежественный воин
Взмахнул разбойничьим мечом.
Чертил мыслитель с вдохновеньем,
Сдавил лишь сердце тяжкий груз.
« Ужель гореть моим твореньям
Среди развалин Сиракуз?»
И думал Архимед: «Поникну ль
Я головой на смех врагу?»
Рукою твёрдой взял он циркуль-
Провёл последнюю дугу.
Уж пыль клубилась над дорогой,
То в рабство путь, в ярмо цепей.
«Убей меня, но лишь не трогай,
О варвар, этих чертежей!»
Прошли столетий вереницы,
Научный подвиг не забыт.
Никто не знает, кто убийца.
Но знают все, кто был убит!
И через века звучит возглас: «Эврика» для тех , кто ищет и находит.
4. Проверь себя
Слайд №4
[pic]
Слайд №5
[pic]
4, Проверка домашнего задания.
Слайд №6
[pic]
Задача№5. ЕГЭ 2009 (ФФ Лысенко.)
5).Высота цилиндра 6, а радиус основания равен 5. НА окружности основания цилиндра выбраны три точки. А, В и. С так, что А В = В С., А С = 8, угол ABC<90. Отрезок ВВ1 – образующая цилиндра. Найдите синус угла между плоскостью основания цилиндра и плоскостью АСВ1
ЕГЭ 2005-2006 (ФИ ПИ)
18) Концы отрезка АК лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Секущая плоскость проходит через точку А и ось цилиндра. Угол между прямой АК и плоскостью основания цилиндра равен 30º, АК=16, площадь боковой поверхности цилиндра равна 80π. Найдите периметр осевого сечения цилиндра.
(2 ученика у доски выполняют домашнюю работу, а в это время все учащиеся решают задачи по готовым чертежам).
5.Решение задач по готовым чертежам.
Слайд №7
[pic]
Слайд №8
[pic] .
Слайд №9
[pic]
Слайд№10
[pic]
Слайд №11
[pic]
Задачи по теме: «Цилиндр»
(по материалам ЕГЭ за 2001 – 2012г).
ЕГЭ 2009 (ФИ ПИ)
1). Точки К и М лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла наклона прямой К М к плоскости основания цилиндра равен 3/5,
К М = 10, объем цилиндра равен 150π. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
2). Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна 2 6. Отрезки АВ и СD – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА1 – его образующая. Известно что А D = 3. Найдите косинус угла между А1С и В D.
3).Радиус основания цилиндра равен 5, а высота равна 6. Отрезки AB и СD – диаметры одного из оснований цилиндра, отрезок АА1– его образующая. Известно, что В С = 6 2. Найдите синус угол между прямыми А1С и ВD.
4).Концы отрезка МК лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Угол между прямой МК и плоскостью оснований цилиндра равен 30, МК=8, площадь боковой поверхности цилиндра равен 40π. Найти периметр осевого сечения цилиндра.
ЕГЭ 2009 (ФФ Лысенко.)
5).Высота цилиндра 6, а радиус основания равен 5. НА окружности основания цилиндра выбраны три точки. А, В и. С так, что А В = В С., А С = 8, угол ABC<90. Отрезок ВВ1 – образующая цилиндра. Найдите синус угла между плоскостью основания цилиндра и плоскостью АСВ1
6).Высота цилиндра равна 12см. Через середину образующей цилиндра проведена прямая, пересекающая ось цилиндра на расстоянии 4 см от нижнего основания. Эта прямая пересекает плоскость, содержащую нижнее основание цилиндра, на расстоянии 18 см от центра нижнего основания. Найдите радиус основания цилиндра.
ЕГЭ 2008(ФИ ПИ).
7) Радиус основания цилиндра равен 6, а высота равна 2. Отрезки АВ и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА1 – его образующая. Известно, что В С=2 21. Найдите синус угла между прямыми А1С и В D.
10). Радиус основания цилиндра равен 1, а высота равна 2√6. Отрезки АВ и СD – диаметры одного из оснований цилиндра, а отрезок АА1 – его образующая. Известно, что AD=√3. Найдите косинус угла между прямыми АС и ВD.
11). Точки B и D лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла между прямой BD и плоскостью основания цилиндра равен 0,3, BD=15, объём цилиндра равен π Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
12). Точки К и М лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Синус угла наклона прямой К М к плоскости основания цилиндра равен 0,6;
К М=10, объём цилиндра равен 150π. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.
ЕГЭ 2008 (Д.А. Мальцев)
13) Отрезок АА1 – образующая цилиндра, отрезок АВ – диаметр основания, CD – хорда, перпендикулярная к АВ. Известно, что АА1 =28, А В=16, C D=24 и угол СBD<90º. Найдите тангенс угла между плоскостями АВС и А1СD.
14) Радиус основания цилиндра равен 15, а высота цилиндра равна 16. В окружность основания вписан остроугольный треугольник АВС такой, что ВС=24, и АВ=АС. Отрезки АА1 и ВВ1 – образующие цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостями ВСВ1 и ВА1С.
ЕГЭ 2007 (Д.А. Мальцев)
15) Радиус основания цилиндра равен 6, а высота равна 10. Отрезки АВ и CD – диаметры одного из оснований цилиндра, АС=4√5. Отрезок АА1 – образующая цилиндра. Найдите тангенс угла между прямыми В С и А1D.
16) Радиус основания цилиндра равен 8, а высота равна 15. Отрезки МN и PQ – диаметры верхнего и нижнего оснований цилиндра, а отрезок ММ1 – образующая цилиндра. Угол между прямыми MN и M1P равен 60º. Найдите длину отрезка NQ.
17) Точки М и N расположены на окружностях верхнего и нижнего основания цилиндра, радиус основания которого равен 2, а высота – 3. Длина отрезка MN равна 4. Через отрезок MN проведена плоскость, параллельная образующей цилиндр. Найдите расстояние от оси цилиндра до этой плоскости.
ЕГЭ 2005-2006 (ФИ ПИ)
18) Концы отрезка АК лежат на окружностях двух оснований цилиндра. Секущая плоскость проходит через точку А и ось цилиндра. Угол между прямой АК и плоскостью основания цилиндра равен 30º, АК=16, площадь боковой поверхности цилиндра равна 80π. Найдите периметр осевого сечения цилиндра.
19) Через образующую цилиндра проведены две плоскости, пересекающие основание цилиндра: одна – по диаметру АМ, другая – по хорде AD. Угол между этими плоскостями равен 60º. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 60π. Найдите площадь сечения цилиндра, проходящего через хорду AD.
20) Через образующую ВС цилиндра проведено сечение BCDE. Объём цилиндра равен 1440π, ВЕ=8, тангенс угла между прямой СЕ и плоскостью основания равен 1,25. Найдите площадь осевого сечения.
21). Цилиндр пересечён плоскостью, параллельной оси и отсекающей от окружностей оснований дуги по 120º. Если высота цилиндра равна 4 см, а радиус основания - 2√3 см, то площадь сечения равна?
ЕГЭ 2010-2011 (Ф.Ф.Лысенко)
22). Радиус основания цилиндра равен 6. Основание ВС равнобедренного треугольника АВС является хордой окружности одного основания этого цилиндра, а вершина С лежит на окружности другого основания. Длина боковой стороны треугольника АВС равна12, а его проекцией на основание цилиндра является правильный треугольник. Найдите площадь осевого сечения цилиндра. (Ответ:72)
.
23). Высота цилиндра равна 80, а радиус основания – 26. В окружность основания вписан остроугольный треугольник АВС такой, что В С=20,а АВ = АС. Отрезки АА1 и ВВ1 – образующие цилиндра. Найдите котангенс угла между плоскостью СВВ1 и плоскостью ВА1С. (Ответ:1,6)
.
24). Высота цилиндра равна 40 , а радиус основания 26. В окружность
основания вписан тупоугольный треугольник АВС такой, что В С=20, АВ=АС. Отрезки АА1 и ВВ1 _ образующие цилиндра. Найдите тангенс угла между плоскостью СВВ1 и плоскостью ВА1С. (Ответ:0,05)
Решение задач домашней работы.
Задача №5
[pic]
Дано: цилиндр,
А€окр.(О;r); В€ окр.(О;r);С€окр.(О;r);
(А,В,С)=α
АВ = ВС; АС = 8
h = 6; r =5
∟АВС ‹ 90
ВВ1-образующая
sin ∟(В1СА;α) -?
Решение.
1). Построим угол, образованный плоскостью В1АС. с плоскостью основания.
∟В1АСВ-двухгранный угол, а он измеряется линейным углом.
2).▲В1ВА=▲В1ВС- по двум катетам;
Из равенства треугольников следует В1А=В1С→▲В1АС-равнобедренный.
3).В▲В1АС проведём:
ВF﬩AC; отрезок ВF.
▲ В1ВF-прямоугольный, где В1F-наклонная, ВF- её проекция →
∟В1FB- линейный угол. Он и является искомым углом.
4).В ▲ В1ВF-прямоугольном:
sin ∟В1FB = ВВ1:В1F ; sin ∟В1FB =6 :В1F
В ▲ OFA-прямоугольном:
ОF= √ АО-АF = √ 25-16 = √9=3 –по теореме Пифагора
BF=8.
В ▲ В1ВF-прямоугольном:
: В1F=√B1B+ BF=10
sin ∟В1FB =6 :10=0,6
Ответ: 0,6.
