Применение метода интервалов
при решении более сложных неравенств
Цели: продолжить формирование умения решать неравенства методом интервалов; рассмотреть, как может быть применен метод при решении более сложных неравенств.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Решите неравенство:
а) (х + 1) (х – 3) > 0; в) [pic] (х – 10) < 0;
б) (х – 5) (х – 2) ≤ 0; г) (х – 4) [pic] ≥ 0.
III. Проверочная работа.
В а р и а н т 1
1. Решите неравенство:
а) [pic] < 0; б) [pic] ≥ 0.
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
В а р и а н т 2
1. Решите неравенство:
а) [pic] > 0; б) [pic] ≤ 0 [pic] .
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
IV. Формирование умений и навыков.
Все задания, выполняемые на уроке, можно разбить на две группы. В первую группу войдут дробные неравенства и неравенства, которые до применения метода интервалов предварительно нужно преобразовать, разложив на множители их левую часть. Во вторую группу войдут более сложные неравенства. Чтобы применить к ним метод интервалов, необходимо сначала перейти к равносильной системе.
Вторую группу заданий следует решать в классе с высоким уровнем подготовки.
Упражнения:
1-я г р у п п а.
1. № 338.
Р е ш е н и е
в) [pic] ≥ 2.
Перенесем число 2 в левую часть неравенства и приведем его к виду [pic] ≥ 0:
[pic] – 2 ≥ 0;
[pic] ≥ 0;
[pic] ≥ 0;
[pic] ≤ 0; [pic]
Решая эту систему, получим, что х [pic] (1; 2].
О т в е т: (1; 2].
2. Решите неравенство, разложив его левую часть на множители:
а) (4 – х2) [pic] < 0; г) х3 – 5х + 6х 0;
б) х3 – 16х 0; д) (х2 + 3х) [pic] < 0;
в) (х2 – 25) [pic] > 0; е) 8х3 + 12х2 – 2х – 3 > 0.
2-я г р у п п а.
Решите неравенство:
а) (3х2 + 5) (х + 7) [pic] > 0.
Р е ш е н и е
Поскольку выражение 3х2 + 5 положительно при всех значениях х, то обе части неравенства можно разделить на него. Получим неравенство:
(х + 7) [pic] > 0 или (х + 7) [pic] < 0.
Решая его, находим, что х [pic] [pic] .
О т в е т: [pic] .
б) (х + 2)2 (х – 6) < 0.
Р е ш е н и е
Выражение (х + 2)2 неотрицательно при всех значениях х, поэтому данное неравенство равносильно системе:
[pic]
Решая систему, находим, что х [pic] (–∞; –2) [pic] (–2; 6).
О т в е т: (–∞; –2) [pic] (–2; 6).
в) (х –3)2 (х – 10) ≥ 0
Р е ш е н и е
Выражение (х –3)2 неотрицательно при всех значениях х, и если оно равно нулю, то и произведение (х –3)2 (х – 10) равно нулю. Поэтому данное равносильно системе:
[pic]
Получаем, что х [pic] {3} [pic] [10; +∞).
О т в е т: {3} [pic] [10; +∞).
г) [pic] < 0.
Р е ш е н и е
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
[pic] < 0.
Данное неравенство равносильно системе:
[pic]
Решая систему, находим, что х [pic] (–4; 3) [pic] (3; 10).
О т в е т: (–4; 3) [pic] (3; 10).
д) [pic] ≤ 0.
Р е ш е н и е
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
[pic] ≤ 0.
Это неравенство равносильно системе:
[pic]
Решая его находим, что х [pic] (–∞; –3) [pic] (–3; –1] [pic] [1; 3].
О т в е т: (–∞; –3) [pic] (–3; –1] [pic] [1; 3].
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– В чем состоит метод интервалов решения неравенств?
– Любое ли неравенство можно решить методом интервалов?
– Как применяется метод интервалов к решению дробных неравенств?
– Как решается неравенство, содержащее целое выражение выше второй степени?
Домашнее задание: № 389, № 394.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 390
В а р и а н т 1
1. Решите неравенство:
а) [pic] < 0; б) [pic] ≥ 0.
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
В а р и а н т 2
1. Решите неравенство:
а) [pic] > 0; б) [pic] ≤ 0 [pic] .
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
В а р и а н т 1
1. Решите неравенство:
а) [pic] < 0; б) [pic] ≥ 0.
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
В а р и а н т 2
1. Решите неравенство:
а) [pic] > 0; б) [pic] ≤ 0 [pic] .
2. Найдите область определения функции:
а) y = [pic] ; б) y = [pic] .
