Координаты вектора
Цели урока:
- познакомить учащихся с понятием координатных векторов, показать возможность разложения произвольного вектора по координатным векторам [pic]
- ввести понятие координат вектора в данной системе координат и отработать навыки действий над векторами с заданными координатами.
Ход урока
I. Организационный момент
Учитель сообщает тему, цель и план урока.
II. Актуализация знаний учащихся
1. Проверка домашнего задания:
а) № 400 (д, е), учащийся готовит решение на доске.
Дано: А(3; -1; 0), В(0; 0; -7), С(2; 0; 0), D(-4; 0; 4), E(0; -1; 0), F(1; 2; 3), G(0; 5; -7), H(-√5; √3; 0).
Указать: д) точки, лежащие в плоскости Oyz\ е) точки, лежащие в плоскости Oxz.
Решение: д) Точки В(0; 0; -7), Е(0; -1; 0), G(0; 5; -7) - лежат в плоскости Oyz, е) Точки В(0; 0; -7), С(2; 0; 0), D(-4; 0; 3) - лежат в плоскости Oxz.
Дополнительные вопросы:
- Как называются координаты точки в пространстве?
- Дать определение вектора.
- Дать определение компланарных векторов.
б) Второй учащийся выполняет у доски задание по карточке.
Начертить прямоугольную трехмерную систему координат и отметить в ней точки А(1; 4; 3), В(0; 5; -3), С(0; 0; 3) и D(4; 0; 6).
Решение (рис. 2):
[pic]
Дополнительные вопросы:
- Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если ее а) абсцисса равна нулю; б) ордината равна нулю; в) аппликата равна нулю; г) абсцисса и ордината равны нулю?
2. С остальными учащимися класса проводится фронтальный опрос.
Вопросы:
- Как вводится декартова система координат в пространстве?
- При каких условиях говорят, что задана прямоугольная система координат?
- Объясните, как определяются координаты точки в пространстве?
- Используя рисунок (рис. 3 показывается через кодоскоп или готовится на закрытой доске), определить координаты точек А, В, С и D.
[pic]
- Как располагаются точки относительно системы координат, если а) одна ее координата равна нулю; б) две ее координаты равны нулю?
Примеры:
- Объясните, почему все точки, лежащие на прямой, параллельной плоскости Оху, имеют одну и ту же аппликату?
- Даны точки А(2; 4; 5), В(3; а; b), С(0; 4; d) и D(5; n; m). При каких значениях а, в, d, n и m эти точки лежат:
а) в плоскости, параллельной плоскости Оху;
б) в плоскости, параллельной плоскости Oxz;
в) на прямой параллельной оси 0x1
Ответ: а) а, n - любые; b = d = 5, б) а = n = 4; b, d, m — любые, в) а = n = 4; b = d = m = 5.
По окончании фронтального опроса просматривается и оценивается работа у доски.
III. Изучение нового материала
1. Учащиеся открывают рабочие тетради, записывают дату и тему урока. Учащиеся в тетради, а учитель на доске, строят прямоугольную систему координат Оху, откладывают от начала координат на осях ох, оу и oz единичные векторы соответственно [pic] Их называют координатными векторами (рис. 4).
[pic]
2. Так как векторы [pic] некомпланарны, то любой вектор пространства [pic] можно разложить в виде [pic] где х, у и z определяются единственным образом и являются координатами вектора [pic] . Обозначается [pic]
Пример: Рассмотрев рисунок 5, где ОА1 = 2, ОА2 = 3, ОА = 3, определите координаты векторов [pic]
[pic]
Решение: [pic] [pic]
Все координаты нулевого вектора равны нулю. Обозначается [pic]
Его можно представить в виде: [pic]
3. Вводится правило действий над векторами с заданными координатами и доказываются вместе с учителем. (Можно одно правило доказать с учителем, а остальные, группы учащихся доказывают самостоятельно, затем представители группы доказывают у доски. Можно доказательство задать на дом и проверить на следующем уроке.)
1) Равные векторы имеют равные координаты.
Дано: [pic]
Доказать: x1 = х2, y1 = у2; z1 = z2.
Доказательство: Так как [pic] то [pic] так как [pic] то b [pic] По условию [pic] Тогда [pic] [pic] Откуда x1 - х2 = 0 и х1 = x2; y1 – y2 = 0 и y1 = y2, z1- z2 = 0 и z1 = z2.
2) Каждая координата суммы двух (и более) векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Дано: [pic]
Доказать: [pic]
Доказательство: Так как [pic] то [pic] [pic] то [pic] тогда [pic] [pic] откуда [pic] [pic]
3) Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.
Дано: [pic] а - произвольное число; [pic]
Доказать: [pic]
Доказательство: Так как [pic] то [pic] Значит, [pic]
4) Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Дано: [pic]
Доказать: [pic]
Доказательство: [pic] тогда - [pic] Тогда [pic] [pic]
IV. Закрепление изученного материала
На закрытой доске заранее подготовлено задание для устной работы.
1. Даны векторы [pic]
1) Разложить их по координатным векторам.
2) Найти вектор равный [pic]
2. Дано: [pic] Укажите координаты векторов [pic]
V. Формирование знаний, умений и навыков учащихся
Задачи № 403 и № 404 (по 2 примерам) по 2 человека для контроля решают у доски, а класс решает самостоятельно, затем сверяется с решением у доски. Учитель в это время контролирует работу у доски.
Задача № 403.
[pic] тогда [pic]
[pic] тогда [pic]
Задача № 404.
[pic] тогда [pic]
[pic] тогда [pic]
Аналогично выполняется №407. У доски 1-й учащийся выполняет пункты а, б, в, 2-й - г, д, е.
Учитель в это время контролирует работу слабых учащихся и проверяет работу у доски.
Задача № 407.
Дано: [pic]
Найти: [pic] Решение:
[pic]
VI. Итог урока
- Сегодня на уроке мы изучили понятие координационных векторов и рассмотрели разложение произвольного вектора по векторам [pic] Также мы изучили понятие координат вектора и правила действий над векторами.
Домашнее задание
П. 43 (или теорию по тетради), повторить определение средней линии треугольника и теорему о средней линии треугольника. № 403, 404, 407 (оставшиеся пункты).
