Приложения
Приложение 1.
НОД и НОК натуральных чисел.
Приложение 2.
Алгоритм Евклида.
Алгоритм Евклида – это очень простой и эффективный способ нахождения НОД.
Алгоритм Евклида с вычитанием. Пусть даны два числа. Большее из них заменим разностью этих чисел. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется одно ненулевое число. Это и будет НОД исходных чисел. Пример: НОД(420;150) = НОД(270;150) = НОД(120;150) = НОД(120;30) = НОД(90;30) = НОД(60;30) = НОД(30;30) = 30
Алгоритм Евклида с делением. Пусть даны два числа. Большее из них заменим остатком от деления на меньшее. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не останется одно ненулевое число. Это и будет НОД исходных чисел. Пример: даны числа 420 и150;
420: 150 = 2(ост.120);
150: 120 = 1(ост.30);
120: 30 = 4(ост. 0);
НОД(420;150) – 30 (14; 11)
Задачи. Найдите НОД, используя алгоритм Евклида: а) НОД(451;287); б) НОД(469459;519203); в) НОД(42628;33124)
Приложение 3.
Пример контрольной работы по теме «Делимость чисел»
№1. Разложите на простые множители числа: а) 870; б) 792.
№2. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел: а) 27 и 36; б) 26 и 33.
№3. Составьте из цифр 0, 1, 3, 6 пару трехзначных простых чисел (цифры в одном числе не должны повторяться). Ответ обоснуйте.
№4. Найдите значение выражения и выпишите все делители этого числа:
№5.Замените звездочки цифрами так, чтобы число *32* делилось на 30. Укажите все возможные решения.(3;15)
Приложение 4.
Примеры разноуровневых задач по теме «Делимость чисел»
4.1 Делители и кратные.
1уровень.
1. Проверьте, что: а) число 14 является делителем числа 518; б) число 1024 кратно числу 32.
2. Среди данных чисел 4, 6, 24, 30, 40, 120 выберите:
а) те, которые делятся на 4;
б) те, на которые делится число 72;
в) делители 90;
г) кратные 24.
3. Найдите все значения х, которые кратны 15 и удовлетворяют неравенству х < 75.
2 уровень.
1. Назовите :
а) все делители числа 16;
б) три числа, кратных 16
2. Среди данных чисел 5, 7, 35, 105, 150, 175 выберите:
а) делители 300;
б) кратные 7;
в) числа, не являющиеся делителями 175;
г) числа, не кратные 5.
3. Найдите все числа, кратные 20 и составляющие менее 345% этого числа.
3 уровень.
1. даны числа 13 и 3965.
а) Какое из двух чисел является делителем другого? Найдите еще три делителя этого числа.
б) Какое из двух чисел кратно другому? Назовите еще три числа, кратных этому числу.
2. Среди данных чисел 7, 21, 28, 63, 147, 189 выберите:
а) числа, имеющие меньше шести делителей;
б) числа, кратные 21;
в) число, имеющее наибольшее количество делителей среди данных чисел;
г) число, имеющее наибольшее количество кратных среди данных чисел.
3. Найдите наибольшее трехзначное число, кратное 94.(3;4)
4.2 Простые и составные числа.
1 уровень.
1. Докажите, что числа 695 и 2907 являются составными.
2. Запишите все делители числа 66. подчеркните те из них, которые являются простыми числами.
3. Может ли разность двух простых чисел являться простым числом? Ответ подтвердите примером.(3;10)
2 уровень.
1.Замените звездочку цифрой так, чтобы полученное число было:
а) простым: 5*;
б) составным: 1*7.
2. Может ли разность двух составных чисел быть простым числом? Ответ подтвердите примером.
3. Выпишите все числа от 1 до 50, представляющие собой произведение двух различных простых чисел. (15;14)
3 уровень.
1. Представьте число 72 в виде:
а) суммы двух простых чисел;
б) в виде суммы трех различных составных чисел.
2. В семье шестеро детей, причем возраст каждого ребенка в годах выражается простым числом. Пятеро из них на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше самого младшего. Сколько лет старшему ребенку?
3. Число 17 – сумма четырех простых чисел. Найдите произведение этих чисел. (15;15)
Приложение 5
Сообщение о совершенных числах.
Пифагор(6 в. до н.э.) и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа), они назвали совершенным. Например, число 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7+ 14) совершенные. Следующие совершенные числа 496, 8 128, 33 550 336. пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвертое – 8 128 – стало известно в 1в.н.э. пятое- 33 550 336 – было найдено в 15 в. К 1983г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор ученые не знают, есть ли нечетные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.
Приложение 6
Сообщение «Решето Эратосфена».
Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные числа. В ряду натуральных чисел простые встречаются неравномерно, в одних частях ряда их больше, в других меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа. Возникает вопрос: существует ли последнее простое число.
Древнегреческий математик Евклид доказал, что простых чисел бесконечно много.
Эратосфен, тоже греческий математик, для отыскания простых чисел придумал такой способ. Он записывал все числа от 1 до какого-то числа, а потом вычеркивал 1, которая не являлась ни простым, ни составным числом, затем вычеркивал через одно все числа , идущие после 2 (числа, кратные 2, т.е.4, 6, 8, 10 и тд.). первым оставшимся числом после 2 было 3. далее вычеркивались через два все числа, идущие после 3 (кратные 3, т.е. 6, 9, 12 и тд.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.
Так как греки делали записи на покрытых воском табличках, а числа выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому способ, предложенный Эратосфеном называют решетом Эратосфена, в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.
Приложение 7.
Вопросы для самостоятельной работы по теме «Простые и составные числа».
- Среди чисел 5, 1, 9, 6, 24, 17, 18, 7 выбрать те, которые имеют: а) много делителей; б) только два делителя; в) только один делитель?
- Как называется группа чисел, имеющая: а) много делителей; б) только два делителя; в) только один делитель?
- Сколько натуральных чисел можно отнести ни к простым, ни к составным? Почему?
- Почему среди простых чисел только одно четное число?
- Можно ли указать наибольшее и наименьшее простое число?
- Как называется запись 78=2*3*13?
- Любое ли число можно разложить на простые множители?
- Каким образом можно быстро установить является ли число простым?
