Треугольники
Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
Обозначение: ABC, BCA, CAB
Периметр – сумма длин всех сторон
PABC = AB + BC + AC
Элементы:
Вершины – A, B, C (точки)
Стороны – AB, BC, AC (отрезки)
Углы – BAC , ABC, ACB (A, B, C)
Сумма углов треугольника равна 180º, т.е. A+ B+ C = 180
Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника
Внешний угол треугольника
1) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, 4 = 1 + 2
2) больше любого внутреннего угла, не смежного сним,
4 > 1, 4 > 2
Виды треугольников
Остроугольный
Прямоугольный
Тупоугольный
Разносторонние (все стороны разные)
все углы острые (меньше 90)
один угол прямой (равен 90)
один угол тупой (больше 90)
Равнобедренные (две стороны равны – боковые)
Равносторонние (все стороны равны)
Основные линии в треугольнике
Медиана
(отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника)
Биссектриса
(отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника)
Высота
(перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника)
AM = MC
ABD = CBD
BH AC
Средняя линия реугольника
(отрезок, соединяющий середины двух его сторон)
MN - средняя линия
М – середина АВ (AM = MB)
N – середина ВС (BN = NC)
Свойство:
MN AC
MN = AC
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона. Сравните углы треугольника АВС, если АВ>BC>AC.
Ответ. C>A>B
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности a < b + c, a > b – c;
b < a + c, b > a – c;
c < a + b, c > a – b .
Существует ли треугольник со сторонами 5см, 8см и 12см?
5<8+12
8<5+12
12<5+8 Ответ. не существует
По двум сторонам и углу между ними По стороне и двум прилежщим к ней углам
По трем сторонам
Равнобедренный треугольник
Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.
Свойства равнобедренного треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.
Признаки равнобедренного треугольника
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Если в треугольнике медиана является высотой, то он равнобедренный.
Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то он равнобедренный.
Если в треугольнике высота является биссектрисой, то он равнобедренный.
[pic]
[pic]
