Государственное бюджетное образовательное учреждение города Москвы
« Центр спорта и образования «Олимп» Департамента физической культуры и спорта города Москвы.
Утверждаю Согласовано
Директор ГОУ ЦО»Олимп» ___________________
_________________________ «____»________2014__г.
Приказ №_____от__________
«____»__________201___г.
Программа элективного курса по математике
для учащихся 10 – 11 классов
«Решение уравнений и неравенств, содержащих знак
абсолютной величины»
Учитель математики высшей категории Селиверстова Н.Б.
Рекомендовано к реализации
г. Москва, 2014г.
Программа элективного курса по математике
для учащихся 10-11 классов
«Решение уравнений и неравенств, содержащих
знак абсолютной величины»
Пояснительная записка
Итоговый экзамен за курс средней школы по алгебре и началам анализа в 11классе
является обязательным для всех учащихся. В части «С» встречаются задания, которые содержат знак абсолютной величины.
По программе базового уровня на изучение этой темы не отводится ни одного часа, встречаются лишь единичные задания, содержащие знак модуля. Учащиеся знают или представляют себе график функции у = !х!, ее область значения и область определения.
Оптимальной формой подготовки учащихся к сдаче ЕГЭ являются элективные курсы, которые позволяют расширить и углубить изучаемый материал.
Данный курс имеет основное назначение расширение знаний в области математики, которые будут способствовать осознанному выбору дальнейшего пути получения образования, а также помогут учащимся лучше сдать ЕГЭ. Изучение этого курса способствует развитию мышления, исследовательских знаний, формированию базы общих универсальных приемов и подходов к решению заданий соответствующих типов..
Работа учащихся по этому курсу позволит повысить профессионально- образовательный уровень старшеклассников, направленный на формирование интеллектуальных умений, технических умений и конкретных знаний по предмету.
Целью данного элективного курса является обучение учащихся математике, дать полные знания по предмету, а также систематизация и углубление ранее изученных знаний и приобретенных умений и навыков, создание целостного представления о теме и расширение спектра заданий.
Цели курса:
систематизировать знания учащихся об абсолютной величине;
расширить представление учащихся о методах и приемах решения уравнений и неравенств, содержащих знак абсолютной величины;
способствовать овладению комплексом математических знаний, умений и навыков;
расширить спектр учебных заданий;
развитие аналитического и логического мышления;
формирование математической культуры;
развивать коммуникативные и общеучебные умения и навыки;
способствовать развитию учебной мотивации учащихся и осознанному выбору дальнейшего профиля обучения
Задачи:
- повышение прикладной направленности преподавания и обеспечение
должного уровня владения практическими умениями и навыками.
- овладение общими приемами и подходами к решению заданий курса.
- усвоение приемов мыслительного поиска.
Структура курса
Курс рассчитан на 34 занятия. Включенный в программу материал предполагает
повторение и углубление следующих разделов алгебры:
Выражения и их преобразования.
Решение уравнений
Решение неравенств
Понятие абсолютной величины
Равносильные уравнения
Равносильные неравенства.
Формы организации учебных занятий
Формы проведения занятий включают в себя лекции, практические занятия , тесты.
Основной тип занятий это комбинированный урок. Каждая тема начинается с постановки задачи. Теоретический материал излагается в форме мини лекции. Объяснение материала сопровождается практическими заданиями для его закрепления.
Занятия строятся с учетом индивидуальных особенностей учащихся, их темпа восприятия и уровня усвоения материала.
В ходе обучения проводятся непродолжительные контрольные работы для определения степени усвоения материала, что обеспечивает эффективную обратную связь,
позволяющую обучающимся корректировать свою деятельность.
Контроль и система оценивания
Применяются следующие формы контроля за уровнем достижений учащихся:
проверочные работы;
самостоятельные работы (зачет, незачет)
индивидуальные домашние задания;
контрольные письменные работы (питибальная шкала оценивания);
составление алгоритма решения уравнений и неравенств (зачет, незачет)
Учебно-тематический план
Лек- ции
Практикум
Формы проведения
Образов. продукт
1
Числа и выражения. Преобразование выражений.
4ч.
0,5ч.
3,5ч.
Лекция, урок-практикум
Актуализация вычислительных навыков. Развитие навыков тождественных преобразовании
2
Равносильные уравнения
4ч.
0,5ч.
3,5ч.
Мини-лекция,практикум
Усвоение понятия равносильности.уравнений
3
Равносильные неравенства
3ч.
0,5ч.
2,5ч.
Мини-лекция, урок-практикум.
Усвоение понятия равносильные неравенства.
4
Уравнения со знаком модуля
7ч.
1ч.
6ч.
Лекция, практикум
Овладение разными способами решения уравнений
5
Системы уравнений, содержащие уравнения со знаком модуля
3ч.
-
3
Практикум
Овладение способами решения систем уравнений.
6
Зачетная работа
1ч
-
-
Письменная работа
Проверка уровня усвоения материала
7
Неравенства, содержащие знак абсолютной величины
7ч
1ч
6ч
Лекция, практикум
Овладение разными способами решения неравенств
8
Зачетная работа
1ч
-
-
Зачет письм.
Контроль за уровнем усвоения материала
9
Решение заданий из вариантов ЕГЭ, содержащих знак модуля
3ч
0,5ч
2,5ч
практикум.
Овладение способами решения уравнений и неравенств
10
Обобщающий урок
1ч
-
1ч
практикум
Обобщить изученный материал
Содержание курса.
Тема 1. Числа и выражения. Преобразование выражений.
Свойства степени с натуральным и целым показателем. Свойства арифметического квадратного корня. Формулы сокращенного умножения. Разложение многочлена на множители. Выражение переменной из формулы. Нахождение значений переменной.
Тема 2. Равносильные уравнения.
Ввести понятие равносильных /эквивалентных / уравнений на множестве А, равносильного перехода, постороннего корня, утверждений о равносильности уравнений и привести примеры
Два уравнения называются равносильными /эквивалентными /, если совпадают множества всех их решений или оба они не имеют решений.
Замена уравнения равносильным ему уравнением или замена уравнения равносильной ему совокупностью уравнений / неравенств, систем / называется равносильным переходом.
Примеры уравнений:
1. Уравнение х= 1 равносильно уравнению √ х = 1 . Ответ: дат,к, х = 1 корень этих уравнений, других нет.
2. Являются ли уравнение (х2 + х + 1) (3х +4 ) (-7х +2)(2х- [pic] ) = 0 и совокупность уравнений 3х+ 4=0, -7х+2 = 0, 2х- [pic] 5 =0, -12х – 16 =0 равносильными на множестве всех действительных чисел?
Ответ: равносильны, т.к. х [pic] + х + 1 при любых х больше нуля.
3. Являются ли уравнение 3 loq [pic] │ –х │ loq [pic] х [pic] и совокупность уравнений
х+1 =0, х-1 = 0, х = 0 равносильными на ОДЗ данного уравнения?
Ответ: да, т.к. х=1 и х= -1 являются корнями уравнения, а других корней нет.
4.Уравнение 7 – 2х + 5/х-2 – 5/х-2 = 11 -4х после приведения подобных слагаемых в левой части заменяется уравнением 7 – 2х = 11 – 4х ему не равносильным. Число 2 является корнем этого уравнения, но не является корнем исходного уравнения.
5.Являются ли уравнения 2 [pic] х+5 = х+2 и 4(х + 5) = =(х + 2) [pic] равносильны-
ми. Ответ: равносильны
Утверждения о равносильности уравнений:
3. Уравнеия f(х) = q(х) и аf(х) = аq(х) равносильны для любого числа а не равного 0.
4. Уравнения а [pic] = а [pic] (а [pic] больше 0, а не равно1) и f(x) и q(x) равносильны
5. Пусть функции у = f(x) b у = q(x) не отрицательны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве уравнения f(x) = q(x) и f [pic] (х) = q [pic] (x) (n [pic] N) равносильны.
6. Пусть функции у = f(x) и у = q (x) положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве А уравнения loq [pic] f(x) = loq [pic] q(x) (а больше 0, а не равно 0) и f(x) = q (x) равносильны.
7. Пусть функция у = z (x) определена и не обращается в нуль ни в одной точке множества А, содержащегося в ОДЗ уравнения f(x) = q(x). Тогда на множестве А уравнения f(x) = q(x) и f(x)z(x) = q(x)z(x) равносильны. (Множество А может совпадать с ОДЗ уравнения f(x) = q(x)/
Тема 3. Равносильные неравенства.
Ввести понятие равносильных неравенств, понятие равносильных неравенств на множестве А, утверждения о равносильности неравенств, рассмотреть примеры.
если совпадают множества всех их решений
Если оба неравенства не имеют решений, то по определению они также считаются равносильными.
Два неравенства называются равносильными на множестве А, если совпадают множества их решений, принадлежащие этому множеству.
1. Неравенства f(x) < g(x)> f(x) равносильны
2. Неравенства f(x) < g(x) и f(x)-g(x)<0 равносильны
3. Неравенства f(x) < g(x) и f(x)+φ(x)<g(x)+ φ(x) равносильны, если функция
φ(x) определена на ОДЗ неравенства f(x)< g(x)
[pic] В частности, неравенства f(x) < g(x) и f(x) + α < g(x) + α равносильны для
любого числа α
4. Если фунция φ(x) положительна при всех значениях x из ОДЗ неравенства f(x)< g(x), то неравенство f(x)< g(x) и неравенство φ(x) f(x) < φ(x) g(x)
равносильны.
Если функция φ(x) отрицательна при всех значениях x из ОДЗ неравенства f(x)< g(x), то неравенство f(x) < g(x) равносильно
неравенству φ(x)g(x) > f(x)g(x).
В частности, если α – положительное число,
то f(x) < g(x) [pic] α f(x)< αg(x), а если α – отрицательное число, то
f(x) < g(x) [pic] α f(x)> αg(x).
Неравенства [pic] >0 и f(x) g(x) > 0 равносильны.
Неравенства [pic] а [pic] > а [pic] и f(x) > g(x) равносильны для любого фиксированного числа α из промежутка (1; + ∞).
Неравенства а [pic] > а [pic] и f(x) < g(x) равносильны для любого фиксированного числа α из промежутка (0; 1).
Пусть функции f(x) и g(x) неотрицательны на множестве А. Тогда на этом множестве неравенства f(x) > g(x) и (f(x)) [pic] > (g(x)) [pic] (nєN) равносильны.
Неравенства 2n+1 [pic] f(x) < 2n+1 [pic] g(x) (n є N) и f(x) < g(x) равносильны.
Неравенства f [pic] (x) < g [pic] (x) (n є N) и | f(x) | < | g(x) | равносильны.
Пусть α – фиксированное число из промежутка (1; + ∞) и функция f(x) и g(x) положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства f(x) > g(x) и log [pic] (x) > log [pic] g(x).
Пусть α – фиксированное число из промежутка (0; 1) и функции f(x) и g(x) положительны на некотором множестве А. Тогда на этом множестве равносильны неравенства f(x) > g(x) и log [pic] f(x) < log [pic] g(x).
Тема 4. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины.
Ввести алгоритм решения уравнений со знаком модуля, рассмотреть примеры решения уравнений, в том числе и уравнений, содержащих знак модуля внутри. Показать на примерах использование метода интервалов при решении уравнений с модулем и разные способы их решения.
равен минус а, если, а меньше нуля
*При решении уравнения, содержащего знак модуля, как правило, следует разбить ОДЗ уравнения на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве уравнение записывают без знака модуля и решают его на этом множестве. Объединение множеств решений, найденных на всех частях ОДЗ уравнения, составляют множество всех решений уравнения.
Простейшими уравнениями с модулями являются уравнения вида
f(│x│) = q(x) (1)
где f(x) и q(x) - некоторые функции.
Для того, чтобы решить уравнение (1), нужно найти сначала все решения уравнения f(x) = q(x), принадлежащие множеству х ≥ 0, затем решить уравнение f(-x) = q(x) на множестве х меньше нуля; объединение множеств решений составляет множество всех решений уравнения (1)
Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем
[pic] f(x) = q(x), x.≥0 и [pic] f(-x) =q(x), х [pic] 0.
Тема 5. Решение систем уравнений, содержащих знак абсолютной величины.
Рассмотреть примеры решения систем уравнений.
Тема 6. Зачетная работа.
Проверить уровень усвоения материала и выявить пробелы в знаниях учащихся
Решить уравнения: а) │х│ = х [pic] + х – 2;
б) │3х - 8│ - │3х - 2│ = 6;
в) │х + х - 1│ =2х – 1.
2. Решите систему:
│х + у -4│ = 5,
│х-3│ + │у - 1│ =5
Тема 7. Неравенства, содержащие знак абсолютной величины.
Ввести алгоритм решения неравенств со знаком модуля, рассмотреть примеры решения неравенств.
ОДЗ на множества, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком множестве нужно решать неравенство и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.
Тема 8. Зачетная работа.
Проверить уровень усвоения материала.
Решить неравенства: а) │х – 3 │ [pic] - 1
б) │х [pic] + 21х + 32│ [pic] [pic] - 1
в) 3 │х – 1 │ [pic] 7 - х [pic]
г) │х [pic] – 5х + 4 / х [pic] - 4 │ ≤ 1
Тема 9 Решение заданий из вариантов ЕГЭ, содержащих знак
модуля.
Рассмотреть разные способы решения уравнений и неравенств , предлагаемых на ЕГЭ.
сведения исходного неравенства к равносильной системе рациональных
неравенств или совокупности таких систем.
Чтобы избежать ошибок при решении уравнений и неравенств,
следует рассматривать только те значения переменной, при которых все
входящие в уравнение и неравенство функции определены, т. е. находить ОДЗ этого уравнения и неравенства, а затем обоснованно осуществлять равносильный переход на всей ОДЗ или ее частях.
Тема 10. Обобщающий урок.
Подвести итоги работы данного курса. Выступления учащихся по алгоритмам решения уравнений, неравенств. Что нового они узнали?
Литература:
Фальке Л.Я., Лисничук Н.Н. и др. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе.
Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. – 2-е изд. испр. и допол.- М :ФИЗМАТЛИТ, 2007.—248с.-( Библиотека учителя и школьника).
Смыкалова Е.В. Модули, параметры, многочлены. Учебное пособие для учащихся.
СПб: СМИО Пресс, 2006.- 72с.., ил.
Козко А.И.,Панферов В.С.,Сергеев И.Н., Чирский В.Г. ЕГЭ 2011 Математика.
Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко. – МЦНМО, 2011.
Шахмейстер А.Х. Уравнения. С.- Петербург, Москва, 2008. Пособие для школь-
ников, абитуриентов и учителей. .
