Министерство Образования и Науки Республики Татарстан
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №9 с углубленным изучением отдельных предметов» Елабужского муниципального района Республики Татарстан
Решение систем уравнений на основе ассоциаций, аналогий или заимствований.
Выполнила:
учитель математики
Н.Г. Распутина
Решение систем уравнений широко представлено в курсе математики как основной, так и средней школы. Широко известны основные методы решения систем: метод подстановки, метод алгебраического сложения, метод замены переменной. Однако, есть такие системы, для решения которых требуется нестандартный подход, нестандартные методы решения, так как обычные методы либо приводят к громоздким вычислениям, либо вовсе не позволяют решить систему. В своей статье я попыталась такие способы продемонстрировать. К числу нестандартных методов решения систем уравнений могут быть отнесены метод ассоциаций, аналогий и заимствований. Считаю, что материал, представленный в моей работе, поможет и учителям, и учащимся: первым - при подготовке и проведении уроков математики, вторым – при подготовке к ГИА и ЕГЭ.
Рассмотрим очень простой пример.
Пример 1.
Сразу можно решить эту систему известным методом подстановки:
Решим второе уравнение отдельно:
D=25-24=1
, =2
,=3
Ответ:
Но спросим себя: "Где нам встречались выражения "х + у" и "ху"? Возможно в предыдущих темах курса алгебры, а, возможно, в геометрии, физике. Но сразу же, конечно, припоминается теорема Виета, вернее, теорема, обратная теореме Виета: "Если х, у удовлетворяют равенствам х + у = -р, ху = q, то х и у - корни уравнения z2 + pz + q = 0".
Применение этой теоремы к искомым числам х и у позволяет утверждать, что х и у - корни уравнения z2 - 5z + 6 = 0.
После решения этого уравнения можем записать ответ:
т.е.
и
Эта же идея может реализоваться и при решении более сложных заданий.
Пример 2. Решить систему уравнений:
Система содержит три переменных, поэтому, скорее всего, имеет смысл применить теорему, обратную теореме Виета для многочлена третьей степени: "Если х, у, z удовлетворяют равенствам
х + у + z = -р, ху + yz + xz = q, xyz = -г, то x,y,z - корни уравнения
u3 + pu2 + qu + г = 0"
Следовательно, x,y,z - корни уравнения u3 – 6u2 + 11u — 6 = 0
Решая его, находим
, ,
Запишем ответ:
Пример 3.
Сразу бросается в глаза, что это необычная система, что в нее входят три переменных, а уравнений только два. Можно выразить одну переменную через другие из второго уравнения и подставить в первое. При реализации этой идеи много "неинтересных вычислений", поэтому поищем что-нибудь другое. Обратимся к первому уравнению. С чем оно ассоциируется? Во-первых, относительно x, первое уравнение является квадратным; во-вторых, имеются квадраты переменных и их произведения; в-третьих, напоминает что-то, связанное с неравенствами.
Покажем, что каждая из этих ассоциаций приводит к решению.
-
D=,
, следовательно , тогда
-
(1)
т.к. , , то равенство (1) возможно лишь в случае , т.е.
-
Сложим почленно эти неравенства
Равенство возможно в том и только в том случае, если
Далее как в (1) и (2) Приходим к системе:
Решая ее, находим
Ответ
Я посчитала, что интересным будет также решение систем, содержащих не только уравнения, но и неравенства, то есть смешанных систем.
Пример 4. Решить систему:
Выделим полный квадрат и преобразуем исходную систему к следующему виду:
Если () – решение системы, то
Тогда
Выделяя полные квадраты в правой части последнего неравенства относительно либо , либо , получим
(2)
Заметим, что
И что
Теперь ясно, что неравенство (2) равносильно системе:
(3)
Итак, все решения системы (1) содержатся среди решений совокупности (3)
Подстановкой убеждаемся, что решением исходной системы являются:
Вот еще одно заимствование из алгебры:
Пример 5.
Разделим обе части второго уравнения на :
Обозначим за a
Решение этого уравнения приводит нас к следующей совокупности двух систем:
Решая первую систему, находим:
и
Из второй системы получаем:
и
Ответ: (; (-3;1); (;(
Пример 6.
Рассмотрим первое уравнение системы:
Перепишем его следующим образом:
Получаем систему: , которая равносильна совокупности систем:
Корней нет.
Объединение множеств решений этих систем является множеством решений системы (1).
Ответ:
Пример 7.
Перепишем первое уравнение системы в виде:
Которая равносильна совокупности систем:
2)
Корней нет.
Ответ:
Пример 8.
или
Корней нет.
Ответ: (2;0), (0;2)
Пример 9.
Обозначим за a
Получаем системы:
Ответ: ); (;
Пример 10.
3
или
Корней нет.
Ответ: (1;1); (3;3)
Пример 11.
Посмотрим на первое уравнение и рассмотрим переменные x и y. Решим первое уравнение относительно или решим относительно x:
2. 2
Получаем системы: Получаем системы:
и и
Ответ: Ответ:
Пример 12.
+
Это условие выполнится лишь в случае x=y=z=1
Пример 13.
Вычтем из первого уравнения второе:
Откуда:
Решая эту систему, получаем:
Пример 14.
Из системы получаем условие:
, которое равносильно условию x=y=z
3
Получаем
Ответ: (2;2;2), (-2;-2;-2)
Пример 15.
3
или
Корней нет.
Ответ: (1;1), (3;3)
Пример 16.
(1)
2
Обозначим
2
Система (1) равносильна совокупности двух систем:
3 2.
Ответ: (
Пример 17.
2.
Ответ: (2;-3), (2;1), (-2;-1), (-2;3)
Пример 18.
или
Ответ: (0; 1)
Пример 19.
или
3 2. 3
- 3
Корней нет
Ответ: (1;1), (-1;-1)
Пример 20.
Складываем почленно:
или
Ответ: (0;
Пример 21.
2.
Ответ: (-1;2), (, (0;1)
Пример 22.
Составим 2 системы:
- -
Ответ: (8;-2), (-2;8), (-8;2), (-2;-8)
Пример 23.
(
-
Ответ: (, (
Пример 24.
Пусть x=t, где t>0
y=z, где z>0
Тогда система примет вид:
Тогда x=5; x=
y=1; y=
Ответ: (5;1), (-5;-1), (5;-1), (-5;1)
Пример 25.
Заменяя u=x+y, v=xy, приходим к системе:
Решив которую, получаем:
и , т.е.
Решая эти системы, основываясь на теорему, обратную теореме Виета, получаем ответы:
(-2;3), (3;-2), (0;4), (4;0)
Литература.
Н.И.Зильбергер. Алгебра – 9 для углубленного изучения математики. Псков, 1999г.
Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. Алгебра – 9. Учебник для школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, 2003г.
С.В.Кравцов, Ю.Н.Макаров и др. Методы решения задач по алгебре. Москва, 2003г.
М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. Москва, «Просвещение», 1997г.
А.С.Мерзляков, Л.Э.Медников. Математическая олимпиада. Ижевск, 1997г.
