Элективный курс Векторное моделирование окружающего мира

Специальный курс по математике
«Векторное моделирование окружающего мира»
(для 10-11х классов)

Цели и задачи курса.

Знания, умения, компетенции.

Основной утилитарной целью изучения курса «Векторное моделирование окружающего мира» является:

1. Систематизация и углубление знаний, закрепление и упрочнение умений, необходимых для продолжения образования в вузах с повышенными требованиями к математическому образованию выпускников средней школы.

В то же время курс направлен на достижение следующих целей:

2. Получение общего представления о векторном построении стереометрии, векторной алгебре и применяемых в ней методах как о составляющей всей математики как науки.

3. Развитие логической и методологической (в узком смысле) культуры, составляющей существенный компонент культуры мышления, рассматриваемый в рамках общей культуры.

4. Овладение общими приемами организации действий: планированием, осуществлением плана, анализом и выражение результатов действий.

5. Получение представления об универсальном характере математических методов, о тесной взаимосвязи векторной алгебры с геометрией, теоретической физикой и механикой, высшей математикой, математической экономикой, теории вероятностей, теорией функций.

6. Развитие внутренней мотивации и интрапсихического фактора поисковой активности в предметной деятельности, формирование устойчивого и осознанного интереса к ней.

При изучении данного курса перед учащимися ставятся конкретные задачи:

— освоение векторного построения стереометрии;

— систематизация и углубление знаний по теме «Векторы и координаты»;

— получение знаний об основных типах геометрических задач: аффинных (взаимное расположение точек, прямых, плоскостей) и метрических (длины, расстояния, углы, площади, объемы);

— освоение векторным и координатным методами для решения геометрических задач;

— получение конкретного представления о взаимосвязях векторной алгебры с элементарной математикой;

— развитие логического мышления, обогащение и расширение математического кругозора учащихся.

Образовательные результаты

(планируемые результаты обучения)

Предметные знания.

Аксиоматический метод построения теорий.

Аксиомы связи. Нуль-вектор. Противоположные векторы. Сложение двух векторов и его свойства: коммутативность, ассоциативность, свойства нуль-вектора и противоположных векторов. Вычитание векторов. Аксиомы умножения вектора на число. Свойства умножения вектора на число. Векторное пространство. Линейная комбинация векторов. Линейно независимые и линейно зависимые векторы. Аксиома размерности. Размерность. Теорема о разложении вектора в пространстве. Базис в пространстве. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах.

Прямая. Теорема о бесконечности точек на прямой. Теорема о совпадающих прямых. Теорема о прямой, проходящей через две точки. Разложение вектора на прямой. Теорема о существовании двух линейно независимых векторов. Пересекающиеся прямые.

Плоскость. Теорема о совпадающих плоскостях. Теорема о плоскости, проходящей через три точки. Разложение вектора на плоскости. Базис на плоскости. Прямая, лежащая в плоскости. Теорема о прямой и плоскости. Теорема о плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней точку. Теорема о плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые. Параллельные прямые. Теорема о плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Аффинные задачи стереометрии. Нормированная линейная комбинация векторов. Признак принадлежности трех точек одной прямой. Отрезок. Деление отрезка в заданном отношении. Формула середины отрезка. Радиус-векторы. Теорема о центроиде треугольника. Признак принадлежности четырех точек одной плоскости. Деление отрезка плоскостью.

Скрещивающиеся прямые. Теорема о плоскостях, имеющих общую точку. Теорема о пересечении плоскостей. Пересекающиеся плоскости.

Признак параллельности прямых. Транзитивность параллельности прямых. Теорема о прямой, параллельной данной и проходящей через точку не лежащей на ней. Теорема о прямой, параллельной данной прямой, лежащей в плоскости, и имеющей с плоскостью общую точку. Параллельность прямой и плоскости. Теорема о плоскости, пересекающей одну из двух параллельных прямых. Признаки параллельности прямой и плоскости. Теорема о прямой, параллельной двум пересекающимся плоскостям. Теорема о линии пересечения, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых проходит через одну из параллельных прямых. Теорема о прямой, параллельной двум пересекающимся плоскостям.

Параллельность плоскостей. Признак параллельности плоскостей. Теорема о плоскости, параллельной данной, проходящей через точку не лежащей в ней. Транзитивность параллельности плоскостей. Теорема о плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей.

Аксиомы скалярного произведения и их следствия. Длина вектора. Ортогональность векторов. Перпендикулярность прямых. Признак перпендикулярности прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Единственность перпендикуляра к данной плоскости, проходящего через данную точку. Перпендикулярность прямых в одной плоскости. Теорема о прямой в плоскости, перпендикулярной другой прямой этой плоскости.

Простейшие построения в пространстве. Построение плоскости, перпендикулярной к данной прямой. Построение прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна плоскости. Теорема о двух прямых, перпендикулярных плоскости. Теорема о плоскостях, перпендикулярных одной прямой. Параллельное проектирование. Плоскость проекций. Направление проектирования. Ортогональное проектирование. Наклонная к плоскости. Теоремы о трех перпендикулярах. Перпендикулярность двух плоскостей. Признак перпендикулярности двух плоскостей. Теорема о прямой, имеющей общую точку с одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей и перпендикулярной другой. Теорема о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости. Построение двух перпендикулярных плоскостей.

Расстояние между двумя точками. Длина отрезка. Свойства расстояния между двумя точками. Неравенство Коши-Буняковского. Теорема Пифагора. Угол между двумя векторами. Косинус угла. Угол между скрещивающимися прямыми. Теоремы о длинах перпендикуляра, наклонной и проекции. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Расстояния между скрещивающимися прямыми. Угол между двумя плоскостями.

Декартов прямоугольный ортонормированный базис векторов в пространстве. Декартова прямоугольная система координат. Скалярное произведение векторов в координатах. Проекция вектора на ось координат.

Упорядоченная тройка векторов. Правая и левая тройка векторов. Ориентация векторов. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Векторное произведение в координатах. Матрица, её элементы и её свойства. Квадратная матрица. Транспонирование матрицы. Определители матрицы второго и третьего порядка. Свойства определителей. Векторное произведение в матричном виде.

Смешанное произведение трех векторов. Алгебраические и геометрические свойства смешанного произведения.

Декартовы прямоугольные координаты точки. Расстояние между двумя точками в координатах. Деление отрезка в данном отношении в координатах.

Уравнения плоскости: векторное, по точке и вектору нормали, общее уравнение, матричное, неполные, «в отрезках». Угол между плоскостями.

Уравнение прямой пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Расстояние от точки до плоскости.

Предметные умения, которыми должны овладеть учащиеся по изучении данного курса:

• освоить определённый набор приёмов векторного и координатного методов решения геометрических задач и уметь применять их при решении задач;

• владеть основными принципами математического моделирования, умением выполнять необходимые эскизы к решаемым задачам;

• приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику.

Общеинтеллектуальные умения:

• умение анализировать различные задачи и ситуации, выделять главное, достоверное в той или иной информации;

• владение логическим, доказательным стилем мышления, умение логически обосновывать свои суждения;

• умение конструктивно подходить к предлагаемым задачам;

• умение планировать и проектировать свою деятельность, проверять и оценивать ее результаты.

Общекультурные компетенции:

• понимание векторной алгебры как неотъемлемой части математики, методы которой базируются на многих разделах математики высшей;

• понимание роли векторной алгебры в развитии математики;

• восприятие математики как развивающейся фундамен­тальной науки, являющейся неотъемлемой составляющей науки, цивилизации, общечеловеческой культуры во вза­имосвязи и взаимодействии с другими областями мировой культуры.

Программа курса

Содержание курса

Тема 1. Векторная алгебра и аффинные задачи стереометрии.

Точечно-векторная аксиоматика. Линейные операции над векторами и их свойства (сложение, вычитание, умножение на число). Векторное пространство. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Размерность пространства. Базис в пространстве. Координаты вектора. Линейные операции над векторами в координатах.

Прямая, плоскость. Способы задания плоскости. Базис на плоскости. Взаимное расположение прямых. Аффинные задачи стереометрии. Пересекающиеся плоскости.

Признак параллельности двух прямых. Свойства параллельности прямых. Параллельность прямой и плоскости и их свойства. Взаимное расположение прямой и плоскости. Взаимное расположение плоскостей.

Тема 2. Скалярное произведение и метрические задачи стереометрии.

Скалярное произведение двух векторов. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Связь между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей. Ортогональное проектирование на плоскость. Теоремы о трех перпендикулярах. Перпендикулярность плоскостей.

Расстояние между двумя точками. Угол между двумя векторами. Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Угол между скрещивающимися прямыми. Угол между двумя плоскостями.

Декартовы прямоугольные системы координат в пространстве. Скалярное произведение векторов в координатах. Проекция вектора на ось координат.

Тема 3. Векторное произведение векторов и площади многоугольников.

Ориентация троек некомпланарных векторов. Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение в координатах.

Тема 4. Смешанное произведение и объёмы многогранников.

Свойства определителей третьего порядка. Определение смешанного произведения векторов и его свойства.

Тема 5. Прямые и плоскости в прямоугольных декартовых координатах.

Декартовы прямоугольные координаты точки. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении.

Уравнение плоскости. Прямая в пространстве в координатах. Взаимное расположение прямой и плоскости в координатах. Расстояние от точки до плоскости в координатах.

Календарно-тематическое планирование

(68 часа, 2 раз в неделю)