Зам.Дир по УВР_______________ Утверждаю
№_____ Дата_________
Предмет Алгебра
Класс 10
Тема урока: КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
Цели урока: Изучив данную тему, вы ознакомитесь с понятиями критической точки функции, научитесь находить критические точки и точки экстремума функции с помощью ее производной.
Тип урока: Изучения нового материала.
ХОД УРОКА
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Этап проверки домашнего задания.
Задачи: Установить правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми учащимися, выявить пробелы в знаниях и способах деятельности учащихся. Определить причины возникновения затруднений, устранить обнаруженные пробелы.
3.Этап актуализации.
Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся. №261. Повторить п 3
4. Формирование новых понятий и способов действия.
При исследовании функции и построении ее графика нужно не только уметь определять промежутки возрастания и убывания функций, которые вы научились находить с помощью производной по предыдущему параграфу, а также уметь находить критические точки и экстремумы. С понятием экстремума функции вы ознакомились в § 3.
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Точками экстремума могут быть только критические точки.
Введем необходимое условие существования экстремума функции.
Теорема. Если точка х0 является точкой экстремума и в окрестности этой точки функция f (х) имеет производную, то производная в этой точке равна нулю, т.е. f'(x0) = 0. [pic]
Но теорема, обратная этой теореме, не всегда верна, т.е. не обязательно, чтобы всякая критическая точка была точкой экстремума.
Пример 1. Дана функция г/ = лс3 — 1. Найдем производную функции /' (х) = Зх2. Решим уравнение f '(х)= 0, тогда Зх2 = 0 или х = 0. f (0) = 3 • 0 = 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 57).
Поэтому сформулируем достаточные условия существования экстремума (максимума и минимума).
Теорема. Если функция f(х) в точке х0 непрерывна, а на интервале (а; х0)
f '(х) > 0, на интервале (х0; b) f '(х) < 0, то точка х0 является точкой максимума.
Теорема. Если функция f (х) в точке х0 непрерывна, а на интервале (а; х0) f '(x) < 0, на интервале (х0; b) f '(x) > 0, то точка х0 является точкой минимума.
Удобно пользоваться упрощенной формулировкой этого условия: если в окрестности точки х0 производная функции меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то точка х0 является точкой максимума (минимума) функции.
Алгоритм нахождения точек экстремума функции:
найти производную функции;
решить уравнение f ' (х) = 0, найти критические точки;
с помощью метода интервалов определить знаки производной в окрестностях критических точек;
используя достаточное условие существования экстремума, найти точки максимума и минимума.
Рассмотрим примеры на нахождение точек экстремума.
Пример 2. Определим точки экстремума функции у = 2х3 - х2 - 4х + 5.
Решение. Для нахождения точек экстремума используем данный алгоритм:
у'= (2x3 - х2 - 4х + 5)' = 6х2 - 2х - 4 = 2 (Зх2 - х - 2);
чтобы определить точки экстремума, производную приравняем
к нулю: 2 (Зх2 - х - 2) = 0, Зх2 - х - 2 = 0, x1 = 1, х2 = -
используя точки xt = 1, х, = - 2/3 , разделим координатную прямую на промежутки и определим знак производной на каждом интервале.
Для этого возьмем х=0и определим знак производной функции f '(0) = 2 • (3 • 02 - 0 - 2) = -4 < 0, т.е. при х > 1 f '(x) > 0. Тогда знаки производной на интервалах имеют следующий вид (рис. 58.1):
в окрестности точки х = - 2/3 производная меняет знак с плюса на минус, а в окрестности точки х = 1 производная меняет знак с минуса на плюс. Пользуясь условием экстремума, получаем, что точка х = -2/3 это точка максимума, а х = 1 — точка минимума. Ответ: хmax= -2/3, xmin= 1. [pic]
5. Применение. Формирование умений и навыков.
Задачи: Обеспечить применение учащимися знаний и способов действий, которые им необходимы для СР, создать условия для выявления школьниками индивидуальных способов применения изученного.
Содержание этапа: № 267 ,268, 269, 270, 273(а).
6.Этап информации о домашнем задании.
Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
№ 267 ,268, 269, 270, 273(б).
7.Подведение итогов урока.
Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.
