Государственное казенное общобразовательное учреждение
кадетская школа-интернат «Навигацкая школа» города Москвы
Рассмотрено на заседании МО
Протокол № ____
от ________________ 2016г.
Руководитель МО
_______________ Тихомирова Л.А.
подпись
Согласованно
Заместитель директора по УР
______________ Королев А.П.
подпись
Утверждаю
Приказ № _____
от ___________________2016 г.
Директор школы
______________ И.Е.Старчеус
подпись
Рабочая программа
Предмет: Алгебра
Класс ____7____.
Профиль: базовый
Всего часов на изучение программы ___105
Количество часов в неделю __3_
Ямилова Д.Р.
Учитель математики
высшая квалификационная категория
2016-2017 учебный год.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Рабочая программа учебного курса по алгебре для 7 класса разработана на основе федерального компонента государственного образовательного стандарта основного общего образования по математике: «Обязательного минимума содержания основного общего образования по математике» и авторской программы по алгебре Ю. Н. Макарычева входящей в сборник рабочих программ «Программы общеобразовательных учреждений: Алгебра, 7-9 классы», составитель: Т.А. Бурмистрова «Программы общеобразовательных учреждений: Алгебра , 7-9 классы».- М. Просвещение, 2011. Планирование ориентировано на учебник «Алгебра 7 класс» под редакцией С.А.Теляковского, авторы: Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, Издательство: М., «Просвещение», 2008-2011 годы.
Программа соответствует обязательному минимуму содержания для основной школы и требованиям к уровню подготовки. Программа .
Данная рабочая программа рассчитана на 105 учебных часа (3 часа в неделю), в том числе контрольных работ – 10.
Рабочая программа выполняет две основные функции:
-информационно-методическая функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета;
-организационно-планирующая функция предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и качественных характеристик на каждом из этапов.
В программу по математике основной школы включаются элементы теории вероятностей и статистики. Программа разработана на основе учебного пособия «Теория вероятностей и статистики», написанной авторским коллективом под руководством профессора Ю.Н.Тюрина. Материал элективного курса является новым для современной российской школы.
Согласно планированию предполагается изучение: представление данных в таблицах и диаграммах; описательная статистика; случайная изменчивость; случайные события и вероятность; математическое описание случайных событий; вероятности случайных событий; сложение и умножение вероятностей; элементы комбинаторики.
В соответствии с Базисным учебным планом, утвержденным Департаментом образования г. Москвы (Приказ МДО от 18.04.2007 № 253), на изучение «Теории вероятностей и статистики» отводится 1 час в неделю (данное учебное пособие подготовлено и выпущено в свет в 2004 году по заказу правительства Москвы издательством Московского центра непрерывного математического образования).
Курс призван развивать интерес учащихся к предмету, любознательность, смекалку, логическое мышление.
Предлагаются контрольные и самостоятельные работы.
Цель данного курса – дать учащимся, проявляющим повышенный интерес к математике, законченное элементарное представление о теории вероятностей и статистике и их тесной взаимосвязи. Подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов; иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами.
В программе курса указана тематика задач, перечислены основные изучаемые методы их решения. Соответствующие теоретические вопросы входят в программу основной программы; на занятиях курса при необходимости они повторяются в ходе решения задач. Основная методическая установка курса – организация самостоятельной работы учащихся при ведущей и направляющей роли учителя.
Для каждой темы дано количество часов, в пределах которой разумно располагать время, отводимое на ее изучение, и указано одно из возможных распределение часов.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА АЛГЕБРЫ
Федеральный компонент направлен на реализацию следующих основных целей:
формирование целостного представления о мире, основанного на приобретенных знаниях, умениях, навыках и способах деятельности;
приобретение опыта разнообразной деятельности (индивидуальной и коллективной), опыта познания и самопознания;
подготовка к осуществлению осознанного выбора индивидуальной образовательной или профессиональной траектории.
Основные задачи модернизации российского образования – повышение его доступности, качества и эффективности. Это предполагает не только масштабные структурные, институциональные, организационно-экономические изменения, но в первую очередь – значительное обновление содержания образования, прежде всего общего образования, приведение его в соответствие с требованиями времени и задачами развития страны. Главным условием решения этой задачи является введение государственного стандарта общего образования.
Основное общее образование – завершающая ступень обязательного образования в Российской Федерации. Поэтому одним из базовых требований к содержанию образования на этой ступени является достижение выпускниками уровня функциональной грамотности, необходимой в современном обществе, как по математическому и естественнонаучному, так и по социально-культурному направлениям.
Федеральный компонент государственного стандарта общего образования направлен на реализацию качественно новой личностно-ориентированной развивающей модели массовой начальной школы и призван обеспечить выполнение следующих основных целей:
развитие личности школьника, его творческих способностей, интереса к учению, формирование желания и умения учиться;
воспитание нравственных и эстетических чувств, эмоционально-ценностного позитивного отношения к себе и окружающему миру;
освоение системы знаний, умений и навыков, опыта осуществления разнообразных видов деятельности;
охрана и укрепление физического и психического здоровья детей;
сохранение и поддержка индивидуальности ребенка.
Приоритетом общего образования является формирование метапредметных умений и навыков, уровень освоения которых в значительной мере предопределяет успешность всего последующего обучения.
Выделение в стандарте метапредметных связей способствует интеграции предметов, предотвращению предметной разобщенности и перегрузки обучающихся.
Развитие личностных качеств и способностей школьников опирается на приобретение ими опыта разнообразной деятельности: учебно-познавательной, практической, социальной. Поэтому в стандарте особое место отведено деятельностному, практическому содержанию образования, конкретным способам деятельности, применению приобретенных знаний и умений в реальных жизненных ситуациях.
Ведущим аспектом изучения курса является математическая модель – это то, что остается от реального процесса, если отвлечься от его материальной сути. Математические модели описываются математическим языком. Основная функция математического языка организующая: таблицы, схемы, графики, алгоритмы, правила вывода, способы логически правильных рассуждений. Особая цель математического образования – развитие речи на уроках математики. В наше прагматичное время культурный человек должен уметь излагать свои мысли четко, кратко, раскладывая «по полочкам», умея за ограниченное время сформулировать главное, отсечь несущественное. Этому он учится в школе, прежде всего на уроках математики.
Основные цели и задачи математического курса в 7 классе, которые мы стремимся реализовать, заключаются в следующем: содействовать формированию культурного человека, умеющего мыслит; понимающего идеологию математического моделирования реальных процессов, владеющего математическим языком не как языком общения, а как языком организующим деятельность; умеющего самостоятельно добывать информацию и использоваться ею на практике; владеющего литературной речью и умеющего в случае необходимости простроить ее на законах математической речи.
Место предмета в базисном учебном плане
Материалы для рабочей программы составлены на основе:
федерального компонента государственного стандарта общего образования,
примерной программы по математике основного общего образования,
федерального перечня учебников, рекомендованных Министерством образования Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях,
с учетом требований к оснащению образовательного процесса в соответствии с содержанием наполнения учебных предметов компонента государственного стандарта общего образования,
тематического планирования учебного материала,
базисного учебного плана.
Основная форма организации образовательного процесса – классно-урочная система.
Предусматривается применение следующих технологий обучения:
традиционная классно-урочная
игровые технологии
элементы проблемного обучения
технологии уровневой дифференциации
здоровьесберегающие технологии
ИКТ
Виды и формы контроля: переводная аттестация, промежуточный, предупредительный контроль; контрольные работы.
ЛИЧНОСТНЫЕ, МЕТАПРЕДМЕТНЫЕ И ПРЕДМЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ АЛГЕБРЫ
В результате изучения ученик должен
знать/понимать:
существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения, примеры их применения для решения математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
уметь:
составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
выполнять основные действия со степенями с натуральными показателями, с многочленами; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования выражений;
решать линейные уравнения и сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений;
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
изображать числа точками на координатной прямой; определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; строить графики изученных функций;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;
определять простейшие свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнении, систем, описывать свойства изученных функций, строить их графики;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;
моделирования практических ситуаций и исследования построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
интерпретации графиков зависимостей между величинами.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ В 7 КЛАССЕ
Глава I. Выражения, тождества ,уравнения-18ч.
Числовые выражения и выражения с переменными. Простейшие преобразования выражений. Уравнение с одним неизвестным и его корень, линейное уравнение. Решение задач методом уравнений.
Цель – систематизировать и обобщить сведения о преобразовании выражений и решении уравнений с одним неизвестным, полученные учащимися в курсе математики 5,6 классов.
Знать какие числа являются целыми, дробными, рациональными, положительными, отрицательными и др.; свойства действий над числами; знать и понимать термины «числовое выражение», «выражение с переменными», «значение выражения», тождество, «тождественные преобразования».
Уметь осуществлять в буквенных выражениях числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления; сравнивать значения буквенных выражений при заданных значениях входящих в них переменных; применять свойства действий над числами при нахождении значений числовых выражений.
Глава II. Функции-14ч
Функция, область определения функции, Способы задания функции. График функции. Функция y=kx+b и её график. Функция y=kx и её график.
Цель – познакомить учащихся с основными функциональными понятиями и с графиками функций y=kx+b, y=kx.
Знать определения функции, области определения функции, области значений, что такое аргумент, какая переменная называется зависимой, какая независимой; понимать, что функция – это математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами, что конкретные типы функций (прямая и обратная пропорциональности, линейная) описывают большое разнообразие реальных зависимостей.
Уметь правильно употреблять функциональную терминологию (значение функции, аргумент, график функции, область определение, область значений), понимать ее в тексте, в речи учителя, в формулировке задач; находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу; строить графики линейной функции, прямой и обратной пропорциональности; интерпретировать в несложных случаях графики реальных зависимостей между величинами, отвечая на поставленные вопросы
Глава III. Степень с натуральным показателем-14ч.
Степень с натуральным показателем и её свойства. Одночлен. Функции y=x2, y=x3, и их графики.
Цель – выработать умение выполнять действия над степенями с натуральными показателями.
Знать определение степени, одночлена, многочлена; свойства степени с натуральным показателем, свойства функций у=х2, у=х3.
Уметь находить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком; решать обратную задачу; строить графики функций у=х2, у=х3; выполнять действия со степенями с натуральным показателем; преобразовывать выражения, содержащие степени с натуральным показателем; приводить одночлен к стандартному виду.
Глава IV . Многочлегы-18ч.
Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Разложение многочлена на множители.
Цель – выработать умение выполнять сложение, вычитание, умножение многочленов и разложение многочленов на множители.
Знать определение многочлена, понимать формулировку заданий: «упростить выражение», «разложить на множители».
Уметь приводить многочлен к стандартному виду, выполнять действия с одночленом и многочленом; выполнять разложение многочлена вынесением общего множителя за скобки; умножать многочлен на многочлен, раскладывать многочлен на множители способом группировки, доказывать тождества.
Глава V. Формулы сокращённого умножения-19ч.
Формулы . Применение формул сокращённого умножения к разложению на множители.
Цель – выработать умение применять в несложных случаях формулы сокращённого умножения для преобразования целых выражений в многочлены и для разложения многочленов на множители.
Знать формулы сокращенного умножения: квадратов суммы и разности двух выражений; различные способы разложения многочленов на множители.
Уметь читать формулы сокращенного умножения, выполнять преобразование выражений применением формул сокращенного умножения: квадрата суммы и разности двух выражение, умножения разности двух выражений на их сумму; выполнять разложение разности квадратов двух выражений на множители; применять различные способы разложения многочленов на множители; преобразовывать целые выражения; применять преобразование целых выражений при решении задач.
Глава VI. Системы линейных уравнений-12 ч.
Система уравнений с двумя переменными. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Решение задач методом составления систем уравнений..
Цель – познакомить учащихся со способами решения систем линейных уравнений с двумя переменными, выработать умение решать системы уравнений и прменять их при решении текстовых задач.
Знать, что такое линейное уравнение с двумя переменными, система уравнений, знать различные способы решения систем уравнений с двумя переменными: способ подстановки, способ сложения; понимать, что уравнение – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики.
Уметь правильно употреблять термины: «уравнение с двумя переменными», «система»; понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить систему уравнений с двумя переменными»; строить некоторые графики уравнения с двумя переменными; решать системы уравнений с двумя переменными различными способами.
Повторение-10 ч.
Закрепление знаний, умений и навыков, полученных на уроках по данным темам (курс алгебры 7 класса).
Планируемые результаты изучения курса алгебры
В ходе изучения алгебры в 7 классе учащиеся должны овладевать умениями обще учебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретать опыт:
планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;
решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;
исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;
ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;
поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии. поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.
В ходе освоения содержания курса учащиеся получают возможность:
• развить представления о числе и роли вычислений в человеческой практике; сформировать практические навыки выполнения устных, письменных, инструментальных вычислений, развить вычислительную культуру;
• овладеть символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения и научиться применять их к решению математических и нематематических задач;
• изучить свойства и графики элементарных функций, научиться использовать функционально-графические представления для описания и анализа реальных зависимостей;
• развить пространственные представления и изобразительные умения, освоить основные факты и методы планиметрии, познакомиться с простейшими пространственными телами и их свойствами;
• получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;
• развить логическое мышление и речь – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контр примеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• сформировать представления об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.
Требования к уровню подготовки обучающихся в 7 классе.
В результате изучения курса алгебры 7 класса обучающиеся должны:
знать/понимать
существо понятия математического доказательства; примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов.
уметь
составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
решать линейные, квадратные уравнения и рациональные уравнения, сводящиеся к ним, системы двух линейных уравнений и несложные нелинейные системы;
решать линейные и квадратные неравенства с одной переменной и их системы;
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
изображать числа точками на координатной прямой;
определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;
распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;
определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
описывать свойства изученных функций, строить их графики;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
выполнения расчетов по формулам, составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; нахождения нужной формулы в справочных материалах;
моделирования практических ситуаций и исследовании построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами при исследовании несложных практических ситуаций;
интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.
Описание материально-технического обеспечения образовательного процесса
Печатные пособия:
Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7-9 классы / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк; составитель Т.А.Бурмистрова – М.: Просвещение, 2011;
Алгебра: учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под редакцией С.А.Теляковкого – М.: Просвещение, 2008-2011;
Алгебра. Тесты. 7 класс / Ю.ПДудницын, В.Л.Кронгауз – М.: Просвещение, 2010 ;
Алгебра 7. Контрольные работы в новом формате. / Л.Б.Крайнева – М.; «Интеллект-Центр», 2011;
Дидактические материалы по алгебре для 7 класса / Л.И.Звавич, Н.В.Дьяконова, – М.: «Экзамен», 2013;
Информационно-коммуникативные средства:
Тематические презентации
Интернет- ресурсы:
[link]
Образовательный минимум
-
Алгебра 7 класс
Повторение.
Чтобы сложить или вычесть алгебраические дроби, надо:
Найти общий знаменатель дробей (произведение всех различных множителей, из которых состоят знаменатели дробей);
Привести дроби к общему знаменателю, домножив числитель и знаменатель на выбранный дополнительный множитель;
Выполнить сложение (вычитание) с числителями, знаменатель оставить без изменения;
Упростить результат, если возможно.
Чтобы умножить алгебраические дроби, надо:
а) перемножить числители и знаменатели дробей,
б) результат, если возможно, сократить:
Чтобы разделить алгебраические дроби, надо:
делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить или разделить на одно и то же число или выражение не равное нулю, то значение дроби не изменится.
Чтобы сократить дробь, надо числитель и знаменатель разделить на их общий множитель.
Сложение чисел с разными знаками.
Чтобы сложить 2 числа с разными знаками надо:
Определить число с большим модулем;
Поставить знак числа с большим модулем;
Из большего модуля вычесть меньший.
Например, -42+3= - (42-3)= - 39
Сложение отрицательных чисел.
Чтобы сложить отрицательные числа надо:
после знака = поставить знак - и найти сумму модулей этих чисел.
Например: -8-12-3 = - ( 8+12+3) = -23
Свойства арифметических действий.
Переместительный закон сложения: m + n = n + m .
Сумма не меняется от перестановки её слагаемых.
Переместительный закон умножения: m · n = n · m .
Произведение не меняется от перестановки его сомножителей.
Сочетательный закон сложения: ( m + n ) + k = m + ( n + k ) = m + n + k . Сумма не зависит от группировки её слагаемых.
Сочетательный закон умножения: ( m · n ) · k = m · ( n · k ) = m · n · k . Произведение не зависит от группировки его сомножителей.
Распределительный закон умножения относительно сложения:
( m + n ) · k = m · k + n · k
при умножении суммы на число на это число умножается каждый множитель (лежит в основе раскрытия скобок)
Распределительный закон умножения относительно вычитания:
c · ( a – b ) = c · a – c · b .
Правила раскрытия скобок.
Если к алгебраическому выражению прибавляется алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то знак «+» перед скобками и скобки можно опустить, сохранив знаки слагаемых: a + (-b + c) = a – b + c
Если из алгебраического выражения вычитается алгебраическая сумма, заключенная в скобки, то знак минус перед скобками и скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого этой алгебраической суммы на противоположный:
с- (a + b) = с - a –b
Подобные слагаемые.
Слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, а отличаются только коэффициентами, называются подобными.
2 ab
Коэффициент
15
буквенная часть
ab
Чтобы привести (сложить) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.
Пример: 0,3a +0,5a-1,5a=(0,3+0,5 – 1,5)a = -0,7a
Уравнения.
Уравнение это равенство, содержащее неизвестное, значение которого нужно найти.
Уравнение ах=b, где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Например, 3x=21
Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Корнем уравнения называют значение неизвестного (переменной), при котором уравнение обращается в верное равенство.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными уравнениями, уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.
При решении уравнений используются следующие свойства:
Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив знак, то получится уравнение, равносильное данному.
Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
Линейной функцией называется функция вида y= kx+b,(где k;b- числа).
Способы задания линейной функции: а) формулой; б) таблицей; в) графически
Графиком функции y=kx является прямая, проходящая через начало координат. Если k0,то график расположен в I и III координатных четвертях; если k0, то во II и IV .
Координатная плоскость
Зависимость у(х) называется функцией, х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная.
Прямая пропорциональная зависимость у = k·х, где k – коэффициент пропорциональности.
Линейная функция: у= k·х+в. Графиком линейной функции является прямая, значит, для построения графика достаточно построить две точки.
Степень числа. Свойства степени.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен a:
an =
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются
a m · a n = a m + n
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются
a m / a n = a m — n ,
где, m > n,
a ≠ 0
При возведении в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
(a · b)n = an·bm
При возведении в степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель.
(a / b)n = an / bn
Свойства степеней с натуральным показателем:
а) am ·an =am+n б) am:an=am-n в) ; г)
д).
Произведение числовых и буквенных множителей называется одночленом. Числовой множитель является коэффициентом одночлена.
Любой одночлен можно записать в стандартном виде, для этого: перемножаются числовые множители и их произведение ставится на первое место; перемножаются степени с одинаковыми основаниями. Их произведения ставится после числового коэффициента.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо одночлен умножить на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.
a (b +c)= ab + ac
Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить.
(а +b)(c-d)=ac-ad+bc-bd
Чтобы разделить многочлен на одночлен нужно каждый член многочлена разделить на этот одночлен и полученные результаты сложить.
(5mn -0,4mc):2 m=2,5n – 0,2c
Разложить многочлен на множители, значит представить его в виде произведения нескольких одночленов и многочленов.
Способы разложения на множители:
Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, нужно:
2cx –cy=c (2x – y)
Разложение на множители по формулам сокращенного умножения:
a2 – b2= (а – b) (а + b)
а3 – b3= (а – b) (а2+ ab + b2)
а3 + b3= (а + b) (а2 - аb + b2)
Формулы сокращенного умножения:
(а + b)2=а2 + 2аb + b2
(а - b)2 = а2 - 2аb + b2
(а + b)3=а3 + 3а2b + 3аb2 + b3
(а - b)3= а3 - 3а2b + 3аb2 - b3
Координатная плоскость
Зависимость у(х) называется функцией, х – независимая переменная (аргумент), у – зависимая переменная.
Прямая пропорциональная зависимость у = k·х, где k – коэффициент пропорциональности.
Линейная функция: у= k·х+в. Графиком линейной функции является прямая, значит, для построения графика достаточно построить две точки.
Если в уравнениях неизвестные числа одни и те же, то эти уравнения образуют систему. Решением системы уравнений с двумя неизвестными называют такую пару чисел, которые при подстановке в эту систему обращают каждое ее уравнение в верное числовое равенство.
Чтобы решить систему уравнений можно применить:
а) способ подстановки (выразить переменную из одного уравнения и подставить полученное выражение во второе уравнение);
б) способ сложения (уравнять коэффициенты при одной из переменных, выполнить вычитание уравнений);
в) графический способ (построить графики обоих уравнений, найти координаты общих точек).
