МКОУ Верхнегрязнухинская СШ
Программа факультативного курса
«Решение текстовых математических задач»
Класс - 8
Срок реализации – 2016-2017 учебный год
Учитель Свистуленко Наталья Николаевна
с. Верхняя Грязнуха
2016 г.
Пояснительная записка.
Изучение математики в основной школе нацелено на формирование математического аппарата для решения задач из математики, смежных предметов, окружающей реальности. Язык алгебры подчеркивает значение математики, как языка для построения математических моделей, процессов и явлений реального мира Одной из основных задач изучения алгебры является развитие алгоритмического мышления, необходимого, в частности, для освоения курса информатики; овладение навыками дедуктивных рассуждений. Умение составлять математические модели является одним из наиболее значимых для решения различных прикладных задач. Для учащихся составление математических моделей представляет зачастую большую сложность.
Большинство учащихся не в полной мере владеют техникой решения текстовых задач. В ГИА для выпускников 9-х классов задания 2-ой части в модуле «Алгебра» содержат задачу, которая оценивается максимумом баллов, за нетрадиционной формулировкой этой задачи учащимся необходимо увидеть типовые задачи, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. В вариантах ЕГЭ по математике задание В13 также текстовая задача. По этим причинам возникла необходимость более глубокого изучения традиционного раздела элементарной математики: решение текстовых задач. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе, поэтому представленный курс «Решение текстовых задач» введён в 8-ом классе.
Этот курс сможет удовлетворить потребности учеников, склонных к более глубокому изучению математики, а также дает возможность проявиться каждому ученику. Преподавание факультатива строится как повторение и углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса по математике основной школы. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач, требующих высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Занятия дают возможность шире и глубже изучить программный материал, задачи повышенной трудности, глубже рассмотреть теоретический материал и поработать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрить принцип опережения. Регулярно проводимые занятия по расписанию дают разрешить основную задачу: как можно полнее развивать потенциальные творческие способности каждого ученика, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала, повысить уровень математической подготовки учащихся.
Данный курс имеет общеобразовательный, межпредметный характер, освещает роль и место математики в современном мире. Всего на проведение занятий отводится 19 часов. Курс состоит из семи тем. Темы занятий независимы друг от друга и могут изучаться в любом разумном порядке. Первая тема «Текстовые задачи и техника их решения» является обзорной по данному разделу математики. Темы: «Задачи на проценты», «Задачи на сплавы, смеси, растворы», «Задачи на запись чисел», « Задачи на работу», «Задачи повышенной трудности», значительно совершенствуют навыки учащихся в решении текстовых задач. Изучаемый материал примыкает к основному курсу, дополняя его историческими сведениями, сведениями важными в общеобразовательном или прикладном отношении, материалами занимательного характера при минимальном расширении теоретического материала. Сложность задач нарастает постепенно. Прежде, чем приступать к решению трудных задач, надо рассмотреть решение более простых, входящих как составная часть в решение сложных.
В ходе изучения материала данного курса целесообразно сочетать такие формы организации учебной работы, как практикумы по решению задач, лекции, анкетирование, беседа, тестирование, частично-поисковая деятельность.
Цель факультативного курса:
развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики;
систематизировать имеющиеся знания о типах и способах решения текстовых задач;
выявить уровень математических способностей учащихся и их готовность в дальнейшем к профильному обучению в школе и вузе.
Задачи:
повысить интерес к предмету;
формировать математические знания, необходимые для применения в практической деятельности, в частности при решении текстовых задач;
формировать высокий уровень активности, раскованности мышления, проявляющейся в продуцировании большого количества разных идей, возникновении нескольких вариантов решения задач, проблем;
развивать мышление учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания;
формировать умение выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоваться методами аналогии и идеализаций;
.
Методы и формы обучения:
личностно-ориентированный подход;
самостоятельное добывание знаний;
тренировка в применении приобретённых знаний;
парная, фронтальная, групповая, самостоятельная работа, работа с тестами.
Для успешного достижения поставленных целей и задач при формировании групп желательно учитывать не только желание ребенка заниматься, но и его конкретные математические способности.
Программа рассчитана на 34 учебных часов.
Ожидаемые результаты:
уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, находить наиболее рациональные способы решения задач;
уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;
уметь использовать дополнительную математическую литературу с целью углубления материала основного курса, расширения кругозора и формирования мировоззрения, раскрытия прикладных аспектов математики.
Инструментарием для оценивания результатов могут быть: тестирование; анкетирование; творческие работы
Тема 1. Текстовые задачи и техника их решения (1ч).
Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приёмами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их системы. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертёж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: что такое текстовая задача; этапы решения текстовой задачи; способы решения текстовой задачи;
уметь: решать простейшие текстовые задачи; составлять математические модели текстовых задач.
Тема 2. Задачи на движение (5ч).
Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Графики движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач. Решение текстовых задач с использованием элементов геометрии. Особенности выбора переменных и методики решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи на движение и её значение для составления математической модели.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: что такое задача на движение; формулы зависимости функции пути, скорости и времени;
уметь: решать текстовые задачи на движение; записывать условие задачи; составлять уравнение по условию задачи; составлять графики движения материальной точки в прямоугольной системе координат, читать графики.
Тема 3. Задачи на сплавы, смеси, растворы (2ч).
Формула зависимости массы или объёма вещества в сплаве, смеси, растворе («часть») от концентрации («доля») и массы или объёма сплава, смеси, раствора («всего»). Особенности выбора переменных и методики решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи на сплавы, смеси, растворы и её значение для составления математической модели.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: формулы зависимости массы или объема вещества в сплаве, или в смеси от концентрации ; методы решения задач на смеси и сплавы;
уметь: составлять таблицы данных для анализа математической модели; решать текстовые задачи на смеси и сплавы.
Тема 4. Задачи на работу (2ч)
Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: формулу зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения;
уметь: решать различные текстовые задачи на работу.
Тема 5. Задачи на проценты (3ч)
Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: формулу процентов и сложных процентов;
уметь: решать текстовые задачи на проценты.
Тема 6. Задачи на числа (2ч)
Представление многозначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. Особенности выбора переменных и методика решения задач на числа.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: различные типы задач на числа; формы записи различных чисел с заданными условиями ( кратное числу п, делящееся с остатком и т .д.);
уметь: составлять формулы записи различных чисел с заданными условиями; решать задачи с числами.
Тема 78. Реальная математика.
Работа с графиками, таблицами, диаграммами.
В результате изучения раздела учащиеся должны
знать: различные типы задач;
уметь: применять полученные математические знания в решении прикладных задач и задач с практическим содержанием.
Тема 8. Геометрические задачи.
Площадь, периметр.
знать: различные типы задач;
уметь: находить площадь, периметр любой геометрической фигуры.
Тема 9. Задачи повышенной трудности (3ч)
Текстовые задачи из ГИА, ЕГЭ.
знать: содержание заданий ЕГЭ и ГИА на текстовые задачи;
уметь: решать текстовые задачи ГИА и ЕГЭ
Тематическое планирование
занятия
Содержание учебного материала
Кол-во
часов
Вид
занятий
Дата
По плану
фактич
I. Введение в факультативный курс.
1
1
Текстовые задачи и техника их решения.
1
Лекция с необходимым минимумом задач.
II. Задачи на движение.
5
2-3
Движение по течению и против течения.
2
Практикумы с элементами дидактической игры.
4-5
Равномерное и равноускоренное движение по прямой.
2
Беседа.
Групповая работа.
Практикум.
6
Движение по окружности.
1
Комбинированные занятия.
III. Задачи на сплавы, смеси, растворы.
2
7-8
Задачи на сплавы, смеси, растворы.
2
Комбинированное занятие.
IV. Задачи на работу.
2
9-10
Задачи на работу.
2
Лекция с необходимым минимумом задач.
V. Задачи на проценты.
3
11-12
Задачи на проценты.
2
Комбинированное занятие.
13
Задачи с экономическим содержанием. Формула сложных процентов.
1
Практикум по решению задач.
VI. Задачи на числа.
2
14-15
Задачи на числа.
2
Лекция с необходимым минимумом задач.
VII. Реальная математика.
5
16-20
Графики
Лекция с необходимым минимумом задач.
Таблицы
Диаграммы
VIII. Геометрические задачи
5
21-25
Периметр.
Площадь.
Построение.
Лекция с необходимым минимумом задач.
VIII. Задачи повышенной трудности.
6
28-33
Решение задач повышенной трудности.
5
Практикум по решению задач.
34
Итоговое занятие. Решение задач
1
Математический калейдоскоп.
Итого часов
34
Формы и методы проведения занятий.
Изложение материала может осуществляться с использованием традиционных словесных и наглядных методов: лекция, рассказ, беседа, демонстрация видеоматериалов, чертежей, схем, таблиц..
При проведении занятий целесообразно учитывать индивидуальные особенности учащихся и использовать разноуровневые задания с учётом учебной программы по математике. На занятиях используется соответствующий наглядный материал, возможности новых информационных технологий, технических средств обучения.
Методическое обеспечение.
Методические рекомендации.
Текстовые (сюжетные) задачи – это наиболее древний вид школьных задач. Они всегда широко использовались, и будут использоваться в обучении математике. Они помогают учащимся понять сущность и методику применения математического моделирования, сформировать общий подход к решению любых задач, однако в школьном курсе математики отводится недостаточно времени решению сюжетных (текстовых) задач. Это и определило необходимость в составлении данного курса.
Тема 1. Вводное занятие. На вводном занятии рекомендуется:
· объяснить учащимся цели данного элективного курса;
· поставить необходимые задачи;
· рассказать кратко о том, что будет изучаться, выяснить всевозможное применение задач в жизнедеятельности человека (с помощью учащихся);
· объяснить, каким образом будут подводиться итоги изучения курса и оцениваться работа учащихся.
Тема 2, 4 Задачи на физические процессы (движение, работа)
Учащиеся должны быть знакомы со способами решения задач, а так же должны уметь применять данные методы на практике.
Основное содержание:
В рамках изучения данной темы с учащимися следует рассмотреть задачи:
· на работу;
· на равномерное движение;
· движение по и против течения;
· физические задачи (тело брошенное под углом к горизонту…). Итоговый контроль по этим блокам можно провести в виде уроков-зачётов.
Тема 3. Задачи на химические процессы (сплавы, смеси, растворы)
Задачи на химические процессы, или как их по-другому называют на сплавы, растворы и смеси, в школьных учебниках и задачниках представлены в недостаточном количестве, поэтому включение этой темы в факультативный курс даёт возможность, в некоторой мере, ликвидировать этот недостаток.
В процессе анализа текстовых задач этого блока учащиеся приобретают некоторые навыки исследования и знакомятся с новыми для них методами решения задач.
Поэтому им предлагается достаточное время для индивидуальной работы. Итоговый контроль по этому блоку можно провести в виде фронтальной беседы, написания «математического сочинения»
Основное содержание:
На основе определения процентной концентрации вещества в смеси и опорных задач на проценты рассматриваем задачи:
1) По данной общей массе смеси (раствора, сплава) и процентного содержания одного из компонентов найти новое количество компонента с изменённым процентным содержанием компонента;
2) Нахождение первоначальной массы смеси, содержащей изменение массы одного из компонентов и изменения процентного его содержания.
Тема 5. Задачи на проценты, задачи с экономическим содержанием
Экономика и математика связаны между собой уже тысячелетия. Само появление чисел, их названия и обозначения, создание систем счисления и всего того, что ныне составляет основу математики, было вызвано к жизни задачами практики, производства, обмена и торговли.
И по мере возникновения, становления и развития математики укреплялись и ее связи с экономикой - наукой об изучении закономерностей поведения людей в процессе деятельности, направленной на создание необходимых им благ, поэтому не удивительно, что и современная экономика широко использует математические методы.
Эти методы позволяют планировать экономические процессы, делать прогнозы, давать рекомендации по повышению их эффективности.
Разбирая с учащимися задачи с экономическим содержанием необходимо выделить время, для того что бы объяснить им основные экономические процессы, к которым относятся:
· купля-продажа;
· инфляция;
· кредитование;
· рост вкладов.
Тема 6. В каждой текстовой задаче можно выделить:
· числовые значения величин, которые называются данными, или известными (их должно быть не меньше двух);
· некоторую систему функциональных зависимостей в неявной форме, взаимно связывающих искомое с данными и данные между собой (словесный материал, указывающий на характер связей между данными и искомыми);
· требование или вопрос, на который надо найти ответ.
Существуют различные методы решения данного класса задач:
· арифметический метод;
Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами. Они отличаются друг от друга логикой рассуждений, выполняемых в процессе решения задачи. Выделяют два основных подвида арифметического метода решения: составление пропорций по условию задачи и нахождение четвертого пропорционального; получение числового выражения или последовательности числовых выражений и нахождение из значений.
· алгебраический метод;
Алгебраический метод обеспечивает общий подход, общий принцип в анализе и решении. Его отличие от арифметического метода прежде всего состоит в введении неизвестной величины и её специального обозначения. Итак, при алгебраическом методе ответ на вопрос задачи находится в результате составления и решения уравнения. В зависимости от выбора неизвестного (неизвестных), для обозначения буквой (буквами), от хода рассуждений можно составить различные уравнения по одной и той же задаче. В этом случае можно говорить о различных алгебраических способах решения этой задачи.
При алгебраическом методе решения задачи важно не вычисление конкретных значений величин, а выявление и выражение основных зависимостей между явными и неявными значениями величин, входящих в условие задачи.
При алгебраическом методе решения текстовой задачи выполняются следующие этапы:
· разработка математической модели;
· поиск алгоритма решения;
· вычисление и исследование.
· функционально-графический метод решения текстовых задач;
Функционально-графический метод решения текстовых задач состоит в переводе условия задачи на язык функций и использовании свойств этих функций и свойств их графиков для решения задачи.
Тема 7. Реальная математика.
Математические знания прикладных задач и задач с практическим содержанием. Применение в жизненных ситуациях.
Тема 8. Геометрический метод.
Геометрический метод решения текстовых задач основан на переводе условия задачи на язык геометрических величин и использовании метрических свойств геометрических фигур для ее решения. Геометрический метод очень часто используется в комбинации с другими методами решения сюжетных задач как средство получения образа задачной ситуации или как средство получения дополнительных законов связи величин.
Тема 9. Задачи повышенной сложности.
Текстовые задачи многими людьми, окончившими школу, вспоминаются как самые трудные. Для того чтобы понять, в чем состоит сложность решения этих задач, необходимо проанализировать собственный опыт их решения.
Все темы входят в КИМы ГИА для 9класса и ЕГЭ для 11 класса, показать учащимся образцы КИМов, «донести» важность изучения данного факультативного курса.
Задачи на движение
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч.
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 24 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 16 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 98 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 7 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 7 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Два велосипедиста одновременно отправились в 143-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 2 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 2 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ дайте в км/ч.
Моторная лодка прошла против течения реки 195 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 14 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 308 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 44 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 182 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 30 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 20 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.
Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 234 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 4 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 8 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Задачи на смеси и сплавы
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй - 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго сплава?
В сосуд, содержащий 180 г 70%-го водного раствора уксуса добавили 320 г воды. Найдите концентрацию уксусной кислоты в получившемся растворе.
Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором - 12:5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?
Смешали 10%-й раствор серной кислоты с 30%-м раствором той же кислоты. В результате получили 600 г 15%-го раствора серной кислоты. Сколько взяли того и другого раствора?
Смешав 40% и 15% растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20% раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80% раствора той же кислоты, то получили бы 50%-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40% -го и 15% растворов кислоты было смешано?
Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г 70% -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?
К 12 кг сплава меди и олова добавили 8 кг другого сплава, содержащего те же металлы в обратной пропорции, получив в итоге сплав, содержащий 55% меди. Сколько процентов меди было в каждом из исходных сплавов?
Раствор соли массой 40 кг разлили в два сосуда так, что во 2-ом сосуде чистой соли оказалось на 2 кг больше, чем в 1-ом. Если бы во 2-ой сосуд добавили ещё 1 кг соли, то количество соли в нём стало бы вдвое больше, чем в 1-ом сосуде. Сколько раствора было в 1-ом сосуде?
Имеется два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Определить, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплавке равных по весу частей первого и второго слитков получается слиток, в котором содержится 35% золота.
Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый 40% и второй 60%. Эти растворы смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20%-ый раствор. Если бы вместо 5 кг чистой воды добавили 5 кг 80%-го раствора, то получили бы 70%-ый раствор. Сколько было 40%-го и 60%-го растворов
Задачи на работу
Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше?
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров?
На изготовление 16 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 378 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба?
Заказ на 153 детали первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 8 деталей больше? [pic]
На изготовление 459 деталей первый рабочий затрачивает на 10 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 567 деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 15 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за 2 дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за 3 дня?
Десять работников должны были выполнить работу за 8 дней. Когда они проработали 2 дня, то оказалось, что закончить работу необходимо уже через 3 дня. Сколько еще нужно взять работников, если известно, что производительность труда у работников одинаковая?
Студенческая бригада подрядилась выложить плиткой пол площадью 210 м [pic] . Приобретая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со второго, выкладывали на 1,5 м [pic] больше, чем в предыдущий, и запасов плитки им хватило ровно на 9 дней работы. Планируя, что производительность труда будет увеличиваться таким образом, бригадир определил, что для завершения работы понадобится еще 6 дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если одной коробки хватает на 1,3 м [pic] , а для замены некачественных плиток понадобится 2 коробки?
Задачи на проценты и сложные проценты
1. В 2008 году в городском квартале проживало 20000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 9%, а в 2010 году — на 4% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?
2. В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на 36% дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?
3. Восемь рубашек дешевле куртки на 2%. На сколько процентов двенадцать рубашек дороже куртки?
4. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась втрое, общий доход семьи вырос бы на 108%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
5. Дима, Артем, Гриша и Игорь учредили компанию с уставным капиталом 150000 рублей. Дима внес 24% уставного капитала, Артем — 60000 рублей, Гриша — 0,22 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Игорь. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 600000 рублей причитается Игорю? Ответ дайте в рублях.
6. Акционерное общество «МММ-лимитед» объявило котировку своих акций на ближайшие 3 месяца с приростом в процентах последовательно по месяцам на 243 %, 412 % и 629 % по отношению к каждому предыдущему месяцу. Каков средний ежемесячный рост котировок акций за указанный период?
7. Себестоимость изделия понизилась за 1 полугодие на 10 %, а за второе – на 20 %. Определить первоначальную себестоимость изделия, если новая себестоимость стала 576 руб.
8. Пусть вкладчик положил на счет в банке 25000р. и в течение 3-х лет не будет снимать деньги со счета. Подсчитаем, сколько денег будет на счете вкладчика через 3 года, если банк выплачивает 30% в год, и проценты после каждого начисления присоединяются к начальной сумме 25000р., т.е. капитализируются.
9. Зарплата служащему составляла 20000р. Затем зарплату повысили на 20%, а вскоре понизили на 20%. Сколько стал получать служащий?
10. На товар снизили цену сначала на 20%, а затем еще на 15%. При этом он стал стоить 23,8 тыс.р. Какова была первоначальная цена товара?
11. Завод увеличивал объем выпускаемой продукции ежегодно на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что за 2 года объем выпускаемой продукции увеличивался на 21%.
12. Цену товара первоначально понизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 30% и, наконец, после пересчета произвели снижение на 50%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
Тесты для входного контроля.
Тест №1.
Дневная норма потребления витамина С составляет 60 мг. Один мандарин в среднем содержит 35 мг витамина С. Сколько примерно процентов дневной нормы витамина получил человек, съевший один мандарин?
а) 170% б) 58% в) 17% г) 0,58%
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25% , а в ноябре еще на 20% . Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?
Ответ________
Флакон шампуня стоит 75 рублей. Какое наибольшее число флаконов можно купить на 500 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20%?
Ответ________
В декабре виноград подорожал на 25% и стал стоить 200 рублей за килограмм. Сколько рублей стоил 1 кг винограда до подорожания в декабре?
Ответ: _______________________
Известно, что стул стоит 1000 рублей и составляет 20 % от цены компьютерного стола. Сколько рублей заплатит покупатель за комплект, состоящий из стола и стула?
Ответ_____________
Тест №2
Цена килограмма орехов а рублей. Сколько рублей надо заплатить за 300 граммов этих орехов?
а) [pic] б) 300а в) 0,3а г) [pic]
Шарик стоит 3 руб. 40 коп. Какое наибольшее число шариков можно купить на 40 рублей?
Ответ________
В коробке 110 кусков мела. За месяц в школе расходуется 400 кусков мела. Какое наименьшее количество коробок мела нужно купить в школу на 6 месяцев?
Ответ________
В кафе проходит рекламная акция: покупая три чашки кофе, покупатель получает четвёртую чашку в подарок. Чашка кофе стоит 45 рублей. Какое наибольшее число чашек кофе получит покупатель за 250 рублей? Ответ________
В магазин привезли учебники по биологии для 7 - 9-х классов, по 50 штук для каждого класса. В шкафу 4 полки, на каждой полке помещается 30 книг. Сколько шкафов можно полностью заполнить новыми книгами по биологии, если все книги имеют одинаковый формат? Ответ________
Майка стоит 180 рублей. Какое наибольшее число маек можно купить на 600 рублей во время распродажи, когда скидка составляет 20%? Ответ________
Оптовая цена рулона обоев 80 рублей. Розничная цена на 30% выше оптовой. Какое наибольшее число таких рулонов можно купить по розничной цене на 800 рублей? Ответ________
Телевизор стоил 8400 рублей. После снижения цены он стал стоить 6720 рублей. На сколько процентов была снижена цена на телевизор? Ответ________
Кириллу нужно 120 000 руб. для поступления в платную аспирантуру. Он взял в банке кредит на год под 12%. Для погашения кредита необходимо ежемесячно вносить в банк одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей Кирилл должен вносить в банк ежемесячно? Ответ________
Автолюбитель за месяц проехал 600 км. Стоимость 1 л бензина 24 руб. Средний расход бензина на 100 км составляет 6 л. Сколько рублей потратил автолюбитель на бензин за этот месяц? Ответ_______
Тест №3.
Какое уравнение соответствует условию задачи, если буквой х обозначена скорость велосипедиста (в км/ч)?
а) [pic] б) [pic] в)1,5(х+8)=4х г) 4(х-8)=1,5х
Решить уравнение:
3-2х = 6 - 4(х+2)
Ответ_______
Турист во время прохождения своего маршрута шёл пешком и ехал на велосипеде. Известно, что 30 % пути он прошёл пешком, что составило 6 км.
Найдите расстояние, которое турист проехал на велосипеде?
Ответ_____________________
Путь от поселка до железнодорожной станции пешеход прошел за 4 часа, а велосипедист проехал за 1,5 ч. Скорость велосипедиста на 8 км/ч больше скорости пешехода. С какой скоростью ехал велосипедист? Ответ________
Грузовик сначала едет 3 минуты с горы, а затем 9 минут в гору. На обратный путь он тратит те же 12 минут. Во сколько раз скорость грузовика при движении с горы больше, чем скорость в гору? Ответ: _______________________
Из двух лодочных станций, расположенных на реке, одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки с одинаковой собственной скоростью. Началась гроза, и одна из лодок вернулась на станцию, пройдя по течению 20 минут, а другая повернула обратно через 30 минут после выхода со станции. Обратный путь обеих лодок в сумме занял 50 минут. Во сколько раз скорость лодки по течению больше скорости лодки против течения? (записать подробное решение задачи)
Итоговая зачетная работа.
Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99% . Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98% . Какой стала масса грибов после подсушивания?
а)55 кг б) 60 кг в) 45 кг г) 50 кг
Я иду от дома до школы 30 мин. а мой брат – 40 мин. Через сколько минут я догоню брата, если он вышел из дома на 5 мин раньше меня?
а) 14 мин б) 15 мин в) 10 мин г) 16 мин
Даны два положительных числа. Одно из них увеличили на 1%, другое – на 4%. Могла ли их сумма увеличиться на 3%? Чему равны эти числа?
а) 100 и 200 б) 200 и 300 в) 100 и 300 г) 200 и 150
Школьник прочитал книгу за 3 дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и еще 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и еще 20 страниц, а в третий день -0,75 нового остатка и последние 30 страниц. Сколько страниц в книге?
а) 270 б) 230 в) 250 г) 420
Сумма двух чисел равна 13,5927. Если в большем из них перенести запятую на один знак влево, то получим меньшее число. Чему равны эти числа?
а) 1,2354 и 12,357 б) 1,2357 и 12,357 в) 1,3357 и 13,357 г) -1,2357 и 12,357
Малыш может съесть банку варенья за 6 минут, а Карлсон – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?
а) За 4 мин б) За 3 мин в) За 2 мин г) За 1 мин
Решить уравнение [pic] .
Теплоход прошел 4 км против течения реки и затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.
Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48 ч. За какое время каждый из них может вырыть котлован, работая в отдельности, если первому нужно на40 ч больше, чем второму?
Расстояние между городами А и В равно 435 км. Из города А в город В со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?
Примеры задач на движение
Рассмотрим простейшую задачу на движение.
Задача 1. Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 минут, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона потерянные 5 минут. С какой скоростью должен был пройти поезд перегон по расписанию?
Решение:
Решение задачи сводится к нескольким этапам.
1 этап – составление математической модели
По расписанию: пусть х км/ч– скорость поезда по расписанию. Длина перегона: s=60 км. Для равномерного прямолинейного движения верна формула:
[pic]
Тогда время, за которое поезд должен был пройти перегон по расписанию, выражается следующим образом: [pic] .
Фактически: скорость поезда была увеличена, то есть была равна (х+10) км/ч. Длина перегона осталась той же: s=60 км.
Тогда время, за которое поезд реально проехал перегон, выражается следующим образом: [pic] .
Разность между временем по расписанию и фактическим временем и равна тем 5 минутам, которые простоял поезд на семафоре. Кроме того, важно помнить, что поскольку все величины в задаче измеряются в километрах и часах, то и минуты необходимо перевести в часы. Важно помнить, что 1 мин = [pic] . Получаем следующее уравнение:
[pic]
2 этап - работа с математической моделью
Решим полученное уравнение: [pic] . Находим, что [pic] , [pic] .
3 этап - ответ на поставленный вопрос в задачах на движение
Так как за х мы обозначали скорость, а скорость не может быть отрицательной, то единственным вариантом ответа остается 80 км/ч.
Ответ: 80 км/ч.
Выполнив все три этапа, мы: получили математическую модель; решили полученное уравнение; отобрали корни, которые нам нужны.
Как видно из решения данной задачи, самый сложный этап – составление математической модели.
Второй вариант оформления решения задачи (таблица)
В нашей задаче 1 участник – поезд, но 2 случая: фактическое движение и движение по расписанию (планируемое):
Данная таблица помогает осмыслить задачу и составить соответствующее уравнение.
Пример решения задачи на движение по реке
Рассмотрим пример.
Задача 2. Пристани А и В расположены по реке, причем В на 80 км ниже по течению, чем А. Катер прошел путь из А в В и обратно за 8 часов 20 минут. За какое время катер проходит путь из А в В и за какое – из В в А, если его скорость в стоячей воде равна 20 км/ч?
Решение
Пусть х км/ч– скорость течения реки, тогда: (х+20) км/ч– скорость по течению реки;
(20-х) км/ч– скорость против течения реки.
Путь, который проходит катер между пристанями, равен 80 км. То есть, s=80 км.
Тогда время, которое затратит катер на движение по течению реки, равно:
[pic]
Против течения:
[pic]
Общее время вычисляется по формуле:
[pic]
Получаем следующее уравнение:
[pic]
Это уравнение легко решается. Находим, что [pic]
Так как скорость течения не может быть отрицательной, то скорость течения равна 4 км/ч.
Тогда время, которое катер потратил на движение по течению реки:
[pic]
А время, которое катер потратил на движение против течения реки: [pic]
Составим таблицу для данной задачи:
С помощью этой таблицы также можно легко составить уравнение для решения данной задачи.
Рассмотрим геометрические задачи, а также некоторые другие самые разные задачи.
Задача 1. Периметр прямоугольного треугольника равен 48 см. Один катет этого треугольника на 4 см больше другого. Чему равны стороны прямоугольного треугольника?
Решение:
1 этап – Составление математической модели
Рассмотрим данный прямоугольный треугольник (Рис. 1).
[pic]
Рис. 1
Обозначим меньший из катетов как х см. Тогда второй катет равен (х+4) см. Выразим длину гипотенузы. Для этого воспользуемся тем, что периметр данного треугольника равен 48 см. Обозначим гипотенузу как с. Тогда: х+х+4+с=48, отсюда с = (44-2х) см.
Теперь запишем теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:
[pic] .
Получили математическую модель данной задачи.
Перейдем ко второму этапу решения задачи.
2 этап – Работа с математической моделью
Решая уравнение получаем, что [pic] , а [pic] .
3 этап – Ответ на вопрос задачи
Так как за х был обозначен меньший катет треугольника, то теперь найдем оставшиеся стороны треугольника в обоих случаях.
Если х = 80 см, то второй катет равен 84 см, а гипотенуза с = 44-2*80=-116 см. Поскольку длина гипотенузы не может быть отрицательной, то меньший катет не может равняться 80 сантиметрам.
Если х = 12 см, то второй катет равен 16 см, а гипотенуза с = 44-2*12=20 см. Это и будет ответ данной задачи.
Ответ: 12см, 15см, 20см.
Задача 2. Задумано двухзначное число. Известно, что сумма квадратов цифр заданного числа равна 58. Если цифры заданного числа поменять местами, то получится двухзначное число, которое больше заданного на 36. Какое число задумали?
Решение.
Обозначим задуманное число [pic] . Что означает эта запись? Горизонтальная черта сверху над числом означает, что мы записали не произведение чисел [pic] , а именно двухзначное число, первая цифра которого (количество десятков) – [pic] , а вторая – [pic] (количество единиц).
То есть, фактически, можно записать это следующим образом: [pic] .
Рассмотрим несколько поясняющих примеров. Число 31 – это число, которое состоит из 3 десятков и 1 единицы. Получаем: [pic] . А число 78 – это число, которое состоит из 7 десятков и 8 единиц. Или: [pic] . Это правило записи чисел в привычной нам десятичной системе счисления. А вот если мы переставим цифры в числе местами, то получим новое число (это свойство обусловлено тем, что десятичная система является позиционной, то есть «вес» цифры зависит от позиции, на которой она расположена). Например, если переставить цифры в числе 31, то получим число 13: [pic] . Аналогично, если переставить цифры в числе 78, то получим число 87: [pic] .
Если рассмотреть более общий пример: [pic] .
2 и 3 этапы (работа с математической моделью и ответ на поставленный вопрос) для текстовой задачи
Вернемся к решению сформулированной задачи. Мы знаем про [pic] только то, что это цифры (то есть элементы множества [pic] ), причем [pic] не может равняться 0 (так как первая цифра двузначного числа не меньше 1).
Запишем теперь известные нам условия. Во-первых, сумма квадратов цифр исходного числа равна 58. Получаем: [pic] .
Кроме того, мы знаем, что если переставить цифры местами, то получится число, которое на 36 больше исходного. После перестановки цифр получится число: [pic] . Запишем равенство: [pic] . Поделим обе части равенства на 9, получим: [pic] . Получаем систему уравнений:
[pic]
Решив систему, получаем, что [pic] , [pic]
Так как цифра числа не может быть отрицательной, то х = 3, тогда у = 7. Значит, задуманное число равно 37.
Ответ: 37.
Решение простейшей задачи
Задача 1. Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.
Решение:
Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения: S = V*T
S – расстояние,
V – скорость,
T – время.
Переведем 2 часа 48 минут в часы, это составит [pic]
[pic]
Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим математическую модель.
Если лодка движется по течению, то она имеет скорость х + у км/ч и пройдет 14 км за время [pic] Если лодка движется против течения, она идет со скоростью х – у км/ч и пройдет 14 км за время [pic] .
Мы получили математическую модель. То же самое можно получить с помощью таблицы.
Решим полученную систему.
[pic]
Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.
Перед тем как приступить к более сложным задачам, решим две опорные задачи на движение.
1. Опорная задача (сближение).
Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг другу два поезда.
Дано: АВ = S
x, y – скорости поездов, км/ч.
Найти: время t до их встречи, и расстояния [pic] пройденные до момента их встречи каждым из поездов.
Решение:
[pic]
Найдем скорость сближения: [pic]
Найдем время t до встречи: [pic]
Найдем искомые расстояния: [pic]
Ответ: [pic]
2. Опорная задача.
Первый турист вышел из пункта А. Одновременно второй турист вышел из пункта В. Оба двигаются в направлении луча АВ. Первый догнал второго в пункте С.
Дано: [pic]
x, y – скорости первого и второго туристов, км/ч.
Найти: время t до встречи туристов, расстояния [pic] пройденные первым и вторым туристами до встречи.
Решение:
[pic]
Найдем скорость сближения: [pic]
Найдем время t до встречи: [pic]
Найдем искомые расстояния: [pic]
Ответ: [pic]
Решение задач
Задача 2. Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти скорость каждого поезда.
Решение:
Пусть x км/ч, y км/ч – скорости первого и второго поездов.
S – расстояние между городами.
Рассмотрим вначале первый случай. Легко увидеть, что это задача на сближение, т.е. мы сможем пользоваться данными, полученными в первой опорной задаче.
[pic]
700 км оба поезда пройдут за 5 часов со скоростью сближения [pic]
[pic]
Второй случай: те же условия, но первый поезд начал движение через 7 часов после второго. За 7 часов второй поезд прошел [pic] км, осталось [pic] км, и только тогда начинает движение первый поезд. Начинается сближение. Поездам нужно пройти [pic] км с общей скоростью [pic] и они встретятся через 2 часа, т.е. [pic]
Мы получили математическую модель.
Упростим полученные уравнения.
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч.
Задача 3. Пристани В и С находятся ниже пристани А по течению реки соответственно на 30 км и 45 км. Моторная лодка отходит от пристани А, доходит до С, сразу поворачивает назад и приходит в В, затратив на весь путь 4 часа 40 минут. В другой раз эта же лодка отошла от пристани, дошла до А, сразу повернула назад и пришла в В, затратив на весь путь 7 часов. Чему равна собственная скорость лодки и скорость течения реки?
Решение:
Пусть x км/ч – собственная скорость лодки, y км/ч – скорость течения реки.
Время движения переведем в часы, 4 часа 40 минут = [pic]
[pic]
Опишем первый рейс: [pic]
Из А в С лодка шла 45 км по течению со скоростью [pic] км/ч, время в пути составило [pic] ч.
Из С в В лодка шла 15 км против течения, т.е. [pic] ч. Суммарное время в пути составило [pic] ч, т.е. [pic]
Опишем второй рейс: [pic]
Из С в А лодка шла 45 км против течения, т.е. была в пути [pic] ч. Из А в В шла 30 км по течению, т.е. была в пути [pic] ч. Общее время в пути составило 7 ч, т.е. [pic]
Решаем полученную систему:
[pic]
Произведем замену переменных: [pic]
[pic]
Переходим к старым переменным:
[pic]
Ответ: 12 км/ч, 3 км/ч.
Задача для самостоятельного решения
1) Катер проплыл 9 км по течению реки и 1 км против течения за то же время, за какое плот проплывает 4 км по этой реке. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера равна 8 км/ч?
2) Из пункта А вышел пешеход, а через 1 час 40 минут после этого в том же самом направлении выехал велосипедист, который догнал пешехода на расстоянии 12 км от пункта А. Найдите скорости пешехода и велосипедиста, если за 2 часа пешеход проходит на 1 км меньше, чем велосипедист проезжает за 1 час.
3) Велосипедист съездил из села на станцию и вернулся назад. На обратном пути он увеличил скорость на 1км/ч в сравнении с движением на станцию и потратил на него на 8 минут меньше. С какой скоростью ехал велосипедист на станцию, если расстояние между селом и станцией 32 км?
4)Для перевозки 60 тонн груза было заказано определенное количество грузовиков. Из-за неисправности двух из них на каждую машину пришлось грузить на 1 тонну больше, чем планировалось. Сколько машин должно было работать на перевозке груза?
5) Несколько учеников поделили поровну между собой 180 яблок. Если бы учеников было на 3 меньше, то каждый из них получил бы на 3 яблока меньше. Сколько было учеников?
6) Печатая каждый день на 3 листа больше, чем планировалось, машинистка закончила работу объемом 60 листов на 1 день раньше, чем планировала. Сколько листов она печатала за один день.
Задача 1. Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир — на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург — Москва — Владимир?
Решение.
Всего получается 8 способов путешествия.
Петербург Поезд, самолет, автобус, теплоход
Москва
Автобус, электричка
Владимир
Записываем вывод как простое утверждение: если некоторое действие можно осуществить m различными способами, после чего другое действие — п различными способами, то два этих действия можно осуществить m • п различными способами.
Задача 2. В розыгрыше чемпионата по футболу участвуют 12 команд. Сколькими способами могут быть распределены: а) золотая медаль; б) золотая и серебряная медали; в) золотая, серебряная и бронзовая медали?
Решение.
а) 12 (любая команда);
б) 12 • 11 = 132 (по правилу умножения серебряная медаль разыгрывается уже между 11-ю командами);
в) 12-11 • 10 = 1320 (это обобщение правила умножения для трех действий).
Задача 3. Сколько существует вариантов кода для входной двери, состоящего из трех цифр?
Решение.
1. Если рассматривать случай последовательного набора, то цифры (их 10) могут повторяться. Тогда по правилу умножения:
10 • 10 • 10 = 1000 (вариантов кода).
2. В случае одновременного набора трех цифр получается:
10 • 9 • 8 = 720 (вариантов кода).
Задачи для самостоятельного решения (на занятиях в кружке и дома)
Задача 4. Сколько существует четырехзначных чисел, в записи которых: а) не повторяется ни одна из цифр; б) цифры могут повторяться; в) все цифры — нечетные;
г) все цифры — четные? Ответ: а) 9 • 9 • 8 • 7 = 4536;
б) 9 • 10 • 10 • 10 = 9000;
в) 5 • 5 • 5 • 5 = 625;
г) 4 • 5 • 5 • 5 = 500.
Задача 5. Известно, что у всех жителей селения разные инициалы. Какое максимальное число жителей может быть в селении? Имя и отчество не может начинаться с букв й, ъ, ь, ы.
Ответ: 29 • 29 = 841 житель.
Задача 6. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладью так, чтобы они не били друг друга?
Ответ: 64 • 49 = 3136 способов.
4. Следующие задачи позволяют обратить внимание учеников на то, что правило умножения совсем не единственный и не универсальный способ решения задач в комбинаторике.
Задача 7. При передаче сообщений по телеграфу используется азбука Морзе. В этой азбуке каждая буква передается последовательностью точек и тире. Можно ли обойтись последовательностью из четырех знаков, чтобы передать все буквы алфавита?
Решение.
1. С помощью одного знака можно передать две буквы («• » и «—»).
2. С помощью двух знаков — четыре (« • •», «—», «• —» и «— •»).
3. Из трех знаков — 8 букв.
4. Из четырех знаков — 16 букв.
Итак, всего 2 + 4 + 8 + 16 = 30 букв можно передать с помощью четырех знаков. Русский алфавит содержит 33 буквы.
Ответ: нельзя.
Задача 8. В стране 25 городов, и каждые два соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране?
Решение.
Из А выходит 24 авиалинии, из В — 23, из С — 22 и т. д.
Ответ: 24 + 23 + ... + 2 + 1 = 300 авиалиний.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 9. Петр 5 раз подбрасывал монету и каждый раз записывал, что у него выпадало — «орел» или «решка». Получилась последовательность из 5 букв: ОРРОО.
А сколько всего существует таких вариантов последовательностей?
Ответ: 25 = 32.
Задача 10. В турнире участвовали 16 шахматистов, причем каждый с каждым сыграл по одной партии. Сколько было сыграно партий?
Ответ: (16 • 15) : 2 = 120.
Задача 11. На официальном приеме 50 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
Ответ: (50 • 49) : 2 = 1225.
Задача 12. Сколькими способами из класса в 30 человек можно выбрать капитана команды и его заместителя?
Ответ: 30 • 29 = 870.
Задача 13. Сколькими способами из класса в 30 человек можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?
Ответ: (30 • 29) : 2 = 435.
5. Результаты самостоятельного решения обсуждаются на занятиях кружка.
Литература для учителя:
В.Н. Студенецкая, З.С. Гребнева. Готовимся к ЕГЭ. Учебное пособие. Часть 1,2. – Волгоград: «Учитель», 2007г.
С.А. Шестаков, Д.Д. Гущин ЕГЭ 2012 Математика задача В13. Задачи на составление уравнений. М.: МЦНМО, 2012 г.
М.А. Иванов. Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов. Учебное пособие. – М.: Издательский центр «Вентана – Граф», 2012г.
Ю.В. Садовничий. Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. Учебное пособие.– 3-е изд., стер. – М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2010г. (серия «В помощь абитуриенту»).
А. Тоом. Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №46, 47, 2004г.
А. Прокофьев, Т. Соколова, В. Бардушкин, Т. Фадеичева. Текстовые задачи. Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №9, 2005г.
В. Булынин. Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.
Литература для учащихся:
Л.М. Галицкий, Сборник задач по алгебре 8-9 классов. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М., Просвещение, 2007.
Дорофеев Г.В. Алгебра 9 класс. Просвещение, 2009г.
КИМы по математике 5-9 классы. М., Вако, 2010г.
А.Г.Мордкович. Алгебра 8, Задачник для общеобразовательных учреждений,М.,Мнемозина,2012г.
А.Г.Мордкович. Алгебра 8, Учебник для общеобразовательных учреждений, М.,Мнемозина,2010г.
А.В.Фарков. Готовимся к олимпиадам по математике, учебно-методическое пособие, М., Экзамен, 2007г.
7. Березин В.Н. и др. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике: книга для учителя. – М.: Просвещение, 1985. 175 с.
8. Карпушина Н.М. Развивающие задачи по геометрии. 8 класс. – М.: Школьная пресса, 2004. 80 с. (библиотека журнала «Математика в школе», вып. 29).
9. Ткачева М.В. Домашняя математика: Кн. для учащихся 7 кл. средн. шк. – М.: Просвещение, 1993. 191 с.
10. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11 класс. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Айрис-пресс, 2004. 176 с.
Интернет- ресурсы:
[link]
