Извлечение квадратного корня «вручную»
На примере возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие операции:
А) разбить число справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→ 22'37'29'. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например, 4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е. 4765983→04'76'59'83'.
Б) Навесить на число радикал и написать знак равенства:
22'37'29'→ [pic] =… .
После этого начинаем, собственно, вычислять корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна цифра результата.
Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:
[pic] = 4… (с недостатком)
Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:
[pic] = 4…
Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:
[pic] = 4…
[pic] [pic] 16
6
И производим вычисление так, как это уже написано.
Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную черту вот так:
[pic] [pic] = 4…
[pic] 16
[pic] 637
После этого, воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2 и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под этой точкой тоже ставим точку:
[pic] [pic] = 4…
16
8 637
Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по следующему правилу:
Это наибольшая цифра k такая, что число 8k, т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k, не превосходит 637.
В данном случае это цифра 7, т.к. 87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:
[pic] = 47..
Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:
637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как 943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. [pic] = 473.
[pic] [pic] = 473
16
87 637
7 609
943 2829
3 2829
0
В принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:
[pic] [pic] = 4,123…
16
81 100
1 81
822 1900
2 1644
8243 25600
3 24729
871...
Приближенные методы извлечения квадратного корня
(без использования калькулятора).
1 метод.
Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в виде суммы а2+b, где а2ближайший к числу х точный квадрат натурального числа а (а2?х), и пользовались формулой [pic] . (1)
Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из числа 28:
[pic]
Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026. Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.
2 метод.
Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня, который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100 г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.
Пусть а1 — первое приближение числа [pic] (в качестве а1 можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного квадрата, не превосходящего х) .
Следующее, более точное приближение а2 числа [pic] найдется по формуле [pic] .
Третье, еще более точное приближение [pic] и т.д.
(n+1)-е приближение [pic] найдется по формуле [pic] .
Нахождение приближенного значения числа [pic] методом Ньютона дает следующие результаты: а1=5; а2= 5,3; а3=5,2915.
[pic] - итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х (n=2,3,4,…, аn - n-е приближение [pic] .
Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком: громоздкость вычислений.
Список литературы:
1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
2. Ткачева М.В. Домашняя математика.
3. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.
