Подготовка к ЕГЭ по математике. Решение задач.

Решение химических задач на смеси и сплавы алгебраическим методом.

[pic]

Основными методами решения задач на смешивание растворов являются:

• с помощью расчетной формулы,

• правило смешения,

• правило креста,

• графический метод,

• алгебраический метод.

Я исследовала алгебраический метод решения задач на смеси и сплавы. Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на ЕГЭ. Смесь состоит из основного вещества и примеси. В этих задачах считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов. Процентным содержанием (концентрацией ) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Эта величина может быть либо в дробях, либо в процентах. Измерять количество компонентов в смеси будем в единицах массы, а не объема. Сумма массовых долей всех компонентов, оставляющих смесь рана единице . Прежде ,чем приступить к разбору конкретных задач, посмотрим какие существуют подходы к их решению. Наиболее распространенный способ – использование таблиц. В решении задач помогает и картинка. Изображаем сосуды с раствором схематично, так как будто вещество и вода в нем на перемешаны между собой , а отделены друг т друга , как в коктейле. Задачи на смеси и сплавы вызывают наибольшие затруднения. В процессе решения каждой такой задачи целесообразно действовать по следующей схеме.

1. Изучение условия задачи. Выбор неизвестных величин (их обозначаем буквами х, у и т.д.), относительно которых составляем пропорции. Выбирая неизвестные параметры, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи.

2. Поиск плана решения. Используя условия задачи, определяем все взаимосвязи между данными величинами.

3. Осуществление плана, т.е. оформление найденного решения – переход от словесной формулировки к составлению математической модели.

4. Изучение полученного решения, критический анализ результата.

В большинстве случаев задачи на смеси и сплавы становятся нагляднее, если при их решении использовать схемы, иллюстративные рисунки или вспомогательные таблицы.

Масса раствора М

Концентрация Р

Масса вещества m

1

2

1+2

А сейчас приведу примеры раствора, смеси и сплава.

Раствор. 

Задача 1.

В 190 грамм воды добавим 10 грамм уксусной кислоты, получим раствор, масса которого равна 190 + 10 = 200 грамм. Концентрация кислоты (процентное содержание) — это отношение количества уксуса к количеству раствора, записанное в процентах:

[pic]
Процентное содержание воды:

[pic]

Смесь.

Задача 2.

 У нас есть одно ведро песка и три ведра извести. Смешаем содержимое всех ведер, получим смесь извести с песком, её масса равна 1 + 3 = 4 (единиц массы). Концентрация (процентное содержание песка) — это отношение количества песка к количеству смеси, записанное в процентах:

[pic]

Процентное содержание извести:

[pic]

Сплав. 

Задача 3.

Имеем сплав меди и свинца, в котором 100 грамм меди и 150 грамм свинца. Концентрация (процентное содержание меди) – отношение количества меди к количеству смеси в процентах:

[pic]

Как можно заметить, во всех задачах на сплавы, растворы, смеси используется всего одна формула:

[pic]

где K — процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m –  масса чистого вещества

M  — масса сплава или раствора.

А теперь посмотрим как решать  задачи на практике.

Задача 4. В сосуд, содержащий 5 литров 15%- раствора соли, добавили 7 литров воды. Какова концентрация соли в полученном растворе (в процентах)?

Решение.

Нарисуем таблицу и заполним ее:

1. Для начала определимся, какую неизвестную мы обозначим за х. В нашей задаче удобно за х принять саму искомую величину, т.е. концентрацию соли в полученном растворе.

2. Теперь в таблице заполним все ячейки, которые нам известны.

Масса раствора М

Концентрация Р

Масса вещества m

1

5л

15%

Соль 5*0,15=0,75

2

7л

вода

1+2

12л

Х

Соль5*0,15=0,75

2. Чтобы применить формулу, нам нужно знать массу соли в полученном растворе, а так как масса соли в первом растворе и в полученном одинакова, то можем найти ее:

3. Теперь несложно найти х, подставив данные в формулу:

[pic]

Ответ: Концентрация соли в полученном растворе – 6,25%.

Задача 5. Сколько килограммов меди нужно добавить к куску бронзы массой 8 кг и содержащему 13% меди, чтобы повысить содержание в нем меди до 25% от общей массы?

Решение.

По условию составим таблицу, считая, что смешали два сплава и второй сплав содержит 100% меди и не содержит остальных компонентов.

1-ый сплав

2- сплав

полученный сплав

медь

13%

100%

25%

бронза

сплав

8кг.

1. Масса меди в первом сплаве

[pic]

2. Обозначим массу меди во втором сплаве х кг;

3. Масса меди в полученном сплаве (1,04 + х) кг;

4. Масса второго сплава х кг, так как он состоит только из меди, которую в пункте 2 мы обозначили за х кг;

5. Масса полученного сплава (8 + х) кг;

6. Отношение массы меди в полученном сплаве к массе полученного сплава

[pic]

по условию задачи оно должно быть равно 0,25. Имеем уравнение

[pic]

Решим его

[pic]

Ответ: 1,28 кг нужно добавить к 1-ой смеси.

Задача 6.

 Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Свежие грибы

Сухие грибы

вода

90%

15%

«мякоть»

смесь

34 кг.

х кг.

При сушке грибов (ягод, фруктов) происходит испарение воды, то есть масса воды уменьшается, а масса «мякоти» остается постоянной.

1. Процентное содержание «мякоти» в свежих грибах 100% — 90% = 10%;

2. Масса «мякоти»

[pic]

3. Процентное содержание мякоти в сухих грибах 100% — 15% = 85%;

4. Обозначим массу сушеных грибов за х кг;

5. Отношение массы «мякоти» к массе сушеных грибов 3,4 / х, что по условию задачи равно 0,85.

Имеем уравнение

[pic]

Ответ: Получим 4 кг. сухих грибов.

Задача 7 .

В сосуд, содержащий 7 литров 14-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

Вот так выглядит краткое условие в рисунке:

[pic]

Задача 8.

К 200 г 20%процентного раствора соли добавили 60 г соли. Найдите концентрацию раствора.

Масса раствора

% содержания

Масса вещества

200г

20%

0,2*200=40 г

260 г

х %

60 г

40+60=100 х*260=100

х=100:260=38,5%

Задача 9.

Смешали 30% и 10% растворы соляной кислоты и получили 600 г 15% раствора. Сколько граммов каждого вещества взяли?

Масса раствора

% содержание

Масса вещества

1 раствор

х

30%

0,3х

2 раствор

у

10%

0,1у

600 г

15 %

0,15*600=90

0,3х +0,1у=90 и х+у=600 х=150,у=450

 В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го

ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен-

­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра.

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна

[pic] .

Объем ве­ще­ства в ис­ход­ном рас­тво­ре равен  [pic]  литра. При до­бав­ле­нии 7

лит­ров воды общий объем рас­тво­ра уве­ли­чит­ся, а объем рас­тво­рен­но­го ве­ще­ства

оста­нет­ся преж­ним. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

[pic] .

Ответ: 5.

Сме­ша­ли 4 литра 15–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

6 лит­ра­ми 25–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра этого жеве­ще­ства. Сколь­ко

про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна  [pic] . Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция

по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 21.

 Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да

тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма?

Ре­ше­ние.

Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. По­это­му

20 кг изюма со­дер­жат  [pic]  кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом,

для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся  [pic]  кг ви­но­гра­да.

Ответ: 190.

 Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% ни­ке­ля, вто­рой – 30%

ни­ке­ля. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав мас­сой 200 кг,

со­дер­жа­щий 25% ни­ке­ля. На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го спла­ва мень­ше

массы вто­ро­го?

 Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой – 40% меди.

Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов

по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 30% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го

спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Ре­ше­ние.

Пусть масса пер­во­го спла­ва  [pic]  кг, а масса вто­ро­го –  [pic]  кг, масса тре­тье­го

спла­ва –  [pic]  кг. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой – 40% меди,

тре­тий сплав – 30% меди. Тогда:

[pic]

Ответ: 9.

Име­ют­ся два со­су­да. Пер­вый со­дер­жит 30 кг, а вто­рой – 20 кг рас­тво­ра кис­ло­ты

раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если этирас­тво­ры сме­шать, то по­лу­чит­ся рас­твор,

со­дер­жа­щий 68% кис­ло­ты.Если же сме­шать рав­ные массы этих рас­тво­ров, то

по­лу­чит­ся рас­твор,со­дер­жа­щий 70% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты

со­дер­жит­ся в пер­вом со­су­де?

 Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 13-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го

ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 17-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства.

Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 15.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 17-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет

кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 20-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 16-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 18.

Разбор конкретных текстовых задач №11 ЕГЭ

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 14-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 18-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 13-про­цент­но­го рас­тво­ра этого

ве­ще­ства.Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра

равна:

[pic]

Ответ: 16.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 20-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 14-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 17.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 12-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 18-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 18-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 14-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 16.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 16-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 13-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 17.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 12-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 20-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Задача 27.

Сплав олова с медью весом 12 кг содержит 45 % меди. Сколько чистого олова надо добавить , чтобы получить сплав, содержащий 40% меди?

Масса сплава

% содержание меди

% содержание олова

Масса олова

1 сплав

12

45

55

12*0,55=6,6

олово

х

100

х

2 сплав

12+х

40

х

(12+х)*0,6

6,6+х=(12+х)*0,6 х=1,5 кг

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 17-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 14.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 17-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства

с таким же ко­ли­че­ством 19-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен-

­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Задача 30.

Морская вода содержит 8% по весу соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить

к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 5%?

Масса морской воды

5содержание соли

Масса соли

1 состав

30

8 %

30*0,08

Пресная вода

х

0%

х*0

2 состав

30+х

5%

(30+х)*0,05

30*0,08=(30+х)0,05 х=18

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства

с таким же ко­ли­че­ством 15-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен-

­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 18.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 11-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 19-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен-

тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние.

Про­цент­ная кон­цен­тра­ция рас­тво­ра (мас­со­вая доля) равна  [pic] . Пусть

масса по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра  [pic]  Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го

рас­тво­ра равна:

[pic]

Ответ: 15.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 13-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 15-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 19-про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с

таким же ко­ли­че­ством 15-про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов

со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

 Име­ет­ся два рас­тво­ра. Пер­вый со­дер­жит 10% соли, вто­рой — 30% соли. Из этих

двух рас­тво­ров по­лу­чи­ли тре­тий рас­твор мас­сой 200 кг, со­дер­жа­щий 25% соли.

На сколь­ко ки­ло­грам­мов масса пер­во­го рас­тво­ра мень­ше массы вто­ро­го?

Задача 36.

Из 38 тонн сырья второго сорта ,содержащего 25% примесей. После очистки

получается 30 тонн сырья первого сорта. Каков %примесей в сырье первого сорта?

Масса сырья

%содержание

Масса примесей

2 состав

38 т

25

30

примеси

8 т

100

1 сорт

30 т

х

30*0,01х

38*0,25-8=30*0,01х

х=5%

 Сме­шав 43‐про­цент­ный и 89‐про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты

и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 69‐про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы

вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50‐про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то

по­лу­чи­ли бы 73‐про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 43‐

про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние.

Пусть масса 43-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты —  [pic]  кг, а масса 89-про­цент­но­го

—  [pic] . Если сме­шать 43-про­цент­ный и 89-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты

и до­ба­вить  [pic]  кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 69-про­цент­ный

рас­твор кис­ло­ты:  [pic] . Если бы вме­сто 10 кг воды

до­ба­ви­ли  [pic]  кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 73-

про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: 

[pic] .

Решая по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

[pic]

Задача 38.

Смешали некоторое количество 13-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

[pic]

[pic]

[pic]

Наконец, составляя последнюю пропорцию, получаем:

[pic]

Ответ: 15.

Задача 39.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

[pic]

[pic]

Ответ: 45.

Задача 40.

Смешав 54-процентный и 61-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 46-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 56-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 54-процентного раствора использовали для получения смеси?

  [pic] .

[pic]

Составим пропорцию:

[pic]

Рассмотрим второй случай.

  [pic] .

[pic]

Составим пропорцию:

[pic]

Ответ: 20.

Задача 41.

Имеются два сосуда. Первый содержит 100 кг, а второй — 60 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 19% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 22% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

 Задача 42.

Виноград содержит 90% влаги, а изюм  — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 40 килограммов изюма?

Решение:

Рисунок наглядно иллюстрирует условие задачи:

[pic]

Обратите внимание! Что очень важно понимать для решения данной задачи?

«Твердая часть винограда» = «твердая часть изюма»!

Начнем с изюма.

[pic]

Переходим к винограду.

Твердая часть в винограде занимает 10% веса. Обозначим за  [pic]  кг массу винограда.

[pic]

Итак, необходимо взять 380 кг винограда (чтобы получить 40 кг изюма).

Ответ: 380.

^{Задача 43}.

В сосуд, содержащий  [pic]  литров  [pic] -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили  [pic]  литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим  [pic] .

[pic]

Первый сосуд содержал  [pic]  литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

[pic]
[pic] .

^{Задача 44.}

Смешали некоторое количество  [pic] -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством  [pic] -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна  [pic] . Масса второго — тоже  [pic] . В результате получили раствор массой  [pic] . Рисуем картинку.

[pic]

Получаем:  [pic]

Ответ:  [pic] .

^{Задача 45.}

Виноград содержит  [pic]  влаги, а изюм —  [pic] . Сколько килограммов винограда требуется для получения  [pic]  килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось  [pic]  воды, значит, «сухого вещества» было  [pic] . В изюме  [pic]  воды и  [pic]  «сухого вещества». Пусть из  [pic]  кг винограда получилось  [pic]  кг изюма. Тогда

[pic]  от  [pic]  от  [pic]

Составим уравнение:
[pic]
и найдем  [pic] .

Ответ:  [pic] .

^{Задача 46 .}

Имеется два сплава. Первый сплав содержит  [pic]  никеля, второй —  [pic]  никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой  [pic]  кг, содержащий  [pic]  никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой  [pic] .

[pic]

Запишем простую систему уравнений:

[pic]

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что  [pic] .

Ответ:  [pic] .

Задача 47.

Имеется два раствора серной кислоты в воде: первый -40% , второй-60%процентный.Эти два раствора смешали и добавили 5 кг чистой воды и получили 20%процентный раствор. Если бы вместо чистой воды добавили 5кг 80%процентного раствора, то получили бы 70% процентный раствор. Сколько было 40% и 60% растворов ?

Масса раствора

% содержания

Масса вещества

1 раствор

х

40%

0,4х

2 раствор

у

60%

0,6у

вода

5 кг

0%

0

смесь

Х+у+5

20%

(х+у+5)*0,2=0,4х+0,6у

х=1кг

у=2 кг

Использованная литература

• Копылова Н.П. Решебник «Задачи на смеси и сплавы» 2005г. г.Шелехов.

• Прокопенко Н.И. «Задачи на смеси и сплавы» 2010г. г. Москва

• ЕГЭ Математика 2011 г. ФИПИ-М…Интеллект-Центр,2011.-144с.

• Под редакцией Ф.Ф.Лысенко «Тематические тесты» Издательство «Легион-М»,2010

• Мальцев Д.А., Мальцева Л.И. «Математика. Все для ЕГЭ 2011» 2010г. г.Москва

• [link]