Сечение призмы плоскостями
Цели урока:
Образовательные:
рассмотреть основные простейшие виды сечений призмы, рассмотреть теорию метода следов и применить ее для построения более сложных сечений.
Воспитательные: воспитание самостоятельности, умения слушать, анализировать и делать выводы
Развивающие: развитие пространственного воображения, навыков самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умения анализировать, обобщать и делать выводы.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, доска и мел.
Ход урока:
Организационный момент (сообщение темы урока, актуальности темы и целей урока)
Учитель: Прежде чем говорить об актуальности темы, давайте ответим себе на несколько вопросов:
Что такое многогранник?
Ответ: Многогранник это тело, поверхность которого состоит из нескольких многоугольников.
Что такое призма?
Ответ: призма это многогранник, состоящий из двух многоугольников, лежащих в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом и всех отрезков соединяющих соответствующие точки этих многоугольников.
Что такое сечение?
Ответ: Сечением поверхности геометрических тел называется плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и состоящая из точек принадлежащих как секущей плоскости так и из точек самой поверхности данного тела.
Вот теперь поговорим, для чего нужны сечения и где они встречаются?
В математике нет ни одной темы, которая бы не находила своего широкого применения на практике. Так вот, построение сечений не является исключением. Очень часто с сечение различных геометрических тел встречаются в инженерии, в строительстве итд. Более того, порой недостаточно уметь просто строить эти сечения, а также необходимо уметь вычислять например площадь или периметр этого сечения. Так же задания на построение сечений и вычисление его элементов встречаются в программе профильного уровня ЕГЭ в рамках задачи №16, и как показывает практика, эти задания вызывают большие трудности у выпускников. Именно поэтому, изучение данной темы необходимо на достаточно углубленном уровне.
Итак, перейдем к рассмотрению темы и следующий вопрос будет такой:
Каким способом можно задать секущую плоскость?
Ответ:
Через три точки можно провести плоскость и притом только одну
Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и притом только одну
Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и притом только одну
Через две параллельные прямые можно провести единственную плоскость.
А сейчас рассмотрим самые простейшие виды сечений призмы:
[pic]
.
Это сечение параллельное основаниям. В сечении получается многоугольник, равный основаниям.
[pic]
На этом чертеже построено сечение призмы плоскостью, параллельной боковой грани. Оно представляет собой параллелограмм.
[pic]
А на этом чертеже построено так называемое диагональное сечение. Это сечение, проходящее через два боковых ребра, не принадлежащие одной грани. Оно представляет собой параллелограмм.
Для построения более сложных сечений призмы может и пользоваться метод следов, где основа всего метода в следе секущей плоскости.
Определение:
Следом секущей плоскости называется прямая пересечения секущей плоскости и плоскости основания призмы.
Суть метода следов состоит в применении ряда правил построения сечений:
Пусть дана пятиугольная призма, точка А, принадлежащая верхнему основанию призмы и секущей плоскости и след а секущей плоскости, принадлежащий плоскости нижнего основания.
[pic]
Тогда пересечение секущей плоскости верхнего основания будет представлять собой отрезок СД, проходящий через точку А, параллельный следу а.
Пусть снова дана пятиугольная призма. Если точка А принадлежит боковой грани, то пересечение этой грани с секущей плоскостью, проходящей через точку А строится так:
Строим точку В, в которой плоскость грани, пересекает след а
Затем проводим прямую АВ. Она пересекает грань по отрезку СД.
Отрезок СД и есть пересечение этой грани с секущей плоскостью, проходящей через точку А
[pic]
Если грань, содержащая точку А параллельна следу а, то секущая плоскость, пересекающая эту грань и проходящая через точку А,пересекает эту грань по отрезку СД, параллельному следу а.
[pic]
Концы отрезка ВС принадлежат и соседним граням. Поэтому описанным способом можно построить пересечение этих граней с секущей плоскостью. Таким образом можно получить многоугольник, который и окажется сечением призмы. В использовании этих трех правил и состоит суть метода следов для построения сечения призмы.
Рассмотрим задачу.
Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через прямую а, лежащей в плоскости нижнего основания и точку Н, принадлежащей боковому ребру.
[pic]
Очевидно, что прямая а это и есть след секущей плоскости.
Точка Н принадлежит грани (АВВ1), поэтому строим точку Р, в которой плоскость этой грань пересекает след а.а именно след пересекает прямая АВ. затем строим прямую РН, которая пересечет данную грань по отрезку НМ.
[pic]
Далее, так как точка М принадлежит грани (ВСС1),то проводим ВС, которая пересечет след в точке Q. Проводим QM, пересекающую грань по отрезку MN.
[pic]
Точка N принадлежит грани (СДД1), поэтому проводим СД пересекающую след а в точке Z, затем проводим ZN, пересекающую грань призмы по отрезку NV.
[pic]
Точки Nи V лежат в одной грани, поэтому проводим прямую NV.
[pic]
Четырехугольник HVNV – искомое сечение.
Теперь попробуйте выполнить аналогичное задание.
Постройте сечение шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку на одном из боковых ребер и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.( ученик выходит к доске для решения задачи)
[pic]
Теперь рассмотрим еще одну задачу.
Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точку А, лежащую в плоскости верхнего основания и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.
[pic]
По данному чертежу попробуйте сделать описания хода решения, используя правило №1. (для описания ученик выходит к доске и по чертежу расписывает пошагово ход решения)
Понятно ли вам как строить сечения призмы методом следов?
В чем состоит сложность этого метода именно для вас?
Как вы считаете, всегда ли след плоскости дается в условии?
Так вот, оказывается, что след плоскости в условии дается далеко не всегда. В этом случае этот след необходимо построить, что естественно значительно осложняет решение задачи. Но когда след будет построен, то дальнейшее построение сечения выполняется по общей методике,т.е именно так как мы сегодня строили. Такие задачи мы с вами будем решать на следующем уроке. Не останутся без нашего внимания также и простейшие сечения. например, диагональные. Мы научимся находить площади и периметры таких сечений, а также разберем основные типы задач №16 из бланков профильного уровня ЕГЭ. Но это все на последующих уроках. А сегодня нам было необходимо рассмотреть метод следов. Запишите домашнее задание:
Изучить теоретический материал, котрый мы сегодня рассмотрели.
Построить сечение пятиугольной призмы плоскостью, проходящей через точку М на боковом ребре и прямую лежащую в плоскости нижнего основания.
Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точку в плоскости верхнего основания и прямую, лежащую в плоскости нижнего основания.( используйте правило №1)
Спасибо. Урок окончен. До свидания.
