Управление образования администрации города Кунгура Пермского края

Научное общество учащихся

XYI городской конкурс исследовательских и творческих работ обучающихся

«Первые шаги»

секция математика

Математические задачи в художественных произведениях:
фантазия, воображение, реальный расчёт»

Автор работы:

Бородулина Кристина МАОУ СОШ № 13

7 «а» класс

Руководитель:

Гладких Татьяна Григорьевна

учитель математики

высшей категории

МАОУ СОШ №13

2016

Литература и математика - что может объединять эти далекие друг от друга области знаний? Литературу, с ее интересом к духовному миру человека, поисками нравственных ценностей, смысла жизни, и математику, предпочитающую строгий научный подход и абстрактную форму интуиции. Литература ищет гармонию между человеческой душой и природой. Математика же создала адекватные методы математического описания знаков природы. Это замечательное свойство делает математику универсальным инструментом для всех естественных наук.

Часто можно услышать такую фразу: «Ой, да что эта математика! Сухая наука. Выучил формулу - и решай задачи! Не то, что литература. Вот где красота и гармония». Да, так говорят многие. Но они забывают о том, что именно математика подарила нам такие слова как гармония, симметрия, пропорция.

Литературу мы привыкли относить к гуманитарным наукам, а математика требует точности и конкретизации фактов. Казалось бы, нет ничего общего… Но математика, так же как и поэзия, живопись, театр и искусство стремится к познанию и красоте. Что любят, то находят повсюду, и было бы странно не встретиться с математикой в художественной литературе. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся во всех искусствах.

Школьник, которому приходится видеть математику только в учебнике, неожиданно встречаясь с математическими вкраплениями в произведениях великих русских художников слова - Пушкина, Лермонтова, Чехова, воспримет их литературные творения с особым интересом. И, скорее всего, покоренный этой красотой, увидит математику другими глазами.

В разных художественных произведениях мы можем найти математические задачи. Обычно на них не обращают внимание. А сами задачи воспринимаются как дополнительные детали произведения. Но бывают случаи, когда читатель обращает внимание на такую задачу и даже хочет ее решить. В одной книге я увидела задачу с решением. И мне показалось интересным: правильно ли автор решил ее? Именно это и стало целью моей исследовательской работы. Все ли задачи с данным решением будут верными? Или найдутся примеры, которые будут неправильно решены? На эти вопросы мне предстоит ответить в ходе работы.

Гипотеза: в своей работе я попытаюсь показать, что в некоторых литературных произведениях присутствует математическая логика, строгие научные рассуждения, но встречаются и математически неправильно решенные жизненные задачи.

Актуальность:

изменилось восприятие и толкование текстов современными подростками;
школьники невнимательно прочитывают программные произведения.

Цель исследования

раскрыть эстетический потенциал математики;
установить связь между математикой и литературой;
поиск математических задач в художественной литературе. По возможности их решение и объяснение.

Объект исследования: произведения русской классической художественной литературы.

Задачи исследования:

подбор и изучение художественной литературы;
решение задач и оценка полученных результатов;
проведение социологического исследования (выяснение уровня решения современными школьниками таких задач.

Методы исследования:

теоретические: анализ научно-популярной и художественной литературы, анализ и сравнение результатов с реальной действительностью. анализ, сравнение, синтез
социологические: анкетирование

Основная часть.

Анкетирование учащихся

Читая художественные произведения, мы нередко можем встретить в них придуманные автором математические задачи. Проблема заключается в том, что не все читатели при прочтении обращают внимание на затейливые авторские головоломки.

Чтобы более подробно прояснить ситуацию среди читателей, в целях исследования решено было провести интервьюирование, респондентами которого явились ученики 5-7 классов и учителя. Анкета содержала следующие вопросы:

1.Встречали ли Вы в литературных произведениях математические задачи?

[pic]

2.Если в литературных произведениях Вы встречаете задачи, пытаетесь ли Вы её решать?

[pic]

3.Когда читаете произведение, мешают ли математические задачи понять смысл прочитанного?

[pic]

В анкетировании принимало участие 20 человек, каждый из которых регулярно читает художественные произведения. По результатам проведенного исследования 75 % опрошенных встречают в прочитанном задачи, головоломки, шарады математического характера.

Данные говорят о том, что наши читатели не отличаются особой любознательностью. Было установлено, что лишь 7 человек из 20 опрошенных (3 взрослых и 4 ребят) пробуют решать задачи. Но в целом, опрошенные считают использование математических задач при написании своих произведений уместным приемом. Полученные данные говорят о том, что большинству читателей задачи не мешают понимать прочитанное

Практическая часть(эксперимент).

Задача о догадливой вороне и ее решение

Недавно я прочитала забавный рассказ Л.Н.Толстого о догадливой вороне, основанный на старинной легенде. Эта старинная легенда повествует о вороне, страдавшей от жажды и нашедшей кувшин с водой.

Воды в кувшине было мало, клювом ее не достать, но ворона будто бы сообразила, как пособить горю: она стала кидать в кувшин камешки. В результате этой уловки уровень воды поднялся до краев кувшина, и ворона могла напиться.

Не обсуждая того, могла ли ворона проявить подобную сообразительность, я заинтересовалась этим случаем с геометрической стороны. Легенда дает повод рассмотреть следующую задачу:

Сколько воды должно было быть в кувшине первоначально, чтобы ворона могла напиться?

Я решила рассмотреть три случая:

Удалось ли бы вороне напиться, если вода в кувшине налита была меньше половины, до половины, больше половины?

Решение

Разбор задачи убеждает, что способ, примененный вороной, приводит к цели не при всяком первоначальном уровне воды в кувшине.

Ради упрощения примем, что кувшин имеет форму прямоугольной призмы, а камешки представляют собой шарики одинаковой величины. Легко сообразить, что вода поднимается над уровнем камешков лишь в том случае, если первоначальный запас воды имеет больший объем, чем все промежутки между камешками: тогда вода заполнит промежутки и выступит поверх камешков.

Я провела эксперимент: взял мерный цилиндр и камешки гравия.

Наливала в цилиндр воду, рассматривая все три случая.

Результаты измерений были занесены в таблицу.

Первоначальный уровень воды

Объем воды до наполнения кувшина камнями, см³

Уровень воды после наполнения кувшина камнями,

ниже половины

Ниже камней

половина

Выше на 2см

выше половины

Выше на 5см

Выводы:

если вода стояла, ниже половины высоты кувшина или вода занимала половину высоты кувшина, - вороне не удалось бы напиться;

если вода стояла выше половины высоты кувшина, - ворона бы напилась.

Результаты эксперимента подтверждают теоретическое решение задачи.

Будь ворона посильнее, - настолько, чтобы утрясти камешки в кувшине и добиться их плотного сложения, - ей удалось бы поднять воду более чем в два раза выше первоначального уровня. Но ей это не под силу сделать.

Я проверила, если брать очень мелкие камни, то вода поднимается выше. В реальных условиях рыхлое расположение камешков допустимо. К тому же кувшины обычно раздуты в средней части; это должно так же уменьшить высоту подъема воды, и подкрепляет правильность вывода(от формы сосуда и высоты воды в кувшине зависит решение проблемы: смогла ли ворона напиться воды?).

А для себя я сделала вывод:

Авторы, используя в своих произведениях математические данные, не просто дают готовые знания и выдают математические секреты, а предлагают читателю подумать и дают «пищу» для размышления. А разве книга не должна давать читателю пищу для ума?

Любая книга откроет свои тайны тому человеку, кто умеет смотреть и видеть, тому, кто умеет удивляться и воспринимать новое, тому, кто умеет сам добывать знания и отвечать на интересующие его вопросы.

В своей работе я сделала подборку задач из разных художественных произведений и выяснила , что решением большинства задач является реальный расчет, а части задач – фантазия и воображение

Герои Жуля Верна [pic]

Известный роман Жюля Верна «Таинственный остров» содержит не только интересный, захватывающий сюжет, но и достаточно много математических рассуждений.

В этом романе картинно описан один из способов измерения высоких предметов.

– Сегодня нам надо измерить высоту площадки Дальнего Вида, – сказал инженер.– Вам понадобится для этого инструмент? – спросил Герберт.– Нет, не понадобится. Мы будем действовать несколько иначе, обратившись к не менее простому и точному способу. Взяв прямой шест, футов 12 длиной, инженер измерил его возможно точнее, сравнивая со своим ростом, который был ему хорошо известен. Герберт же нёс за ним отвес: просто камень, привязанный к концу верёвки.

Не доходя футов 500 до гранитной стены, поднимавшейся отвесно, инженер воткнул шест фута на два в песок и, прочно укрепив его, поставил вертикально с помощью отвеса.Затем он отошёл от шеста на такое расстояние, чтобы лёжа на песке, можно было на одной прямой линии видеть и конец шеста, и край гребня. Эту точку он тщательно пометил колышком.– Тебе знакомы начатки геометрии? – спросил Герберта, поднимаясь с земли.– Да. [pic] – Помнишь свойства подобных треугольников?– Их сходные стороны пропорциональны.– …Если мы измерим два расстояния: расстояние от колышка до основания шеста и расстояние от колышка до основания стены, то, зная высоту шеста, сможем вычислить четвёртый, неизвестный член пропорции, т. е. высоту стены.Оба горизонтальных расстояния были измерены: меньшее равнялось 15 футам, большее – 500 футам. По окончании измерений инженер составил следующую запись:

15 : 500 = 10 : х;500 х 10 = 5000;5000 : 15 = 333,3.

Значит, высота гранитной стены равнялась 333 футам.

Ещё один из героев Жюля Верна подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время кругосветных странствований – голова или ступни ног. Это очень поучительная геометрическая задача, если поставить вопрос определённым образом.

Задача.

Вообразите, что вы обошли земной шар по экватору. Насколько при этом верхушка вашей головы прошла более длинный путь, чем кончик вашей ноги?

Решение:

Ноги прошли путь 2R, где R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом 2(R + 1,7), где 1,7 м – рост человека. Разность путей равна

Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги. Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой маленькой планете.

Геометрия Гулливера [pic]

Автор «Путешествия Гулливера» Джонатан Свифт с большой осмотрительностью избежал опасности запутаться в геометрических отношениях. В стране лилипутов футу соответствовал дюйм, а в стране великанов, наоборот, дюйму – фут. Другими словами, у лилипутов все люди, все вещи, все произведения природы в 12 раз меньше нормальных, у великанов – во столько же раз больше. Эти, на первый взгляд, простые отношения сильно усложнялись, когда приходилось решать следующие вопросы:

Во сколько раз Гулливер съедал за обедом больше, чем лилипут?

Во сколько раз Гулливеру требовалось больше сукна на костюм, нежели лилипуту?

Сколько весило яблоко в стране великанов?

Автор «Путешествия» справился с этими задачами в большинстве случаев вполне успешно. Он правильно рассчитал, что раз лилипут ростом меньше Гулливера в 12 раз, то объём его тела меньше в 12 х 12 х 12, т. е. в 1728 раз. Следовательно, для насыщения тела Гулливера нужно в 1728 раз больше пищи, чем для лилипута. Правильно рассчитал Свифт и количество материала на костюм Гулливеру. Поверхность его тела больше, чем у лилипута, в 12 ? 12 = 144 раза; во столько же раз нужно ему больше материала. Надобность производить подобные расчёты возникала у Свифта чуть не на каждой странице. И, вообще говоря, он выполнял их правильно. Если у А.С. Пушкина в «Евгении Онегине», как утверждает поэт, «время рассчитано по календарю», то в «Путешествиях» Свифта все размеры согласованы с правилами геометрии. Лишь изредка надлежащий масштаб не выдерживался, особенно при описании страны великанов.

В рассказе А.П.Чехова «Репетитор» [pic] имеется знаменитая арифметическая задача Егора Зиберова:

« Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 рублей. Спрашивается. Сколько аршин купил он того и другого, если синее стоило 5 рублей. А черное 3 рубля?» В рассказе гимназист 7 класса Петя долго не может сообразить решение к этой задаче. Он считает, что она не арифметическая, а на неопределённые уравнения или алгебраическая. Рассмотрим, как можно решить эту задачу.

Решим задачу алгебраически. Для этого составим два уравнения с двумя неизвестными. Пусть х – число аршин синего сукна, а у – число аршин чёрного, тогда х + у = 138. Так как синего сукна было куплено по 5 рублей за 1 аршин, то получится 5х рублей заплачено за это сукно, а черного купили по 3 рубля , то 3у рублей заплатили за чёрное, тогда 5х + 3у = 540. Получили два уравнения.

[pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

Итак получили, что синего купили 63 аршин, а чёрного 75 аршин.

Но задача легко решатся алгебраическим способом. Предположим, что все купленное сукно было синее, тогда за партию в 138 аршин пришлось бы уплатить 5 * 138 = 690 рублей, это на 690 – 540 = 150 рублей больше того, что было заплачено в действительности. Разница в 150 рублей указывает, что в партии имелось и более дешёвое сукно – чёрное по 3 рубля за аршин. Дешёвого сукна было столько, что из двухрублёвой разницы на каждом аршине составилось 159 рублей: очевидно, что число аршин чёрного сукна определяется, если разделить 150 на 2. Получаем 75: вычтя эти 75 аршин из общего числа 138 аршин получим 63 аршина было синего сукна. Итак:

5 * 138 = 690 рублей
690 – 540 = 150 рублей
150 : 2 = 2 аршин
138 – 75 = 63 аршин
Ответ: 75 аршин чёрного сукна и 63 аршин синего .

Иногда автор бывает столь любезен, что вместе с условием приводит и решение, как, например, широко известная задача про топоры и пилы из повести Н.Н.Носова «Витя Малеев в школе и дома». Рассмотрим несколько задач, которые встречаются в этой повести. [pic]

«В магазине было 8 пил, а топоров в 3 раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и 3 пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?».

Решение:

12 топоров + 3 пилы = 84 рубля
12 топоров + 5 пил = 100 рублей
12 топоров + 3 пилы + 2 пилы = 100 рублей
(100 – 84) = 16 рублей - 2 пилы
1 пила - 8 рублей
3 пилы - 24 рубля
12 топоров - 84 рубля – 3 пилы
12 топоров - 84 рубля – 24 рубля
12 топоров - 60 рублей
1 топор - 5 рублей

Ответ: 5 рублей стоит 1 топор и 8 рублей – 1 пила.

«Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в 2 раза меньше мальчика. Сколько орехов было у мальчика и девочки?».
Решение: I этап: составление математической модели. Пусть x орехов собрала девочка, тогда мальчик собрал 2x орехов. Всего они собрали 120 штук. По условию задачи имеем: x + 2x = 120.

II этап: работа с данной моделью. x + 2x = 120; 40×2=80(орехов)

3x = 120;

x = 120:3;

x = 40.
III этап: ответ на вопрос задачи.

Ответ: 40 орехов собрала девочка, 80 орехов – мальчик.

«Бутылка и пробка стоят 10 копеек. Бутылка на 8 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка и сколько пробка?»
Решение: Если цену бутылки уменьшить на 8 копеек, то цена бутылки и цена пробки будут равны, а их стоимость будет равняться 10-8=2(копеек). Тогда цена и бутылки, и пробки станет – 2:2=1 (копейка). Но это как раз та цена, которая была у пробки. Теперь легко узнать и цену бутылки: 1+8=9(копеек).

Ответ: 9 копеек стоит бутылка и 1 копейку – пробка.

Чаще всего в произведениях дается только условие, вот конкретный пример:

«Из двух городов выезжают по одному направлению два путешественника, первый позади второго. Проехав число дней, равное сумме чисел вёрст, проезжаемых ими в день, они съезжаются и узнают, что второй проехал 525 вёрст. Расстояние между городами – 175 верст. Сколько верст в день проезжает каждый?»

Эту задачу я нашла в повести Л.Кассиля «Кондуит и Швамбрания», она имеет вполне строгое и единственное решение:
Если 2-ой путешественник до встречи проехал 525 вёрст, то 1-ый – 525+175 = 700 вёрст. Так как время пути одинаково, то отношение скоростей путешественников равно отношению пройденных ими расстояний: [pic] = [pic] = [pic] , где x и y – скорости путешественников (верст в день), значит x=4/3×y=4y/3.

По условию y(x+y)=525, так как x=4y/3, получается уравнение y(4y/3+y)= =525.

Теперь решим это уравнение: y(4y/3 + y)= 525;

4y2/3 + y2 = 525;

7y2/3 = 525;

7y2 = 525 × 3;

7y2 = 1575;

y2 = 225;

y = 15.

Итак, y=15 (вёрст в день) – скорость 2-ого путешественника, тогда скорость 1-ого – x=4×15/3=20 (вёрст в день).

Ответ:15 вёрст в день проезжает 1-ый путешественник, 20 вёрст в день - 2-ой.

Как известно, великий русский писатель Лев Николаевич Толстой организовал в своем имении Ясная Поляна школу для крестьянских детей и сам преподавал в ней. Для учащихся он написал и издал «Азбуку», в которой есть раздел «Арифметика», откуда и взята эта задача. [pic]

«Артели косцов надо было скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам: первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще остался участок, скошенный на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?»

Решение: Пусть x – число косцов в артели, а y – размер участка, скашиваемого одним косцом в один день.

Площадь большого луга: xy/2+xy/4 = 3xy/4. Площадь малого луга: y+xy/4 = (xy+4y)/4

Но первый луг больше второго в 2 раза, значит: 3xy/4 : (xy+4y)/4 =2 или 3xy/(xy+4y)=2

3x/(x+4) = 2 3x = 2x+8 x = 8 Ответ: было 8 косцов

1.У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец?

Ответ: 13 и 22.

2.Муж и жена брали деньги из одного сундука, и ничего не осталось. Муж взял 7/10 всех денег, а жена 690 руб. Сколько было всех денег?

Ответ: 2300 руб.

3. Пять братьев разделили после отца наследство поровну. В наследстве было три дома. Три дома нельзя было делить, их взяли старшие три брата. А младшим за то выделили деньги. Каждый из старших заплатил по 800 рублей младшим. Меньшие разделили эти деньги между собой, и тогда у всех братьев стало поровну. Много ли стоили дома?

Ответ: 2000 руб. стоил каждый дом.

Л.Н.Толстой

«Человек есть дробь. Числитель — это сравнительно с другими – достоинства человека; знаменатель – это оценка человеком самого себя.

Увеличить свой числитель – свои достоинства – не во власти человека, но всякий может уменьшить свой знаменатель – свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству».

Л. Н. Толстой «Арифметика»

А.Аверченко «Экзаменационная задача»

«Два крестьянина вышли одновременно из пункта А в пункт Б, причем один из них делал в час четыре версты, а другой — пять. Спрашивается, на сколько один крестьянин придет раньше другого в пункт Б, если второй вышел позже первого на четверть часа, а от пункта А до пункта Б такое же расстояние в верстах, — сколько получится, если два виноторговца продали третьему такое количество бочек вина, которое дало первому прибыли сто двадцать рублей, второму восемьдесят, а всего бочка вина приносит прибыли сорок рублей».

Решение: (120 + 80): 40 = 5 (бочек).Следовательно, расстояние от пункта А до пункта Б равно 5 верстам. Первый крестьянин пройдет это расстояние за 5: 4 — 1,25 (часа), а второй — за 4: 4 = 1 (час), т.е. затратит на этот путь на 0,25 часа меньше, чем первый. Поскольку второй крестьянин вышел на четверть часа позже второго, то они придут в пункт Б одновременно.

Л. Гераскина «В стране невыученных уроков»

Пять землекопов выкопали траншею в сто погонных метров за четыре дня.

Сколько погонных метров выкопал каждый землекоп в течение двух дней при условии, что все землекопы выполнили одинаковый объем работ?

Решение: 1)100: 4: 5 · 2 = 10 (м) Ответ: выкопал каждый землекоп в течение двух дней.

Задачи от Григория Остера: «Задача про кактус»

Федя с одноклассниками и учительницей пошел на экскурсию в ботанический сад и там присел отдохнуть на кактус. 27 колючек он сумел вытащить из себя сам. 56 колючек достала из него учительница. Каждый из 24 его одноклассников вынул из Феди по 12 колючек. Оставшиеся 187 штук помогли добыть другие посетители ботанического сада. Узнай, сколько колючек торчало из кактуса до того, как Федя присел на него отдохнуть, если во время этого события кактус расстался с третьей частью колючек?

Решение: 3· (27+56+12· 24+187) = 1674 (кол.) Ответ: 1674 колючки торчало из кактуса.

Илья Ильф и Евгений Петров «Двенадцать стульев»

«Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей».

Напрашивается вопрос: сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? А для единственности решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Найдите решение.

Решение:

а) Пусть x – взято трехрублевок, а y- взято пятирублевок. Тогда составим уравнение: 3x+5y=50. Найдем пары решений: (5 и 7), (10 и 4), (15 и 1).

б) Пусть а – осталось трехрублевок, и b – осталось пятирублевок. Составим уравнение: 3а+5b=20. Найдем пары решений: (5 и 1), (0 и 4). Путем анализа результатов получаем: 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор.

Илья Ильф и Евгений Петров «Золотой теленок»

«Было по равному количеству служащих. На станции Дроздово было комсомольцев в 6 раз меньше, чем на двух других, вместе взятых, а на станции Воробьево партийцев было на 12 человек больше, чем на станции Грачево. Но на этой последней беспартийных было на 6 человек больше, чем на первых двух. Сколько служащих было на каждой станции и какова там была партийная и комсомольская прослойка?»

Эта задача требует дополнительного условия, иначе решения не будет. Сформулируем его в виде вопроса: Какое наименьшее число служащих надо знать, чтобы задача получила единственное решение?

А.С. Пушкин «Евгений Онегин»
Вот пистолеты уж блеснули,
Гремит о шомпол молоток.
В граненый ствол уходят пули,
И щелкнул в первый раз курок.
Вот порох струйкой сероватой
На полку сыплется. Зубчатый,
Надежно ввинченный кремень
Взведен еще. За ближний пень
Становится Гильо смущенный.
Плащи бросают два врага.
Зарецкий тридцать два шага
Отмерил с точностью отменной,
Друзей развел по крайний след,
И каждый взял свой пистолет,
«Теперь сходитесь».
Хладнокровно,
Еще не целя во врага
Походкой твердой, тихо, ровно
Четыре перешли шага,
Четыре смертные ступени.
Свой пистолет тогда Евгений,
Не преставая наступать,
Стал первым тихо подымать.
Вот пять шагов еще ступили,
И Ленский, жмуря левый глаз,
Стал также целить – но как раз
Онегин выстрелил… Пробили
Часы урочные: поэт
Роняет молча пистолет...
Поставим вопрос: На каком расстоянии стрелялись Онегин и Ленский?
Решение. 32 – (4 + 4) – (5 + 5) = 14. Т.о. делаем вывод: Онегин и Ленский стрелялись с расстояния в 14 шагов. Согласитесь, расстояние настолько маленькое, что промахнуться на этой дуэли практически невозможно.
В романе А.Дюма «Три мушкетера» описывается игра в кости (кубики, на гранях которых нанесены цифры от 1 до 6).
« Д’Артаньян, дрожа, бросил кости, выпало три очка; его бледность испугала Атоса, и он ограничился тем, что сказал:
— Неважный ход приятель...
Торжествующий англичанин даже не потрудился смешать кости; его уверенность в победе была так велика, что он бросил их на стол, не глядя; Д’Артаньян отвернулся, чтобы скрыть досаду.
— Вот так штука, — как всегда спокойно проговорил Атос, — какой необыкновенный ход, я видел его всего четыре раза за всю мою жизнь: два очка!
Англичанин обернулся и онемел от изумления; Д’Артаньян обернулся и онемел от радости».
Поставим вопрос: почему Д’Артаньян решил, что проиграл? Почему англичанин решил, что выиграл? Можно решать задачу. Выигрывает тот, кто набрал больше очков. Самое минимальное количество очков, которое можно набрать – это два, т.е. на каждом кубике должно выпасть по одному очку. Следующее минимальное количество очков – это 3, т.е. когда на первом кубике выпадет – 2 очка, а на втором – 1 очко или наоборот. И вот этот случай выпадения очков 2:1 или 1:2 именно по отношению к случаю 1:1 будет в два раза вероятнее.

Математические задачи мы встречаем и в книгах Джека Лондона. Американский писатель Джек Лондон (рис. 10) родился 12 января 1876 в Сан-Франциско. Весной 1897 года Джек Лондон поддался "золотой лихорадке" и уехал на Аляску. В Сан-Франциско вернулся в 1898, испытав на себе все прелести северной зимы. Вместо золота судьба одарила Джека Лондона встречами с будущими героями его произведений. [pic]

Задача

В одном из своих рассказов писатель повествует о том, как он спешил из Скагвея в лагерь к заболевшему другу. В сани было запряжено пять собак (рис.11). Первые сутки Джек Лондон передвигался с заранее намеченной скоростью. На второй день две собаки оборвали постромки и убежали со стаей волков (рис. 12). Дальше пришлось продолжать путь на трех собаках, которые тянули сани со скоростью, равной 3/5 первоначальной. Поэтому путешественник прибыл к месту назначения на двое суток позже, чем предполагал. Автор пишет: «Если бы две убежавшие собаки пробежали в упряжке еще пятьдесят миль, я опоздал бы только на один день против намеченного срока».

Решение

Пусть t – количество дней в пути, тогда S – расстояние за первый день

Мы можем найти S, если в упряжке было 5 собак:

Исходя из решения, мы видим, что задача у Джека Лондона верная.

Ошибка Джека Лондона

В своем романе «Маленькая хозяйка большого дома» (рис. 13) Джек Лондон дает материал для геометрического расчета [6]: [pic]

Задача

«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикрепленный к трактору. Механики нажали на рычаг – и мотор заработал.

Машина сама двинулась вперед, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.

− Чтобы окончательно усовершенствовать машину, − сказал Грэхем, − вам остается превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.

− Да, на квадратном поле пропадет при такой системе очень много земли.

Грэхем произвел некоторые вычисления, затем заметил:

− Теряется примерно три акра из каждых десяти.

− Не меньше».

Давайте проверим этот расчет.

Решение

Расчет неверен: теряется меньше чем 0,3 всей земли. Пусть в самом деле сторона квадрата a. Площадь такого квадрата − . Диаметр вписанного круга равен также a, а его площадь − . Пропадающая часть квадратного участка составляет:

Ошибки в математических рассуждениях допускали и русские писатели и поэты.

Сказка о царе Салтане и тридцати трёх богатырях

На уроке литературы в 5 классе учительница задала нам необычный вопрос: докажите, что сказка о царе Салтане именно сказка, а не быль. Сама постановка задачи вызвала недоумение: никогда прежде на уроках литературы мы ничего не доказывали! Да, мы рассуждали, спорили, учились аргументировано отстаивать свое мнение, но доказывать... на уроках литературы... Нет, такого не было. Это же не математика!

А дальше было вот что. Допустим, сказала наш учитель, сказка о царе Салтане — это быль, и всякое высказывание в ней истинно. Рассмотрим, как корабельщики рассказывают царю Салтану про чудо - явления тридцати трех богатырей:

Каждый день идет там диво:

Море вздуется бурливо,

Закипит, подымет вой,

Хлынет на берег пустой,

Расплеснется в скором беге —

И останутся на бреге

Тридцать три богатыря,

В чешуе златой горя,

Все красавцы молодые,

Великаны удалые,

Все равны, как на подбор;

Старый дядька Черномор

С ними из моря выходит

И попарно их выводит,

Чтобы остров тот хранить

И дозором обходить.[11]

... Итак, на берег из моря выходят 33 молодых богатыря и старый дядька Черномор, который выводит их парами, то есть по двое. Но 33 на 2 не делится, следовательно, поэтическое описание оказывается ложным, невозможным с точки зрения математики . Отсюда следует, что произведение Александра Сергеевича Пушкина действительно является сказкой, что и требовалось доказать.

Неужели поэт ошибся? Получается так, что наш великий поэт допустил элементарную математическую ошибку и не заметил, что 33 нельзя раз делить нацело на 2? Нет, конечно. Почти шесть лет - с 19 октября 1811 года до 9 июня 1817 - Пушкин провел в Императорском Лицее, который принадлежал к числу учебных заведений с энциклопедической программой обучения и воспитания. Он давал общее высшее образование, приравненное к университетскому. Обучение в Лицее длилось шесть лет: первые три года - начальный курс - изучались предметы старших классов гимназии, три последующих года - университетский (или окончательный) курс - предметы университета. В лицейском Уставе говорилось о равноправии гуманитарных и точных наук: «При вступлении воспитанников в курс окончательный науки нравственные, физические и математические должны занимать первое место». Пройдет всего несколько лет, и многочисленные научно-технические открытия изменят представления о мире и вызовут огромный интерес к точным наукам. И появятся гениальные пушкинские строки:

О сколько нам открытий чудных

Готовят просвещенья дух,

И опыт, сын ошибок трудных,

И гений, парадоксов друг...[8]

О высоком качестве математического образования в лицее говорит следующий факт: Однажды в конце учебного года профессор Я.И.Карцов попросил своих учеников вычислить сумму 1 + 2 + 3 + ... + 10.

Кто быстро, кто не очень, но каждый получил ответ - 55. А теперь, - продолжил учитель, - перед некоторыми из этих десяти чисел поставьте знак минус так, чтобы полученная сумма равнялась нулю. Кто этого добьется, получит отличную оценку за год! Доподлинно неизвестно, чем закончилась эта история. Быть может, задача оказалась сложной для лицеистов -гуманитариев. Дело в том, что получить ноль таким образом невозможно, и ожидаемое учителем доказательство этого несомненно заслуживает пятерки.

Летом 1831 года, женившись, Пушкин проводил лето в Царском Селе и вновь посетил Лицей. Известно, что лицеистов в классе рассаживали в соответствии с успехами в учении: чем ниже успеваемость воспитанника, тем дальше от кафедры он должен был садиться. И вот тогда летом 31-го года один самый смелый воспитанник спросил поэта - за что учитель математики отправил его за самую последнюю парту? ! - Я не мог 33 разделить на 2! - улыбнулся поэт.

В это время, летом 31-го, Пушкин завершал работу над «Сказкой о Царе Салтане». В рукописях поэта сохранились две записи этого сюжета, относящиеся к 1822 и 1824 годам. Вернувшись из Лицея к своему письменному столу, поэт вновь вспомнил пору своего ученичества, вспомнил и эпизод с делением, всего-то на всего - одно число разделить на другое. Но это деление у юного Александра никак не получалось. Это был именно тот день, когда учитель сказал ему: «Ступайте, Пушкин, на место! И продолжайте лучше сочинять свои стихи!..»

Историю о том неудавшемся делении и зашифровал поэт в рассказе о тридцати трех богатырях, выходящих из моря парами!...

Учёный кот Пушкина

А.С. Пушкин писал: «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии»[10].

Читая произведения Пушкина, мы находим применение геометрии. Кому не известны следующие пушкинские строки из поэмы «Руслан и Людмила».

У лукоморья дуб зеленый

Златая цепь на дубе том.

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом. [10]

А задумываемся ли мы над тем, какую линию описывает кот при своем движении? На первый взгляд может показаться, при таком движении описывается окружность. Но это неверно. Ведь цепь все время наматывается или сматывается с дуба так, что она натянута и образует касательные к окружности ствола. Ее концы при этом описывают сложную геометрическую кривую. Так что кот не зря назван Пушкиным «Ученым»: он знаком с этой геометрической кривой.

Башня Гоголя

Что увеличивается быстрее: высота поднятия или дальность горизонта?

Многие думают, что с возвышением наблюдателя горизонт возрастает необычайно быстро. Так думал и Н.В. Гоголь, писавший в статье «Об архитектуре нашего времени».

[pic]

«Башни огромные, колоссальные, необходимы в городе…У нас обыкновенно ограничиваются высотой, дающей возможность оглядеть один только город, между тем как для столицы необходимо видеть, по крайне мере на полтораста вёрст во все стороны, и для этого, может быть, один только или два этажа лишних, - и всё изменяется. Объём кругозора по мере возвышения распространяется необыкновенною прогрессией» (1 верста составляет 1,0668 км, 150 верст – 160 км)

Так ли в действительности?

Рассмотрим формулу: [pic]

где l – дальность горизонта,

R – радиус земного шара (»6400км),

h – возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью.

Из формулы видно, что дальность горизонта растёт медленнее, чем высота поднятия: она пропорциональна квадратному корню из высоты. Когда возвышение наблюдателя увеличивается в 100 раз, горизонт отодвигается всего только в 10 раз дальше.

[pic]

Поэтому ошибочно утверждать, что «один только или два этажа лишних, – и всё изменяется».Что же касается идеи сооружения башни, с которой можно было бы видеть, «по крайне мере, на полтораста вёрст», т.е. на 160 км, то она совершенно несбыточна. Н.В.Гоголь, конечно, не подозревал, что такая башня должна иметь огромную высоту, равную 2 км. Это высота большой горы.

Задача о «Гордом холме»

Сходную ошибку делает и А.С.Пушкин, говоря о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».Существует старинная легенда восточных народов, рассказанная им в «Скупом рыцаре»: [pic]

Читал я где-то,

Что царь однажды воинам своим

Велел снести земли по горсти в кучу,

И гордый холм возвысился – и царь

Мог с вышины с весельем озирать

И дол, покрытый белыми шатрами,

И море, где бежали корабли. [12]

Таким образом, можно сформулировать математическую модель данной задачи:

Какую высоту будет иметь куча песка, насыпанная горстями людей из древнего войска?

На какое расстояние увеличится дальность горизонта, если находится на вершине этого кургана?

По экспериментальным данным среднее значение одной горсти песка у одного взрослого мужчины может быть равным 156 см³.

Объем горсти песка, см³

Среднее значение, см³

190

156

148

152

134

Старинные армии были не так многочисленны, как современные. Рассмотрим большое войско, состоящее из 100 000 человек. Поэтому по моим расчетам объем такого холма мог быть:

³= 15,6м³.

Высота холма при заданных условиях будет составлять высоту конуса. Угол откоса ≤ 45⁰, иначе земля начнет осыпаться. Возьмем угол откоса максимальный в 45⁰.

Если даже каждый воин принес не горсть земли, а пригоршню, то и тогда по результатам эксперимента её средний объем равен 284 см³.

Объем пригоршни песка, см³

Среднее значение, см³

290

284

210

325

310

А объем холма: 28400000см³=28,4м³.

Высота такого холма немного отличается от предыдущего и будет:

3,005м

Надо обладать очень богатым воображением, чтобы земляную кучу высотой в 3 метра назвать «гордым холмом». Сделав расчет для меньшего угла, мы получили бы еще более скромный результат.

У великого полководца Атиллы было самое многочисленное войско, какое знал древний мир. Историки оценивают это войско в 700 000человек. Если бы эти воины участвовали в насыпании холма, то куча была бы выше. Объем такой кучи был бы в 7 раз больше рассчитанной, а высота холма превышала вычисленную высоту в . Она равнялась бы 3 1,9 = 5,7 м. Наверное, курган таких размеров не удовлетворил бы честолюбие Атиллы.

А.С. Пушкин делает ошибку, говоря о далёком горизонте, открывающемся с вершины «гордого холма».

Полчища Атиллы не смогли воздвигнуть холм выше 5,7м. теперь можно завершить расчеты, определив, насколько холм этот расширял горизонт наблюдателя, поместившегося на его вершине.

Глаз такого зрителя возвышался бы над почвой на 5,7+1,5=7,2, т.е. на 7 метров, и следовательно, дальность горизонта была ровно бы 8,8 км. Это всего на 4 км больше того, что можно видеть, стоя на ровной земле, а наблюдать море можно, если находишься на его берегу.

Это легенда, в которой при кажущемся правдоподобии нет и зерна правды. Доказано геометрически, что если бы какой-нибудь древний деспот вздумал осуществить такую затею, он был бы обескуражен мизерностью результата. Перед ним высилась бы настолько жалкая куча земли, что никакая фантазия не смогла бы раздуть ее в легендарный «гордый холм».

В заключение – не задача, а малоизвестный шутливый рассказ А.П. Чехова «Урок арифметики».
В сельской школе заболел учитель, и вместо него на урок арифметики пришел местный священник.
— Сегодня, дети – сказал он, — мы с вами займемся умножением и делением. Возьмем, например, 40 и разделим на 8.
Батюшка написал на доске 40, провел вертикальную черту, горизонтальную, и задумался и сказал: «3». И еще подумал и сказал: «Мало». Он зачеркнул цифру 3 и написал 4. «Теперь достаточно, — сказал священник. – Умножаем 4 на 8, получаем 32. Вычитаем из 40 32 и получаем 8. Делим 8 на 8, получаем 1. Итого 41». Батюшка долго смотрел на доску и говорил: « Странно». Про себя он думал: делили 40 на 8, а получили 41. Вдруг его осенило.
— Каждое действие деление можно проверить умножением. Возьмем 41 и умножим на 8. Батюшка выполнил действие на доске и получил 40. Он долго смотрел на доску и говорил: «Странно». Но последние его слова были: «Странно, но верно!»

Математические задачи в художественных произведениях:фантазия, воображение, реальный расчет

Оглавление

[link] , свободный