Задачи по теме «Цикличность».
Малькова Т.Н., учитель математики
МБОУ «СОШ № 1» г. Мензелинска РТ
1. Сегодня воскресенье. Какой день недели будет через 1000 дней?
2. На дворе зима. Какое время года будет: а) через 999 месяцев;
б) через 1000 месяцев?
3. Сейчас полдень. Куда будет показывать часовая стрелка через 1000 часов? А какое будет время суток?
4. Ребята перебрасывают мяч. Петя всегда бросает мяч Мише, Вася – Ване, Коля – Васе, Ваня – Саше, Миша – Коле, Женя – Пете, Саша – Жене. Начинает Коля. У кого окажется мяч после пятидесятого броска?
5. Олегу подарили игрушечного робота. Олег включил его и долго наблюдал. Вот что он заметил:
1) если сейчас робот кивает, то через минуту он моргает;
2) если сейчас робот топает, то через минуту он хлопает;
3) если сейчас робот пищит, то через минуту он кивает;
4) если сейчас робот трещит, то через минуту он пищит;
5) если сейчас робот моргает, то через минуту он топает;
6) если сейчас робот хлопает, то через минуту он трещит.
Сейчас робот пищит. Что он будет делать через 40 минут?
6. При дворе короля служили герцоги, графы и бароны. В начале правления их было 1000, но каждый день один из них убивал другого на дуэли. При этом герцоги убивали только графов, графы только баронов, а бароны только герцогов. Ни один из придворных не выиграл дуэль дважды. Известно, что последним погиб барон. Какой титул был у первого погибшего придворного?
7. Перемножили тысячу двоек. Найдите последнюю цифру произведения.
8. В новогоднюю ночь на подоконнике стояли в ряд (слева направо) герань, крокус и кактус. Каждое утро Маша, вытирая пыль, меняет местами цветок справа и цветок в центре. Днём Таня, поливая цветы, меняет местами тот, что в центре, с тем, что слева. В каком порядке будут стоять цветы через 365 дней в следующую новогоднюю ночь?
9. В саду Деда Мороза. Вот уже более тысячи лет в саду Деда Мороза живет Волшебная елка. Известно, что каждое утро на ней вырастают 100 иголок, и каждая иголка живет ровно 4 года, а затем отмирает. Сколько всего иголок на Волшебной елке?
10. Установите, какой цифрой оканчивается разность 4343 – 1717 .
11. На какую цифру оканчивается число 32015 + 42016 ?
12. Какова 2015-я цифра в десятичном разложении дроби = 0,142857… ?
13. В январе месяце некоторого года 3 воскресенья приходились на четные числа. Какой день недели был 1-го января?
14. Архив календарей. Известно, что календари на некоторые годы одинаковы (в них совпадают и числа, и дни недели). (Так, календарь 2015 года полностью совпадает с календарем 1986 года). Сколько различных календарей нужно иметь в архиве, чтобы не покупать новых в течение всего XXI века?
Ответы и решения.
1.Ответ: суббота.
2. Ответ: а) весна; б) весна или лето.
3. Ответ: 4 ч; утро.
4. Ответ: у Васи.
5. Ответ: хлопать.
6. Ответ: барон.
7. Ответ: 6.
Решение. 21000 = (24)250 = 16250 оканчивается цифрой 6, т.к. любая степень числа 6 оканчивается цифрой 6.
8. Ответ: (слева направо) крокус, кактус, герань.
Решение. Нетрудно убедиться, что через три дня расположение цветков будет тем же, что и в начале. Значит, оно будет таким же и через 6, 9, 12 дней и вообще через любое количество дней, которое делится на 3. Значит, через 363 дня расположение цветков будет совпадать с исходным. Теперь легко проверить, что через 365 дней слева будет стоять крокус, справа – герань, а в середине – кактус.
9. Ответ: 146100 иголок.
Решение. Заметим, что после того, как Волшебной елке исполнилось 4 года, количество иголок на ней не менялось. В четырех годах (включая високосный) 1461 день. Через 1461 день выпадут все иголки, которые были сегодня на Волшебной елке и только они. Каждый день выпадало по 100 иголок, значит, всего выпало 146100 иголок.
10. Ответ: 0.
Решение. Обратимся к последним цифрам чисел 4343 и 1717. Следует поискать закономерность последней цифры натуральной степени числа, оканчивающегося цифрой 3. Последовательность этих цифр: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, … . Четвертое, восьмое, двенадцатое и т. д. места занимает цифра 1. Значит, 4340 оканчивается цифрой 1, а 4343 – цифрой 7. Для числа, оканчивающегося цифрой 7, далее аналогично можно установить последовательность последних цифр натуральных степеней 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … и 1716 оканчивается цифрой 1, а 1717 – цифрой 7. Так как оба числа 4343 и 1717 оканчиваются одной и той же цифрой 7, то их разность оканчивается нулем.
11. Ответ: 3.
12. Ответ: 5.
Решение. Если разделим 1 на 7 «уголком», то убедимся, что = 0,(142857). Остаток от деления 2015 на 6 равен 5, следовательно, на 2015-м место стоит цифра 5.
13. Ответ: суббота.
Решение. Обратимся к календарю. По-видимому, воскресеньями были 30, 23, 16, 9 и 2 января (три из них, как сказано по условию задачи, четные числа). Поэтому 1 января была суббота.
14. Ответ: 14 календарей.
Решение. Необходимо 14 календарей: для 7 обычных и 7 високосных лет.
