9 класс (ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ)
Урок № 1. Правило умножения
Цели урока:
познакомить учащихся с новым разделом математики — «Комбинаторика»;
познакомить учащихся с основными способами подсчета числа различных комбинаций элементов;
показать учащимся правило умножения и закрепить его решением примеров.
Ход урока
Объяснение нового материала
В повседневной жизни часто приходится выбирать различные варианты принятия решения. Чтобы не упустить ни один из них, надо осуществить перебор всех возможных комбинаций или подсчитать их число. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором они рассматриваются, назвали комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.
Начнем знакомство с новыми понятиями с простой задачи, но решим ее тремя различными способами.
Задача. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3 и 5?
Решение.
Способ I (перебор возможных вариантов). Будем выписывать числа в порядке возрастания, а чтобы не пропустить и не повторить ни одно из чисел, составим таблицу:
- 13
15
31
33
35
51
53
55
Первая цифра числа — номер строки, вторая цифра — номер столбца. Искомых чисел будет столько, сколько клеток в таблице, то есть 3 · 3 = 9.
Ответ: 9.
Способ II (использование дерева возможных вариантов).
[pic]
Всего 3 · 3 = 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9.
Комментарий. Этот способ нагляден, как всякая картинка, и позволяет все учесть, ничего не пропустив.
Способ III (комбинаторное правило умножения) Ответ на вопрос, поставленный в задаче, можно получить, не выписывая сами числа. Будем рассуждать так.
Первую цифру можно выбрать тремя способами. Вторую цифру также можно выбрать тремя способами. Всего 3 · 3 = 9 различных двузначных чисел.
Ответ: 9.
Комментарий. Этот способ позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.
Если элемент x можно выбрать m способами, а элемент y можно выбрать n способами, то упорядоченную пару элементов (x; y) можно выбрать m · n способами.
Когда выбираются более двух элементов, тогда их упорядоченный набор можно выбрать, перемножая количества способов выбора каждого элемента.
У каждого из этих способов есть свои преимущества и свои недостатки.
Задача. Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
А В С Пристань
Решение.
Путь из А в В туристы могут выбрать 2 способами. Далее в каждом случае они могут проехать из В в С тремя способами. Значит 2⋅3 варианта маршрута из А в С. Т.к. из С на пристань можно попасть двумя способами, то всего существует 2⋅3⋅2 = 12 способов выбора туристами маршрута из города А к пристани.
Закрепление изученного материала
№ 714 , № 716, № 718, № 720, № 722
№ * Второй класс, в котором 23 ученика, но мальчиков меньше, чем девочек, отправился на экскурсию в музей. За время экскурсии каждый мальчик по одному разу дернул за косичку каждую девочку. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе, если всего было произведено 132 дергания за косички?
Решение. 1. Пусть в классе m мальчиков и n девочек, тогда по комбинаторному правилу умножения число комбинаций равно m · n.
2. В классе m мальчиков, тогда (23 – m) девочек. Произведено m· (23 – m) дерганий за косички, что по условию задачи составляет 132.
3. Составим и решим уравнение: m· (23 – m) = 132.
4. Корнями уравнения являются числа 11 и 12.
5. По условию задачи мальчиков меньше, чем девочек. Следовательно, мальчиков 11, а девочек 12.
Ответ: 11 мальчиков и 12 девочек.
Самостоятельная работа по теме «Правила умножения»
1. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 7
2. У Насти 3 брюк, 5 блузок и 2 кепки, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить?
3. Из Петербурга в Москву можно добраться на поезде, самолете, автобусе или теплоходе, а из Москвы во Владимир — на автобусе или электричке. Сколькими способами можно осуществить путешествие Петербург – Москва – Владимир?
Проверка самостоятельной работы и обсуждение решения задач проводится сразу после проведения работы.
Итог урока
Какими способами можно найти число различных комбинаций элементов?
Сформулируйте комбинаторное правило умножения для подсчета способов выбора упорядоченных пар элементов.
Задание на дом
1. Повторить п. 30.
2. № 719, №724, № 726, № 731
3*. Придумать задачу на комбинаторное правило умножения. Решить ее и оформить решение на альбомном листе (можно различными способами).
