О соотношении формул для вычисления сумм степенных рядов.
Рекуррентный метод.
Для того, чтобы суммировать подряд идущие первые члены степенного ряда, удобно использовать формулу: если все члены ряда имеют степень к, т.е. 1к, 2к, 3к, …,nк, то применяем формулу:
Распишем данную формулу по Биному Ньютона:
Выведем формулу для вычисления суммы первых n-членов N чисел, используя рекуррентный метод.
Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии.
n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле: , где — первый член прогрессии, — член с номером , — количество суммируемых членов.
, где
Воспользовавшись формулой, получим:
Аналогичным образом выведем формулу для вычисления суммы первых n-квадратов N-чисел.
Будем использовать формулу:
…………………………………………….
Сложив все члены ряда, получим:
Подставим в данную формулу уже известную нам и получим:
Выведем формулу для вычисления суммы первых n-кубов N-чисел, используя рекуррентный метод.
Аналогично.
Будем использовать формулу:
Получим:
Выведем формулу для вычисления суммы первых n-членов N-чисел в четвертой степени.
Аналогично.
Будем использовать формулу:
Получим:
Выведем формулу для вычисления суммы первых n-членов N-чисел в пятой степени.
Аналогично.
Будем использовать формулу:
Получим:
Выведем формулу для вычисления суммы первых n-членов N-чисел в пятой степени.
Аналогично.
Будем использовать формулу:
Получим:
