Зачет по теме «Метод координат в пространстве»
Вариант 1.
Какая формула связывает координаты вектора с координатами его начала и конца?
Запишите формулу для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.
Сформулируйте основные свойства скалярного произведения векторов.
Задача: 1) Найдите скалярное произведение векторов a и b, если:
а) | a| =4; |b| =√3 ( a b )=30◦
б) a {2 ;-3; 1}, b = 3 i +2 k
Задача: 2) Даны точки М(2; -1; 3); N(-4; 1; -1); P(-3; 1; 2); Q(1; 1; 0). Вычислите расстояние между серединами отрезков MN и PQ.
Вариант 2.
Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если ее аппликата равна нулю?
Каждая координата разности двух векторов равна ……………….
Длина вектора a { x y z} вычисляется по формуле ……………………
Задача: 1) Даны точки А (-3; 1; 2) и В (1; -1; 2). Найдите:
а) координаты середины отрезка АВ;
б) координаты и длину вектора АВ.
Задача: 2) Найдите длину средней линии ∆АВС, параллельную стороне АВ и его угол при вершине С, если А(1;-1;3); В(3;-1;1) и С(-1;1;-3).
Вариант 3.
Сформулируйте определение скалярного произведения векторов
Каждая координата произведения вектора на число равна………………..
Расстояние между точками М 1(x 1 ; y 1; z 1) и M2 (x 2;y2 ; z2) вычисляется по формуле……..
Задача: 1) Даны векторы a {2;-4 ;3}; b{-3; 2 ; 1}. Найдите
а) координаты вектора c = 2a+b;
б) |с|
Задача: 2) Даны точки А(0;4;0), В(2;0;0), С(4;0;4) и D(2;4;4). Докажите, что АВСD - ромб.
_________________________________________________________________
Вариант 4.
Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если ее абсцисса равна нулю?
Каждая координата суммы двух или более векторов равна ……………..
Абсолютная величина вектора a { x y z} вычисляется по формуле…………..
Задача 1) Даны векторы a {2; -3; 5) и b {-2 ; 1; 2}. Найдите:
а) координаты вектора с= a – 3 b;
б) |с|
Задача 2) Найдите периметр ∆АВС и его угол при вершине А, если А(1;-1;3); В(3;-1;1) и С(-1;1;-3).
_________________________________________________________________
Вариант 5.
Скалярное произведение векторов a { x1; y1; z1} b {x2 ; y2 ; z2} выражается формулой…………………
Сформулируйте условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.
По какой формуле вычисляются координаты середины отрезка?
Задача 1) Даны векторы a {4; -3; 5) и b {-3 ; 1; 2}. Найдите:
а) координаты вектора с=2 a – 3 b;
б) |с|
Задача: 2) Найдите площадь ∆АВС и его угол при вершине В, если А(1;-1;3); В(3;-1;1) и С(-1;1;-3).
_________________________________________________________________
Вариант 6.
Как расположена точка относительно прямоугольной системы координат, если ее ордината равна нулю?
Запишите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами a и b с заданными координатами a { x1; y1; z1} b {x2 ; y2 ; z2}.
По какой формуле вычисляется абсолютная величина вектора?
Задача 2) Даны точки А(2;1;-8), В(1;-5;0), С(8;1;-4).
Докажите, что ∆АВС равнобедренный и найдите длину средней линии треугольника, соединяющий середины боковых сторон.
