Содержание.
1.Введение.
2.Теоретическая часть.
3.Практическая часть.
4.Заключение
5.Список используемой литературы
6. Приложение
Введение.
В представленной работе исследуются методы нахождения угла между скрещивающимися прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.
Эта работа актуальна потому что, исследуя методы на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ. Предметом моих исследований стали геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.
Цели работы:
Рассмотреть теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми.
Обобщить все знания, полученные в ходе исследования.
Сделать выводы.
Задачи:
Изучить литературу по данной теме.
Познакомиться с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
Подобрать задачи по данной теме.
Исследовать задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.
Гипотеза: С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение олимпиадных задач и заданий ЕГЭ – С2».
Теоретическая часть.
Скрещивающиеся прямые.
Определение: Прямые не лежащие в одной плоскости называются скрещивающимися (см. Рис.1).
Теорема: Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.
[pic]
Рисунок 1. Скрещивающиеся прямые.
Угол между скрещивающимися прямыми.
Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым (см. рис 2).
[pic]
Рисунок 2. Угол между скрещивающимися прямыми b и a.
Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми.
Поэтапно-вчислительный.
Первый способ — с помощью параллельного переноса. Напомним, в чем его суть: мы производим перенос одной из скрещивающихся прямых (или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.
Алгоритм решения:
Определение типа прямых.
Параллельный перенос одной или обеих прямых.
Нахождение требуемого угла.
Пример (см.рис.3).
а) Пусть а и b – данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α.
б) Через точку А проведем прямую с||b. Получившийся ∠MAN- угол между скрещивающимися прямыми.
в) Выберем на прямой а - какую-нибудь точку М, а на прямой с - точку N. Получим треугольник AMN. Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем .
[pic]
Рисунок 3. Поэтапно-вычислительный метод.
Метод трех косинусов.
Алгоритм:
Определить тип прямых.
Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость.
Найти косинус
Нахождение искомого угла.
Пример (см. рис. 4).
а) а и b-скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую а плоскость α пересекающую прямую b.
б) Спроектируем b на α. b1- проекция.
в)
[pic]
Рисунок 4. Метод трех косинусов.
Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.
Пример (см. рисунок 5).
а) а и b – скрещивающиеся прямые.
б) Плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b1 проекция прямой b.
в) На прямой b лежит отрезок длинной d, а его проекция на плоскость α имеет длину d1.
г) Тогда верна формула , где α- угол между прямыми а и b.
[pic]
Рисунок 5. Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.
Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую (см. прил. 9).
Пример (см.рис. 6):
а) a и b – скрещивающиеся прямые.
б) На прямой a находится отрезок длины d, и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d1.
в) Тогда верна формула , где α – угол между прямыми a и b.
[pic]
Рисунок 6. Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую.
Метод тетраэдра.
Весьма эффективный метод, но встречается достаточно редко.
Пример (см. рис. 7).
Для тетраэдра верна формула .
[pic]
Рисунок 7. Метод тетраэдра.
Я подробней остановлюсь на самом универсальном на мой взгляд, самом доступном для понимания, координатном методе.
Координатный метод.
Алгоритм:
На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. векторы).
Вписываем фигуру в систему координат.
Находим координаты концов векторов.
Находим координаты Векторов.
Подставляем в формулу "косинус угла между векторами".
После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.
Чтобы освоить этот метод, надо хорошо уметь находить координаты точки в пространстве и правильно располагать многогранники в системе координат. Более подробно с расположением стереометрических фигур в системе координат вы можете ознакомиться в приложение (см. прил. 1-6).
Формула косинуса угла между векторами.
,
где .
Практическая часть.
Задача №1. На ребре ВВ1 куба ABCDA1B1C1D1 взята точка К так, что BK:KB1=3:1. Найдите угол между прямыми AK и BD1 (см. рис.8).
[pic]
Рисунок 8. Задача №1.
1) AK и BD1 – скрещивающиеся прямые.
2) Д.П. достроим куб до призмы A1B1C1D1A2B2C2D2, где ABCDA2B2C2D2-куб. Отметить точку Е на АА1 так, что АЕ : ЕА2=3:1. Тогда AK параллельна BE. Рассмотрим треугольник EBD1. Возьмем сторону АВ=1; BE =1.25 (по теореме Пифагора).
3), по правилу параллелепипеда.
4), по теореме Пифагора.
по теореме косинусов.
5)Получим , где α искомый угол.
Ответ: .
Пример решения этой же задачи можете пронаблюдать в приложение (см.прил.7-8).
Задача №2. В правильный 4-х угольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 2,боковое ребро равно 1. Найдите угол между АА1 и B1D(см.рис.9).
[pic]
Рисунок 9. Задача №2.
АА1 и B1D – скрещивающиеся прямые.
т. А - проекция АА1, на плоскость ABC.
BD- проекция BD1-на АВС, тогда
;
Ответ:.
Задача №3. В правильной 6-ти угольной пирамиде АВС…F1 сторона основания равна корню квадратному из 2-х, а боковое ребро равно 1. Найдите угол между АF1 и B1C(см. рис. 10).
[pic]
Рисунок 10. Задача №3
AF1 и B1C- скрещивающиеся прямые.
F1A||BO, где O-центр 6-ти угольника ABCDEF.
Рассмотрим тетраэдр OBB1C:, по теореме Пифагора; в правильном треугольнике OB1A1;BB1=1;BC= по условию
-
Ответ:.
Задача №4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми AС1 и СB1.
10
