Методическая разработка
Тема: « Решение систем линейных уравнений с параметром»
Объяснение теоретического материала.
Определение. Системой линейных уравнений с двумя переменными называется два линейных уравнения, рассматриваемых совместно:
Решениями системы линейных уравнений называются такие пары чисел , которые являются
решениями одновременно и первого, и второго уравнения системы.
Пусть числа [pic] отличны от нуля.
Если , то система имеет единственное решение.
Если , то система не имеет решений.
Если , то система имеет бесконечно много решений.
Если с1, с2 равны нулю, то система называется однородной и всегда имеет решение (0 ; 0). Если однородная система имеет нулевое решение (x0; y0), значит, она имеет бесконечное множество решений (kx0; ky0).
Пример 1. При каких значениях параметра a система
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение?
Решение. Данная система уравнений является линейной, причем коэффициенты первого уравнения
отличны от нуля.
а) Система имеет бесконечное множество решений, если [pic] а = 4.
б) Система имеет единственное решение, если [pic] а [pic] 4
Обратить внимание на то, что уравнения поменяли местами, так как число а неопределенно.
В нашем случае а=0 является решением в случае б), чтобы не было недоумений с делением на нуль,
лучше вторым считать то уравнение, в котором все коэффициенты определены и не равны нулю.
Ответ: а) если а = 4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а [pic] 4, то решение единственное.
Пример 2. Решите систему уравнений:
Решение. Данная система уравнений является линейной.
а) Система имеет единственное решение, если [pic] , то есть m [pic] .
Решим систему при m [pic] :
1-(m+1) y = n-2y;
2y-(m+1) y = n-1;
y (1-m) = n-1;
[pic] , где m [pic] 1.
Найдем х, воспользовавшись любым уравнением системы:
[pic]
Итак, при m [pic] 1 решением системы является пара [pic] .
б) Система не имеет решений, если [pic] , то есть при m =1, n [pic] 1.
в) Система имеет бесконечно много решений, если [pic] , то есть m =1, n =1.
Пары вида [pic] , где x0 – любое число, являются решением системы в этом случае.
Ответ: если m =1, n [pic] 1 то решений нет; если m =1, n =1, то решений бесконечное множество [pic] ;
если m [pic] и n – любое число, то решение единственное: [pic] .
Рассмотрим еще примеры решений систем уравнений с параметрами.
Пример 3. Найти все значения параметра b, при каждом из которых система уравнений (1) имеет хотя бы одно решение.
Решение. Из первого уравнения системы следует, что . Подставив это выражение во второе уравнение системы, приходим к равносильной системе:
А) Если b=0 , то система несовместима
Б) Если b=3, то система имеет бесконечно много решений вида
, где а – любое число.
В) Если b ≠ 0, b ≠ 3, то система имеет единственное решение .
Следовательно, данная система имеет хотя бы одно решение при любом b, кроме b = 0.
Ответ: b
Пример. При каких значениях c и d система уравнений
имеет единственное решение х=1, у=1.
Решение. Подставив значения х=1, у=1 в систему , получим
Эта система имеет два решения : а) c = 0, d = 2; б) c = -2, d = 3. Таким образом, только при этих значениях c и d система (1) имеет решения х=1,у=1, но это не означает, что найденные значения параметров c и d обеспечивают единственность решения. Обязательно нужно сделать проверку, чтобы убедиться, действительно ли при этих значениях параметров система имеет единственное решение х=1, у=1.
А) Если с = 0, d = 2, то получим систему, которая имеет единственное решение х = 1, у = 1
Б) Если с = -2, d = 3, то получим систему, которая также имеет единственное решение х=1, у=1
Ответ: с = 0, d = 2 или с = -2, d = 3
Пример 4. При каких значениях а для любого b найдется хотя бы одно с такое, что система (1) имеет по крайней мере одно решение?
Решение.
Система (1) при b ≠ ±2 и при любых а и с имеет единственное решение
Если b=2, то система (1) приме вид(2)
Чтобы система (2) имела решение, должно выполняться условие
, т.е. . Рассматривая последнее соотношение как уравнение относительно с, замечаем, что оно имеет решение при любых а
Если b= -2 то система (1) приме вид(3)
Чтобы система (3) имела решения, должно выполняться условие
, т.е. . Рассматривая последнее соотношение как квадратное уравнение относительно с, замечаем, что оно имеет решение, если дискриминант Д = 4 + 4а ≥ 0, т.е. 1+а ≥0. Следовательно, а
Таким образом, при а всегда найдется такое с , что для любого значения b заданная система имеет по крайней мере одно решение.
Ответ: а
Пример 3. При каких значениях а и b системы уравнений
(1) и (2)
являются равносильными?
Решение. Система (1) имеет единственное решение
при любом значении параметра b.
Поэтому если при некоторых значениях параметров а и b заданные системы равносильны, то система (2) должна иметь то же самое единственное решение. Подставив это решение во второе уравнение системы(2), получим , откуда или b=±1, x0 = 2, y0 = 1 .
Из первого уравнения системы (2) найдем две пары значений а и b:
А) а = 2, b = 1,
Б) а = - 2\3, b = -1,
Проверим, каждая ли из этих пар удовлетворяет условию равносильности систем.
Пусть а = 2, b = 1, тогда система(2) примет вид. Эта система имеет бесконечное множество решений, т.к.. следовательно пара а = 2, b = 1, не обеспечивает равносильность систем (1) и (2).
Пусть а = - 2\3, b = -1, тогда система (2) примет вид иимеет единственное решение x0 = 2, y0 = 1
Ответ: а = - 2\3, b = -1
