Урок на тему Решение комбинаторных задач

“5” - если все верно

“4” - если одна ошибка

“3” - 2-3 ошибки

“2” - больше 3 ошибок

Учитель: Перевернем карточки, какое слово получили? (ДРУЖБА). Действительно, сегодня на уроке мы будем не только решать математические задачи, совершенствовать навыки вычислений, но и говорить о дружбе.

3. Новый материал.

Учитель: Итак, мы уже сказали, что будем сегодня учиться решать задачи, главным вопросом которых является вопрос “Сколькими способами..”.

Задача 1.

Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ” (нарезать листочки с этими словами – по 7 карточек на каждое слово). Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?

Учащиеся предлагают варианты, эти варианты составляют на доске.

Ответ: 6 способов.

Учитель: Как вы думаете, какой вариант является верным с точки зрения русского языка? (Дружба любит дело). Как вы понимаете это высказывание?

Учитель: Здесь был приведен полный перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят, всех возможных комбинаций. Поэтому это комбинаторная задача. Давайте подумаем, как можно записать, оформить решение этой задачи.

1 способ. Обозначим предложенные слова заглавными буквами:

ДРУЖБА – Д

ЛЮБИТ – Л

ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)

Тогда все названные вами способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.

2 способ.

Оказывается, решение можно оформить в виде модели, которую называют деревом возможных вариантов. Она, во-первых, наглядна, как всякая картинка, и, во-вторых, позволяет все учесть, ничего не пропустив,

Учащиеся под руководством учителя составляют схему:

[pic]

Способ 3 (рассуждение)

На первом месте может стоять одно из трех слов: ДРУЖБА, ЛЮБИТ, ДЕЛО. Если первое слово выбрано, то на втором месте может стоять одно из двух оставшихся слов, а на третьем месте – только одно оставшееся слово. Значит, всего вариантов:  [pic] .

Заметим, что последний прием называется правилом умножения.

У каждого из этих трех способов есть свои преимущества и свои недостатки (обсудить) Выбор решения – за вами! Отметим все же, что правило умножения позволяет в один шаг решать самые разнообразные задачи.

Задача 2.

У Ани 3 подруги, и она каждой из них купила по шоколадке и хочет подарить их к празднику. Сколькими способами она может это сделать?

Решение: Решение выполняют на доске ученики (решение выполняется 3 способами)

Задача 3.

В компании друзей – 6 человек: Андрей, Борис, Витя, Гриша, Дима, Егор. В школьной столовой за столом 6 стульев. Друзья решили каждый день, завтракая, рассаживаться на эти 6 стульев по-разному. Сколько раз они смогут это сделать без повторений?

Решение:

Учитель: Какой способ мы выберем? (Учащиеся под руководством учителя должны придти к выводу, что это третий способ – правило умножения).

Решение оформляет на доске ученик.

Для удобства рассуждений будем считать, что друзья усаживаются за стол поочередно. Будем считать, что первой усаживается за стол Андрей. У него 6 вариантов выбора стула. Вторым усаживается Борис, и независимо выбирает стул из 5 оставшихся. Витя делает свой выбор третьим и на выбор у него будет 4 стула. У Гриши будет уже 3 варианта, у Димы – 2, у Егора – 1. По правилу умножения получаем:

[pic] .

Ответ – 720 дней или почти 2 года.

Учитель: Как мы видим, условия задач разные, а решения, по сути дела, одинаковы. Удобно, поэтому ввести и одинаковые обозначения для этих ответов.

Определение: произведение всех натуральных чисел от 1 до п включительно называется п – факториал и обозначается символом п!

п! =  [pic]

Знак п! читается “Эн факториал”, что в дословном переводе с английского языка обозначает “состоящий из пмножителей”. Отметим важную особенность этой величины – ее быстрый рост.

Задача 4.

Вычислите:

а) 1!; б) 2!; в) 3!; г) 4!; д) 5!; е)10!

Считают, что 0! =1 (записать)

Задача 5.

Учитель: ДРУЖБА – одно из важнейших богатств, которое может быть у человека. Недаром о дружбе слагаются стихи и песни, сочиняют пословицы и поговорки. Какие пословицы и поговорки о дружбе вы знаете?

Друзья познаются в беде.
Не имей сто рублей, а имей сто друзей.
Один в поле не воин.
Сам погибай, а товарища выручай.
Старый друг лучше новых двух.
Без друга в жизни туго.

- Молодцы! Для каждого человека очень важно, чтобы у него были хорошие, настоящие друзья. Давайте решим несколько примеров с применением нового понятия – факториал, и узнаем новую пословицу о дружбе.

Карточки с ответами выполняют с запасом (есть карточки с числами, не являющимися ответами).