Матричная модель многоуровневых задач по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
Базовая задача 1. Задачи, приводимые под понятие арифметической прогрессии
Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией:
1) 2; 5; 8; 11;14; 17;…
2) 3; 9; 27; 81; 243;…
3) 1; 6; 11; 20; 25;…
4) –4; –8; –16; –32;…
5) 5; 25; 35; 45; 55;…
6)–2; –4; – 6; – 8; – 10;…
Выпишите первые восемь членов арифметической прогрессии (аn), если:
а) а1 = 1,7, d = -0,2;
Дано: (а n ) [pic] , а1 = – 3, а2 = 4.
Найти: а16 – ?
Базовая задача 2.
Задачи, при решении которых используется характеристическое свойство арифметической прогрессии
Найдите среднее арифметическое чисел 4 и 10. Запишите в порядке возрастания найденное число с данными. Образует ли данная тройка чисел арифметическую прогрессию?
Найдите четвертый, пятый и шестой члены этой последовательности:
4;…;20;…;…;…
Найдите члены арифметической прогрессии (аn), обозначенные буквами а1; –8; а2; – 2; а5; 4
Базовая задача 3.
Задачи, по нахождению одних параметров арифметической прогрессии an, a1, d, n, S n по известным двум.
1. (аn ) – арифметическая прогрессия, а1 =10; d = – 0,1. Найди а4.
1) 9,7; 2) 97; 3) –97;
4) 10,3; 5) –10,3.
Ответ: 1
П р и м е р . Найти сумму первых ста нечётных чисел.
Ответ: 10000
1. Найти первый член а1 и разность d арифметической прогрессии в котором
[pic]
Ответ: а1=13, d=-1.
Базовая задача 4.
Задачи, приводимые под понятие геометрической прогрессии
Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если: b1 = 6, q =2
Ответ: 6,12,24,48,96
Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если: b1 = 0,4, q = ½;
Ответ: 0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,025
В геометрической прогрессии b1; b2; 4; 8;…. Найди b1.
1) – 4; 2) 1; 3) 1/4; 4) 1/8; 5) – 1.
Ответ: 3
Базовая задача 5.
Задачи, при решении которых используется характеристическое свойство геометрической прогрессии
Найдите среднее геометрическое чисел 2 и [pic] . (средним геометрическим чисел a и b называется число [pic] ). Запишите в порядке убывания найденное число с данными. Образует ли данная тройка чисел геометрическую прогрессию?
Ответ: 1
Найдите четвертый, пятый и шестой члены этой последовательности:
2,…; [pic] ;…;…;…
1/4, 1/8,1/16
Найдите члены геометрической прогрессии (bn), обозначенные буквами b1; –8; b3; – 2; b5; – [pic] . Все члены отрицательны.
Ответ: -16,-8,-4,-2,-1,…
Базовая задача 6.
Задачи, по нахождению одних параметров геометрической прогрессии bn, b1, q, n, S n по известным двум.
(bn) – геометрическая прогрессия. Найди b6 , если b1 = 4; q = 1/2
1)– 1/8; 2) 1,25; 3) 1/8; 4)12,5; 5) – 1,25.
Ответ: 3
Последовательность (сn) геометрическая прогрессия, первый член которой равен с1, а знаменатель равен q. Выразите через c1 и q: ck+3;
Ответ: ck+3= c1 ∙ qk+2
1. Сумма первого и четвертого членов геометрической прогрессии равна 40, а сумма второго и пятого равна 10. Найти знаменатель прогрессии.
Ответ: 0,25.
Базовая задача 7.
Задачи по теме «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.»
Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
[pic]
Ответ:
[pic]
5. Найти знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, сумма которой равна 1,6, если второй член равен (-0,5).
Ответ: [pic]
7. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов её членов равна 192. Найти первый член и знаменатель прогрессии.
Ответ: [pic] , [pic]
Базовая задача 8.
Задачи смешанного характера на арифметическую и геометрическую прогрессию.
Сумма трех чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 30. Если от
первого числа отнять 5, от второго отнять 4, а третье число оставить без
изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найти эти
числа .
Ответ: 8 ,10 ,12 или 17 ,10 ,3 .
1. Три числа a, b, 12 в указанном порядке составляют возрастающую геометрическую прогрессию, а числа a, b, 9 – арифметическую прогрессию. Найти a+b.
Ответ: 9.
Числа x, y и z образуют геометрическую прогрессию, а числа x+y, y+ z, x+ z образуют арифметическую прогрессию.
Найти z, если x+y+z=15 и z<x.
Ответ: z=20
Базовая задача 9.
Задачи по применению арифметической и геометрической прогрессии к решению текстовых задач.
Курс воздушных ванн начинают с 15 мин. в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 час 45 минут?
Ответ: 10 дней следует принимать ванны.
Через три года в банке оказалось 880 руб., положенных под 40% (простые) годовых. Каков первоначальный вклад?
Ответ: первоначальный вклад 400 руб.
Если положить на вклад «Накопительный» некоторую сумму денег, то ежегодно она увеличивается на 10% от имеющейся на вкладе суммы. Вкладчик положил на вклад «Накопительный» 30000 рублей и три года подряд пополнял свой вклад и не снимал
с него денег. Определите, на сколько рублей увеличился его вклад за эти три года.
Ответ: 9930.
Базовая задача 10.
Задачи на комбинирование прогрессий и элементарных функций.
Пусть x1, x2 корни уравнения 12·x-x2=A, а x3, x4 корни уравнения 108·x-x2=В. Найти А, если известно, что последовательность x1, x2, x3, x4 – геометрическая прогрессия, все члены которой положительны.
[pic]
[pic]
x1, x2, x3, x4 – геометрическая прогрессия.
x1, x1·q, x1·q2, x1·q3;
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Ответ: [pic] .
Решить уравнение [pic]
Решение. Последовательность [pic] образует геометрическую прогрессию со знаменателем q = [pic] . По условию q ≠1 => х ≠1. Переформулируем задачу: сумма членов геометрической прогрессии [pic] равна 0. Найти х.
[pic]
[pic]
[pic]
[pic] – не удовлетворяет условию задачи.
Ответ: -1.
Решите неравенство:
[pic]
Двое учащихся упрощают скобки в данном неравенстве. Сумма 6-ти слагаемых арифметической прогрессии равна (-18) . Сумма 6-ти слагаемых геометрической прогрессии равна 126.
Неравенство перепишется в виде : (3х-18)(х+126)>0.
Третий ученик решает его методом интервалов.
Ответ: (– [pic] ; -126) U (6; + [pic] ).
