Семинар:
Автор-составитель:
Воробьева Инна Викторовна
Предмет: Алгебра и начала анализа
Классы: 10А, 11А.
Тема: «Иррациональные уравнения»
1-ый семинар для учащихся 10-11 классов
Свойства корней
Основное свойство корня:
. [pic]
Умножение корней:
[pic] , a [pic] , b [pic] .
Деление корней:
[pic] [pic] a [pic] , b [pic] .
Возведение корня в степень:
[pic] , [pic] .
Извлечение корня из корня:
[pic] , a [pic] .
Вынесение множителя из-под знака корня:
[pic] , b [pic] , в частности:
[pic] ,
[pic] .
Внесение множителя под знак корня:
[pic]
[pic] .
Определение. Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
Если показатель радикала – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным;
Если показатель радикала – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.
Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены с помощью некоторых преобразований иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного уравнения.
I группа. [pic] .
Если а<0, то уравнение не имеет корней.
Если а [pic] 0, то [pic] [pic] f(x)=a [pic] .
Примеры:
a) [pic] - решения нет.
б) [pic] .
Ответ: 2.
II группа. [pic] . или [pic] .
Из 2-х систем выбираем ту, которая решается легче.
Пример:
[pic] [pic] [pic] [pic]
Ответ: -1..
III группа. [pic] .
Пример:
[pic] [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]
Ответ: -12;2.
IV группа. Уравнения, для которых нахождение области определения обязательно.
Примеры:
a) [pic] .
ОДЗ: [pic] [pic] [pic]
Ответ: [pic] .
б) [pic] .
3+x2 всегда > 0. Значит, для данного уравгнгия:
[pic] [pic] [pic] .
Ответ: [pic] .
в) [pic] .
ОДЗ: [pic] [pic] [pic]
Проверка: [pic]
Ответ: 2.
V группа. Уравнения, которые решать не надо.
Примеры:
a) [pic] – решения нет.
б) [pic] – решения нет.
в) [pic] – решения нет.
VI группа. Разные уравнения.
Примеры:
a) [pic] .
ОДЗ: [pic] [pic] [pic]
Запишем уравнение в виде:
[pic] , возведем в квадрат:
[pic]
[pic]
[pic]
x=-1 или x=-4,
x=-4 – посторонний корень, т.к. не входит в ОДЗ.
Проверка: [pic] , 3=3.
Ответ: -1.
б) [pic] .
ОДЗ: x+2 [pic] .
[pic] , возведем в 6 степень.
(x+2)3=(3x+2)2,
x3+6x2+12x+8=9x2+12x+4,
x3-3x2+4=0,
x3-3x2+1+3=0, (x3+1)-3(x2-1)=0, (x+1)(x2-x+1)-3(x+1)(x-1)=0,
(x+1)(x2-x+1-3x+3)=0,
(x+1)(x2-4x+4)=0,
(x+1)(x-2)2=0,
x=-1 или x=2.
Оба корня входят в ОДЗ.
Проверка:
[pic] - неверно, x=-1 – посторонний корень.
[pic] - верно.
Ответ: 2.
в) [pic] .
ОДЗ: [pic] .
[pic] ,
[pic] ,
Пусть [pic] ,
[pic] ,
8y2+8-65y=0,
8y2-65y+8=0,
[pic] ,
[pic] ;
[pic] , или [pic] .
[pic] , [pic] ,
[pic] , [pic] ,
[pic] , [pic] ,
[pic] , [pic] ,
[pic] , [pic] .
Ответ: [pic] ; [pic] .
г) [pic] .
ОДЗ: [pic] [pic] [pic] [pic]
Пусть [pic]
[pic] , возведем в квадрат,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] , возведем в квадрат,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] ,
[pic] - посторонний корень, т.к. [pic] .
[pic] ,
x+1=1,
x=0.
Проверка: [pic] ,
6-1=5.
Ответ: 0.
л) [pic] . [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic] .
Ответ: [pic] .
Домашнее задание к 1-му семинару:
1) [pic] ;
2) [pic] ;
3) [pic] ;
4) [pic] ;
5) [pic] .
