Занятие математического кружка 5 - 6 класс по теме Разные задачи на проценты

Занятие математического кружка

«Разные задачи на проценты»

1. Немного теории

Процентом числа называется его сотая часть, например, 1% - это одна сотая часть числа, 1% от числа 300 – это число 3, 7% – это семь сотых числа, 7% числа 300 – это число 21.

Полезно запомнить следующие соотношения:

• 100% числа х – это само число х;

• 50% числа х – это половина числа х, т.е. 0,5х;

• 25% числа х – это четверть числа х, т.е. 0,25х;

• 75% числа х – это три четверти числа х, т.е. 0,75х;

• 20% числа х – это пятая часть числа х, т.е. х или 0,2х;

• 10% числа х – это десятая часть числа х, т.е. 0,1х.

При решении задач на проценты могут встречаться три случая:

1. Нахождение процентов от данного числа (или части от числа).

Пример 1. Найти 17% от числа 400.

Решение:

0,17 ∙ 400 = 68.

Ответ: 68.

Пример 2. В бригаде работают 60 человек, из них 15% женщины. Определите, сколько женщин в бригаде?

Решение:

Требуется найти 15% от числа 60, т.е. нужно найти от 60. В этом случае задача сводится к нахождению части от числа, т.е. ∙ 60 = 9 (женщин).

Ответ: 9 женщин.

2. Нахождение числа по его процентам (или числа по его части).

Пример 1. Найти число, 12% которого равны 45.

Решение:

12% искомого числа нам известны – это 45. Примем неизвестное число за х. Составим пропорцию.

12% – 45

100% – х

= , х = = 375.

Ответ: 375.

Пример 2. Найдите размер вклада, 25% которого составляет 160 тыс. руб.

Решение:

1 способ: 1% вклада составляет тыс. руб, тогда весь вклад, принятый за 100%, равен ∙ 100 = 640 тыс. руб.

Ответ: 640 тыс. руб.

2 способ: Т.к. 25% некоторого числа – это одна четвертая часть числа, т.е. задача сводится к нахождению целого по заданному значению его части. Для этого 160 : = 160 ∙ 4 = 640 тыс. руб.

Ответ: 640 тыс. руб.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел.

Пример 1. Каково процентное содержание меди в руде, если на 225 кг руды приходится 34,2 кг меди?

Решение:

Содержание меди в руде составляет частей, или ∙ 100 = 15,2 %.

Ответ: 15,2%

Пример 2. Сколько процентов составляет 120 от 600?

Решение:

∙ 100% = 20 %.

Ответ: 20%

2. Условия задач

1. Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?

2. Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?

3. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

4. Квартплата составляла 2000 р. Какой стала квартплата после ее увеличения на 30%?

5. Семья состоит из мужа, жены и их сына – студента. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия сына уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

6. Четыре майки дешевле пиджака на 8%. На сколько процентов пять маек дороже пиджака?

7. Магазин в первый день продал 40% имеющихся фруктов. За второй день он продал 80% фруктов, проданных в первых день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов фруктов было в магазине первоначально?

8. Цена изделия составляла 1000 р. и была снижена сначала на10%, а затем еще на 20%. Найдите окончательную цену товара.

9. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

11. Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?

3. Решение задач

1. Спрос на товар увеличился в 5 раз. На сколько процентов увеличился спрос?

Решение:

Первоначальный спрос на товар (Х) составлял 100%. После увеличения спрос стал 5Х. Т.е. увеличение составило 4Х или 400%.

Ответ: на 400%.

2. Объем товаров увеличился на 200%. Во сколько раз произошло увеличение?

Решение:

Первоначальный объем товаров (Х) составлял 100%. После увеличения он стал Х + 2Х = 3Х. Т.е. произошло увеличение в 3 раза, по сравнению с первоначальным объемом.

Ответ: в 3 раза.

3. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение:

Пусть х р. – стоили акции в понедельник до подорожания;

ɑ – количество процентов, на которое подорожали акции;

х + 0,01ɑх р. – стоили акции в понедельник;

х + 0,01ɑх – 0,01ɑ (х + 0,01ɑх) р. – стоили акции во вторник;

По условию задачи стоимость акций во вторник на 4% дешевле, чем до подорожания в понедельник, т.е. составляет 0,96 х р.

Получим уравнение: х + 0,01ɑх – 0,01ɑ (х + 0,01ɑх) = 0,96х.

Решив уравнение, получим ɑ = 20.

Ответ: на 20% подорожали акции компании в понедельник.

4. Квартплата составляла 2000 р. Какой стала квартплата после ее увеличения на 30%?

Решение:

2000 р. – составляют 100%,

х р. – составляет 130 %.

Отсюда, х = (2000 ∙ 130) : 100 = 2600.

Ответ: 2600 р.

5. Семья состоит из мужа, жены и их сына – студента. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия сына уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Т.к. при увеличении зарплаты мужа вдвое общий доход увеличивается на 67%, то 67% дохода составляет зарплата мужа.

Т.к. при уменьшении стипендии сына втрое общий доход сокращается на 4%, т.е. стипендии сына составляет 4%, отсюда вся стипендия сына составляет 6%.

Значит, зарплата жены составляет 100 – (67 + 6) = 27% общего дохода семьи.

Ответ: 20%.

6. Четыре майки дешевле пиджака на 8%. На сколько процентов пять маек дороже пиджака?

Решение:

1 способ:

1. 100% – составляет стоимость пиджака;

2. 100 – 8 = 92(%) – составляет стоимость четырех маек;

3. 92 : 4 = 23(%) – составляет стоимость одной майки;

4. 23 ∙ 5 = 115(%) – составляет стоимость пяти маек;

5. 115 – 100 = 15(%) – на столько процентов пять маек дороже пиджака.

Ответ: на 15%.

2 способ:

Пусть а руб. – стоимость одной майки, с руб. – стоимость одного пиджака.

Т.к. = , то = , следовательно, = , т.е. на 115 – 100 = 15% пять маек дороже пиджака.

Ответ: на 15%.

7. Магазин в первый день продал 40% имеющихся фруктов. За второй день он продал 80% фруктов, проданных в первых день. В третий день – оставшиеся 28 кг. Сколько килограммов фруктов было в магазине первоначально?

Решение:

Пусть х кг – вес имевшихся в магазине фруктов. Тогда в первый день было продано 0,4 ∙ х (кг), а во второй день – 0,8 ∙ (0,4 ∙ х) кг. Учитывая, что в третий день было продано 28 кг фруктов, составим и решим уравнение:

0,4 ∙ х + 0,8 ∙ (0,4 ∙ х) + 28 = х,

0,28 х = 28,

х = 100.

100 кг фруктов было в магазине первоначально.

Ответ: 100 кг.

8. Цена изделия составляла 1000 р. и была снижена сначала на10%, а затем еще на 20%. Найдите окончательную цену товара.

Решение:

Подобные задачи удобно решать с помощью рассуждений:

0,1 ∙ 1000 = 100 р. – составляет 10 % от цены изделия,

1000 – 100 = 900 р. – цена после первого снижения,

0,2 ∙ 900 = 180 р. – составляет второе снижение цены товара,

900 – 180 = 720 р. – окончательная цена товара.

Ответ: 720 р.

9. Цену товара повысили на 25%, затем новую цену повысили еще на 10% и, наконец, после перерасчета произвели повышение цены еще на 12%. На сколько процентов повысили первоначальную цену товара?

Решение:

Пусть х р. – первоначальная цена товара,

1,25 х р. – цена товара после первого повышения,

0,1 ∙ 1,25 х р. – второе повышение цены,

1,25 х + 0,1 ∙ 1,25 х = 1, 375 х р. – цена товара после второго повышения,

0,12 ∙ 1,375 х = 0,165 х р. – третье повышение цены,

1,375 х + 0,165 х = 1,54 х р. – цена товара после третьего повышения,

Цена товара была повышена на 1,54 х – х = 0,54 х р. , что составляет 54% от первоначальной цены товара.

Ответ: 54%.

10. Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?

Решение:

m = M ∙ ɑ, где М – масса всего винограда, или изюма; m – масса сухого вещества в винограде, или изюме; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в винограде, или изюме).